數學游戲與數學思想方法例談

張新春

數學思想方法作為“將具體的數學知識忘掉后剩下的東西”，對學生的影響是巨大的。它使學生得到基本數學思想方法的熏陶，以適應未來社會生活和繼續學習的需要；使學生領略數學探索、研究以及數學應用的基本方法，從而能從數學的角度、運用數學的思維方式去觀察、分析現實生活中的事物，并會數學地解決問題。這些都應該是數學課程的重要目標。

按照《辭海》的說法，游戲是文化娛樂的一種，有發展智力的游戲和發展體力的游戲。前者包括文字游戲、圖畫游戲、數字游戲等，習慣稱為“智力游戲”。數學游戲顯然是智力游戲，而且是蘊含著數學知識和數學思想方法的智力游戲。研究這些數學游戲，有利于學生在生動活潑的過程中體會一些基本的數學思想方法。本文以兩個數學游戲為例，從數學思想方法的角度作出分析。

一、“10根火柴棒”游戲

【游戲介紹】

這是一個單人智力游戲。如圖1，有10根火柴棒，一字排開。我們的目標是移動這10根火柴棒，使之兩兩一組，分成5組。

移動的規則是：可以拿起任何一根火柴棒，放到與之相隔兩根火柴棒的火柴棒上，從而形成一組。圖2即表明了一種合法移動。（虛線位置表示當次移動之前被移動火柴棒所在位置，下同）

在上面第一次移動的基礎上，圖3表明了一種合法移動。

以上兩次移動表明了游戲規則。

移動到此，我們可以發現，已經沒有辦法完成游戲任務了。事實上，此時已經不可能有某一根火柴棒和左邊的第一根配成一組了。

【分析】

我們可以反復嘗試，最終也能夠找到方法。若從數學思想方法的角度思考，則可以考慮如下思路。

思路一：化繁為簡

化繁為簡、以退為進的思路，在數學問題解決中常用。

10根火柴棒配成5組，問題比較復雜，我們可以從最簡單的情況研究。顯然，要考慮“隔兩根”的條件，至少應該從4根火柴棒的情況開始。我們很容易發現，4根火柴棒沒有可能按規定配成兩組。事實上，面對4根火柴棒，我們第一步只能把最左邊的一根移到最右邊，或者把最右邊的一根移到最左邊。接下來就沒有辦法操作了（如圖4所示）。

我們來考慮6根火柴棒的情況。首次移動的方法只有三種（如圖5所示）。（說明：這三種方法都是將左邊的火柴棒往右邊移。當然，相應地，還有將右邊的火柴棒往左邊移的方法。但由對稱性可知，如果從左邊往右邊移不能成功，那么從右邊往左邊移也不能成功。而考慮對稱性本身就是很重要的數學方法）不難判斷，無論是三種情況中的哪一種，都無法繼續完成游戲任務。

再考慮8根火柴棒的情況。通過一一列舉（移左邊第一、第二、第三、第四根），可以發現一種可行的方案。圖6是前面兩步。

這兩步之后，變成如下的局面（如圖7所示），接下來的操作就很顯然了。

我們已經發現了將8根火柴棒按要求配成4組的方式，但要解決的問題是10根火柴棒配成5組。于是，我們要做的工作是如何將10根火柴棒的問題轉化成8根火柴棒的問題。轉化本身也是非常重要的思想方法。事實上，完成這種轉化的方法很簡單。只要按圖8所示，將第4根移過來和第1根組成一組，問題就變成8根火柴棒配成4組，而這個問題我們前面已經解決了。

思路二：倒推

有這樣一些問題，它們涉及一個過程，過程的起點是清楚的，過程的結果也是清楚的，要尋找的就是過程本身。最明顯的例子就是走迷宮———起點清楚，終點清楚，就是要尋找起點到終點的路。解決這樣的問題，我們很容易想到的方法是倒推，從終點出發，努力回到起點，路就找著了。

這個10根火柴棒的游戲也和走迷宮一樣。我們可以用倒推的方法解決問題。一個倒推的過程如圖9所示。

將以上過程逆轉過來，即是將10根火柴棒配成5組的方案。事實上，上述倒推的過程幾乎沒有任何難度，甚至無需過多思考，見招拆招就能解決。而且方案不止一種。

二、“取棋子”游戲

【游戲介紹】

這是一個雙人對策游戲。有黑棋8枚，白棋6枚。甲乙兩人輪流取棋，輪到某人取棋時，合法的取法分兩類：

第一類，只取一種顏色，則棋子的顏色任意，取的棋子的數量任意。不能不取。

第二類，取兩種顏色的棋子，則要求兩種顏色的棋子取一樣多。在此基礎上取棋子的數量任意，不能不取。

取得最后一枚棋子的人獲勝。

【分析】

思路：數形結合

游戲開始時有黑棋8枚，白棋6枚。游戲結束時，黑棋白棋均為0枚。這中間的每一個局面，都由一對有序數對表示。這樣的視角，就使我們有了用數形結合的辦法解決這個問題的基礎。

現在，我們將這個游戲及其規則完整地轉化為一個圖形問題。