一題四解，妙求范圍

☉江蘇省宜興中學(xué) 楊志剛

二次函數(shù)銜接起初中與高中數(shù)學(xué)，是高中數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容之一，也是各類(lèi)考題中比較熱衷的問(wèn)題背景之一，已經(jīng)成為高考命題的高頻考點(diǎn)之一.特別是二次函數(shù)與方程的交匯，二次函數(shù)與絕對(duì)值的交匯等問(wèn)題，往往整合初中與高中知識(shí)，加以有機(jī)融合與拓展，這就更需要我們多加研究，以便了解和掌握二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，總結(jié)相應(yīng)的解題規(guī)律，拓展思維.同一數(shù)學(xué)問(wèn)題，可以從多方位、多角度、多層次入手，就會(huì)得到多種解題思路和方法，從而提高對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解和掌握，同時(shí)也提升數(shù)學(xué)解題能力，培養(yǎng)優(yōu)良的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

例題（江蘇省某市4月聯(lián)考·14）若方程|x2-2x-1|-t=0有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)根x1，x2，x3，x4，且x1＜x2＜x3＜x4，則2（x4-x1）+（x3-x2）的取值范圍是______.

分析：本題主要考查二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，絕對(duì)值及其應(yīng)用，函數(shù)與方程，函數(shù)的零點(diǎn)，函數(shù)的圖像與性質(zhì)，導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用等眾多的知識(shí).通過(guò)導(dǎo)數(shù)、三角函數(shù)、線性規(guī)劃及柯西不等式等相關(guān)知識(shí)的融合，采用不同的切入點(diǎn)，處理方法各異，均可達(dá)到目的.

思路1：結(jié)合二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性得到x1+x4=x2+x3=2，通過(guò)引入?yún)?shù)t使得x1·x4=-1-t，x2·x3=-1+（t0＜t＜2），進(jìn)而得到通過(guò)構(gòu)造函數(shù)結(jié)合求導(dǎo)，利用函數(shù)的單調(diào)性來(lái)確定相應(yīng)最值問(wèn)題，進(jìn)而確定代數(shù)式的取值范圍.

解法1：因?yàn)榉匠蘾x2-2x-1|-t=0有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)根x1，x2，x3，x4，x1＜x2＜x3＜x4，所以x1+x4=x2+x3=2，x1·x4=-1-t，x·2x3=-1+（t0＜t＜2）.

所以2（x4-x）1+（x3-x2）的取值范圍是

思路2：結(jié)合二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性得到x1+x4=x2+x3=2，通過(guò)引入?yún)?shù)t使得x1·x4=-1-t，x2·x3=-1+（t0＜t＜2），進(jìn)而得到通過(guò)三角換元結(jié)合三角關(guān)系式的轉(zhuǎn)化，利用三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)來(lái)確定代數(shù)式的取值范圍.

解法2：因?yàn)榉匠蘾x2-2x-1|-t=0有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)根x1，x2，x3，x4，x1＜x2＜x3＜x4，所以x1+x4=x2+x3=2，x1·x4=-1-t，x2·x3=-1+（t0＜t＜2）.

所以2（x4-x1）+（x3-x2）的取值范圍是

思路3：結(jié)合二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性得到x1+x4=x2+x3=2，通過(guò)引入?yún)?shù)t使得x1·x4=-1-t，x2·x3=-1+（t0＜t＜2），進(jìn)而得到通過(guò)引入?yún)?shù)建立對(duì)應(yīng)的約束條件，利用線性規(guī)劃，結(jié)合目標(biāo)函數(shù)z=4m+2n在確定平面區(qū)域內(nèi)的取值情況來(lái)確定代數(shù)式的取值范圍.

解法3：因?yàn)榉匠蘾x2-2x-1|-t=0有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)根x1，x2，x3，x4，x1＜x2＜x3＜x4，所以x1+x4=x2+x3=2，x1·x4=-1-t，x·2x3=-1+（t0＜t＜2）.

對(duì)于目標(biāo)函數(shù)z=4m+2n，結(jié)合圖像，過(guò)點(diǎn)A（2，0）時(shí)，zmin=8；當(dāng)直線z=4m+2n與圓m2+n2=4在第一象限相切時(shí)，此時(shí)有可得

所以2（x4-x1）+（x3-x2）的取值范圍是

思路4：結(jié)合二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性得到x1+x4=x2+x3=2，通過(guò)引入?yún)?shù)t使得x1·x4=-1-t，x·2x3=-1+（t0＜t＜2），進(jìn)而得到2（x4-結(jié)合柯西不等式確定該關(guān)系式的上限，再利用0＜t＜2在兩極端情況時(shí)的取值，通過(guò)連續(xù)函數(shù)的取值情況來(lái)確定代數(shù)式的取值范圍.

解法4：因?yàn)榉匠蘾x2-2x-1|-t=0有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)根x1，x2，x3，x4，x1＜x2＜x3＜x4，所以x1+x4=x2+x3=2，x1·x4=-1-t，x2·x3=-1+（t0＜t＜2）.

所以2（x4-x1）+（x3-x2）的取值范圍是

其實(shí)，解題的思維一定不能單一，具體解題時(shí)應(yīng)該以常規(guī)方法優(yōu)先，然后逐步優(yōu)化，當(dāng)面臨較為特殊的結(jié)構(gòu)時(shí)，往往多思考就有更為巧妙的方法.因而，當(dāng)我們解完一道題以后，要不斷領(lǐng)悟反思，多角度切入進(jìn)行深度挖掘，從而達(dá)到觸類(lèi)旁通、一題多解的效果.通過(guò)典型實(shí)例的一題多解，可以使得我們的解題思路更加開(kāi)闊，數(shù)學(xué)知識(shí)的掌握更加熟練，同時(shí)思維拓展，妙法頓生，提高解題速度，培養(yǎng)發(fā)散思維能力，有助于激發(fā)我們學(xué)習(xí)的主動(dòng)性、積極性和趣味性，從而全面提高我們的知識(shí)水平和思維能力.