趣味數學教學設計

田桂玲

今天我來講一講生活中的有關數學的幾個趣味問題。

1.繆勒——萊耶錯覺

看看上面的帶箭頭的兩條直線，猜猜看哪條更長？ 是上面那條嗎？ 錯了！其實它們一樣長. 這就是有名的繆勒--萊耶錯覺，也叫箭形錯覺。它是指兩條長度相等的直線，如果一條直線的兩端加上向外的兩條斜線，另一條直線的兩端加上向內的兩條斜線，則前者會顯得比后者長得多。現在明白了嗎？

2.奧畢森幻覺

這確實是一個完好的正方形。但是放射線會歪曲一個人對線條和形狀的感知。雖然它被稱作奧畢森幻覺，但其實它是黑林幻覺的一個變體。

3.梯形幻覺

紅線比藍線顯得長一點，盡管它們的長 度完全相等。小于90°的角使包含它的邊顯 得 短一些，而大于90°的角使包含它的邊顯得長一些。這就是梯形幻覺。

4.回環詩圖

這幅圖是宋代詩人秦觀寫的一首回環詩。全詩共14個字，寫在圖中的外層圓圈上。讀出來共有4句，每句7個字，寫在圖中內層的方塊里。

這首回環詩，要把圓圈上的字按順時針方向連讀，每句由7個相鄰的字組成。第一句從圓圈下部偏左的“賞”字開始讀；然后沿著圓圈順時針方向跳過兩個字，從“去”開始讀第二句；再往下跳過三個字，從“酒”開始讀第三句；再往下跳過兩個字，從“醒”開始讀第四句。四句連讀，就是一首好詩：賞花歸去馬如飛，去馬如飛酒力微。酒力微醒時已暮，醒時已暮賞花歸。

這四句讀下來，頭腦里就像放電視一樣，閃現出姹紫嫣紅的花，蹄聲篤篤的馬，顛顛巍巍的人，暮色蒼茫的天。如果繼續順時針方向往下跳過三個字，就回到“賞”字，又可將詩重新欣賞一遍了。生活中的圓圈，在數學上叫做圓周。一個圓周的長度是有限的，但是沿著圓周卻能一圈又一圈地繼續走下去，周而復始，永無止境。回環詩把詩句排列在圓周上，前句的后半，兼作后句的前半，用數學的趣味增強文學的趣味，用數學美襯托文學美。

5.填充錯覺

看看這幅圖，中間有一個黑點，周圍是一團灰霧。 盯著黑點目光不要移動， 你覺得灰霧消失了！

同樣的你試試下邊的那幅，這次灰霧不會消失了。 這是怎么回事？為什么灰霧有時消失有時又不消失？這是怎么回事？！

我們的眼睛不習慣于固定的刺激，視覺中有一個系統調節眼球的運動使物體的視像保持在視網膜上的某個固定的區域，我們將這個系統稱之為視覺穩定系統。

你可以通過后像來體驗這種視覺穩定的效果。如果你盯著一個物體看上一分鐘，移走目光后它的后像仍會在眼前停留幾秒種，然后才會消失。你可以通過眨眼使其多停留一會兒。

現在再來看看左邊的那幅圖，大多數人當他們凝視黑點的時候都感到灰霧消失了，而對右邊的那幅灰點不會消失。在左邊的圖里，從中心的黑點向外灰霧逐漸由黑變淺，這種漸變與視覺的停留過程是一致的，當然如果你的目光隨意移動的話，灰霧的視像一直保留在視網膜上。當你注目盯著黑點時，灰霧逐漸減弱直到消失，而背景的顏色取而代之。

前邊的圖與后邊的幾乎一模一樣，除了有一個黑環以外。黑環的作用是無論你怎樣努力的盯著灰霧都能使其不至于在視覺中消失。當你凝視黑點的時候，你的眼球仍然在不時的運動，當然這種眼球的顫動與掃視時的那種運動是不同的，這時的顫動是非常微弱的。但正是這種運動使視像停住。當一個物體象左邊圖中的灰霧一樣，顏色逐漸由灰變白時，這種變化正好與視像逐漸消失的變化是一樣的，這樣你就會覺得物體消失了。當你移動目光后再來看灰霧時，它又會再出現，這是因為你的眼球做了一個足夠大的運動。右邊圖中灰霧不消失的原因在于很小的眼動都能使視像停留。

6.大小恒常性錯覺

在這幅圖像中，一個大個子正在追趕一個小個子，對不對？ 其實，這兩個人完全是一模一樣的！（不信？用尺子量量看！）你所看見的并不一定總是你所感知的。眼見為實在這里就不適用了！

這是怎么回事？！ 對于這種錯覺，斯坦福大學的心理學家 Roger Shepard 認為它與三維圖像的適當的深度知覺有關。與這有關的是，后面的那個人看起來比前面的那個人離你遠些，但是，不管怎樣，后面的那個人在實際尺寸上與前面那個人是一樣大的。

通常一個東西離你越遠，它就顯得越小，換句話說，它的視角變小了。在這幅圖里，后面的圖形與前面的圖形有著相同的尺寸（和相同的視角〕。由于兩個圖形的視覺相同而距離不同，因此，你的視覺系統就會認為后面的那個人一定比前面的大。這個例子說明了你所看見的并不一定是你所感知的。你的視覺系統常常依據從視覺環境中得出規則來作出推論。你可以通過改變這個例子來發現一些通常隱藏著的視知覺規律，比方說，如果你把后面的圖形移到與前面的圖形相同的位置，這種視覺的大小錯覺便會消失。這是因為，在水平面上，隨著物體往后退， 不僅視角變小了，而且它們在視野中相對于水平線的位置也升高了。

從這幅圖畫中可以看出，在同一平面的距離不同的兩個人，后面的那人雖然實際尺寸的個頭很小，在前面的人之后，卻顯得很正常。 在稍右一點的地方，你可以看到后景中的那個人被放到與前面的人相同的位置。現在你就會出現另外一錯覺，這種錯覺正好與前面提到的Shepard錯覺相反。在Shepard錯覺中，前面的那個圖形（通常有較大的視覺〕被放到后景中，這樣就使得后面的圖形比前面的圖形顯得大一些。而在這種錯覺中，后面的較小視角的圖形被移到前景中。另一個需要考慮的變量是，物體是被認為在地面上還是浮起來的。這個變量確實在大小錯覺中起作用。把圖形從地面上移去會徹底改變你對圖景的感知。一個浮在地面上的物體與停在地面上的物體有很大的不同。圖畫的背景也是非常重要的，因為它提供了深度的尺度。如果你刪除背景， 圖像就成了平的，沒有了立體感，你就不會有錯覺產生，或者，即使有也是非常微弱的。在非透視圖中改變圖形的深度是沒有意義的，錯覺也不會出現，但是，你的視覺系統，依據與水平線的對比，會得到另一個結果。這些錯覺表明你的視覺系統從視覺環境中得出了很多規則，用以判斷物體的大小和位置的關系。

通過這節課我們的學習，希望同學們不再對數學恐懼，數學不僅是一門學科，它也是一門藝術。