基于函數(shù)單調(diào)性的數(shù)學概念教學

☉浙江省臺州市臺州第一中學 汪正旺

任何數(shù)學理論與數(shù)學框架的學習與構(gòu)建都必須建立在一定的基礎(chǔ)之上，數(shù)學概念正是充當這一角色的重要內(nèi)容，高中數(shù)學的抽象性之強要求教師在課堂教學中必須注重生產(chǎn)生活事例的引入與分析，學生在充分建立感性認識的基礎(chǔ)上才能將高度抽象與概括的數(shù)學概念領(lǐng)悟透徹.函數(shù)的單調(diào)性這一高中階段的首個數(shù)學語言是研究指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等其他函數(shù)的重要基礎(chǔ)，函數(shù)的值域、定義域、比較兩數(shù)大小、不等式等多個具體問題的研究都離不開單調(diào)性這一最為基本的函數(shù)知識，筆者結(jié)合這一概念的實際教學對高中數(shù)學概念教學淺要談談自己的一點想法.

一、創(chuàng)設情境，引入課題

問題1：觀察以下函數(shù)，作圖并指出其變化趨勢.

（過程略）

問題2：你能對“圖像呈逐漸上升趨勢”的意思進行準確的描述嗎？x與函數(shù)值y此時是怎樣相互影響的呢？

生：x增大，y隨之增大，所以它的圖像呈上升趨勢；x增大，y減小，所以它的圖像呈下降趨勢.

師：很好，這就是函數(shù)的單調(diào)性，一個非常重要的性質(zhì)，也是我們今天研究的主題.

函數(shù)的單調(diào)性這一內(nèi)容的教學，教師應首先要求學生能夠在實際問題的研究中學會建模，要求學生在掌握建模過程與方法的基礎(chǔ)上充分體會其重要意義與價值，使學生學會運用函數(shù)思想來解決實際問題并因此獲得思維能力的提升.因此，教師在進行這一概念的教學之前首先應該對學生的認知發(fā)展水平與已有的知識經(jīng)驗進行摸底與分析，并在此基礎(chǔ)上引導學生展開觀察、猜想與歸納，引導學生在函數(shù)圖像的觀察與分析中學會應用函數(shù)知識來解題，使學生充分體會函數(shù)知識的應用價值并建立數(shù)學與生活息息相關(guān)的認知.

二、抽象概括，形成概念

思考并討論：

（1）若某函數(shù)在區(qū)間（0，+∞）上有x=1時y=1，x=2時y=3，則是否可以說在該區(qū)間上y隨著x的增大而增大呢？

（2）若x=1，2，3，4時，對應地y=1，3，4，6，則是否可以說在區(qū)間（0，+∞）上y隨著x的增大而增大呢？

（3）若有n個正數(shù)x1＜x2＜x3＜…＜xn，它們對應的函數(shù)值滿足y1＜y2＜y3＜…＜yn，則是否可以說在區(qū)間（0，+∞）上y隨著x的增大而增大呢？

生：不能，我來舉例說明（略）.

問題3：如果某函數(shù)是增函數(shù)，你能對其進行數(shù)學語言的表述嗎？你是否能夠嘗試給出確切的定義？請運用自己的語言進行表達并講給小組成員聽，各小組進行一定的交流并形成統(tǒng)一的意見進行展示.

第一步（把“增大”符號化）：當x1＜x2時，y1＜y2.

第二步（把“隨”符號化）：當x1＜x2時，f（x1）＜f（x2）.

第三步（把“任意”符號化）：

是否可以聯(lián)想個別數(shù)值對單調(diào)性進行一定的說明呢？例如函數(shù)y=x2（x∈R），若x=-1，2，3，4，…，則y=1，4，9，16，…，函數(shù)值y隨著x的增大而增大這一說法正確嗎？

對區(qū)間I上有限或無限個自變量滿足x1＜x2，且f（x1）＜f（x2），都無法將“函數(shù)值y隨著x的增大而增大”的本質(zhì)反映出來，因此必須強調(diào)x1、x2的任意性才能將單調(diào)遞增的特征準確表述出來，對任意x1＜x2都有f（x1）＜f（x2）.

第四步（把“區(qū)間”符號化）：

x1、x2在“任意”二字的含義范疇內(nèi)還有著“不任意”的表現(xiàn)與含義，函數(shù)的單調(diào)性這一局部性質(zhì)表明其與區(qū)間密不可分，此時須強調(diào)定義中x1、x2∈I.

對于區(qū)間I內(nèi)的任意兩個值x1、x2，當x1＜x2時，都有f（x1）＜f（x2）.

最后是小組發(fā)言.

函數(shù)的單調(diào)性這一概念的構(gòu)建在本課的教學活動中經(jīng)歷了兩個關(guān)鍵的過程.

第一個關(guān)鍵的過程是函數(shù)單調(diào)性意義的構(gòu)建，學生在若干函數(shù)圖像的觀察中運用自然語言對函數(shù)圖像的特征進行描述并不是很困難的一件事，因此，這一過程的構(gòu)建相對來說是這一概念學習完整過程中相對較為容易的.教師在本課的教學活動中一共設計了四個函數(shù)并引導學生對其圖像進行了觀察，使學生在教師的啟發(fā)與圖像觀察的過程中獲得函數(shù)圖像的上升與下降展現(xiàn)單調(diào)性這一函數(shù)基本性質(zhì)的認知.

第二個關(guān)鍵過程是運用數(shù)學符號將單調(diào)性的意義完整、精確地表示出來，這個過程對于學生來說是有一定難度的.用數(shù)學符號對函數(shù)自變量x增大時函數(shù)值y增大或減小的動態(tài)過程進行描述是這一過程中最重要、最關(guān)鍵的環(huán)節(jié)，其不僅要將變化規(guī)律描述清楚，描述還應做到完整、準確而簡潔.學生在經(jīng)歷靜態(tài)的數(shù)學符號描述靜態(tài)數(shù)學對象直至動態(tài)數(shù)學對象之時所受到的思維挑戰(zhàn)是比較巨大的，這對于高一新生來講確實很有挑戰(zhàn)性，因此，這一過程的知識構(gòu)建需要教師首先準確把握學生思維的“最近發(fā)展區(qū)”，著眼于學生的發(fā)展進行有意義的構(gòu)建以促進學生對知識難點的把握，本課中的層層設計有效地引導了學生的思維，并順利突破了這一難點.

三、深入探索，加深理解

教師在這一定義的教學中需要重點注意三個層面含義的把握并引導學生領(lǐng)悟：

（1）函數(shù)單調(diào)性的定義.一般來說，設函數(shù)y=f（x）的定義域是I，區(qū)間A?I：如果對于區(qū)間A內(nèi)的任意兩個值x1、x2，當x1＜x2時，都有f（x1）＜f（x2）或f（x1）＞f（x2），也就是說函數(shù)f（x）在區(qū)間A上是增加或減少的，因此，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增或遞減區(qū)間就是A.

教師在教學中尤其需要把握“區(qū)間A?I”、“任意”、“都”這幾個關(guān)鍵詞所代表的具體含義.

區(qū)間A?I的存在意味著函數(shù)單調(diào)性的判斷首先必須對其進行定義域的判斷，也就是說，單調(diào)性和“區(qū)間”是密切相關(guān)的，區(qū)間不同，函數(shù)所展現(xiàn)的單調(diào)性也會不同.因此，教師在函數(shù)單調(diào)性的教學中尤其要引導學生注意以下內(nèi)容：如果f（x）在區(qū)間I1上為增函數(shù)，在I2上也為增函數(shù)，這并不代表（fx）在區(qū)間I1∪I2上就一定會是增函數(shù).例如，函數(shù)在（-∞，0）上為減函數(shù)，在（0，∞）上也為減函數(shù)，不過在（-∞，0）∪（0，∞）上卻不是減函數(shù)，（f1）＞（f-3）就能很好地說明這一點.

“任意”兩個字包含著“整體”的含義，但這必須是建立在某一區(qū)間上進行體現(xiàn)的，所以定義中的x1、x2具有任意性且不能用特殊性來代替，不過用來否定函數(shù)是增函數(shù)或是減函數(shù)時還是適用的；“都”在這一概念中的出現(xiàn)表達的是“無一例外”的意思，需要強調(diào)的是區(qū)間這一條件的表達.由定義的充要性可知，由（fx）是增（減）函數(shù)且（fx1）＜（fx2）可以得出x1＜x（2x1＞x2），由此我們應該能夠感知自變量與函數(shù)值之間不等關(guān)系的正逆互推，而且這正是因為函數(shù)的單調(diào)性而決定的.

（2）單調(diào)性.假如函數(shù)y=（fx）在定義域的某個子集上會增加或減少，則函數(shù)y=（fx）在該子集上就具備單調(diào)性.函數(shù)單調(diào)性概念的學習也是數(shù)列單調(diào)性概念的鋪墊性學習.

（3）假如函數(shù)y=（fx）在整個定義域內(nèi)增加或減少，則該函數(shù)就可稱為增函數(shù)或減函數(shù)，單調(diào)函數(shù)是其統(tǒng)一的稱謂.

總之，本課教學設計的主線很明確，也就是函數(shù)的單調(diào)性的概念，整個教學活動以及學生的學習活動都是緊緊圍繞這一主線而得以落實的，貫穿整個課堂的函數(shù)單調(diào)性概念的教學將數(shù)形結(jié)合與幾何直觀的思想進行了充分的展現(xiàn)，學生在情境導入、抽象概括、深入探索這三個環(huán)節(jié)的學習中也獲得了函數(shù)單調(diào)性這一概念的深刻思考與掌握.