圓錐曲線中的“定值”命題探析

姚綿綿

【摘要】 圓錐曲線中的有關“定值”問題，是高考命題的一個熱點，也是同學們學習中的一個難點。以下通過合情推理、類比推理從教材中一個例題出發，探索總結出幾組“定值”的命題。

【關鍵詞】 圓錐曲線 定值 探析

【中圖分類號】 G633.6 【文獻標識碼】 A 【文章編號】 1992-7711（2018）07-062-01

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圓錐曲線中的幾何量，有些與參數無關，這就構成了定值問題.它涵蓋兩類問題，一是動曲線經過定點問題；二是動曲線的某些幾何量的斜率、長度、角度、距離、面積等為常數問題.圓錐曲線中的有關“定值”問題，是高考命題的一個熱點，也是同學們學習中的一個難點。下面我從教材中一個例題出發，探索總結出幾組“定值”的命題。

人教A版《選修1-1》 P35例6：已知點A、B的坐標分別是（-5，0），（5，0），直線AM、BM相交于點M，且它們的斜率之積是-49，求點M的軌跡方程。（x225+y21009=1）

人教A版《選修1-1》 P48探究：已知A、B的坐標分別是（-5，0），（5，0），直線AM、BM相交于點M，且它們的斜率之積是49，求點M的軌跡方程。（x225-y21009=1）

經過逆推可得：結論一、過橢圓x225+y21009=1上的點P（x0，y0）與橢圓的長軸（或短軸）兩個頂點連線PA、PB，則直線AB的斜率之積恒等于-49.（若是雙曲線x225-y21009=1，則定值是49）.

經過合情推理可得：結論二、過橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）上的點P（x0，y0）與橢圓的長軸（或短軸）兩個頂點連線PA、PB，則直線PA、PB的斜率之積恒等于-b2a2.（若是雙曲線x2a2-y2b2=1（a，b>0），則斜率之積恒等于b2a2）.

經過合情推理可得命題一： 經過原點的直線l與橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）相交于M、N兩點，P是橢圓上的動點，直線PM、PN的斜率都存在，則kPM·kPN為定值-b2a2.

證明：設P（x0，y0），M（x1，y1），N（-x1，-y1），則kPM·kPN=y0-y1x0-x1·y0+y1x0+x1=y20-y21x20-x21（*），而點P、M均在橢圓x2a2+y2b2=1上，故y20=b2（1-x20a2），y21=b2（1-x21a2），代入（*）便可得到kPM·kPN=-b2a2.

類比得：經過原點的直線l與橢圓x2a2-y2b2=1（a，b>0）相交于M、N兩點，P是雙曲線上的動點，直線PM、PN的斜率都存在，則kPM·kPN為定值b2a2.（證明略）

命題二： 過橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）上一點P（x0，y0）任意作兩條斜率互為相反數的直線交橢圓于M、N兩點，則直線MN的斜率為定值b2x0a2y0.

證明：（略）

類比得：

1.過雙曲線x2a2-y2b2=1（a，b>0）上的點P（x0，y0）作兩條傾斜角互補的弦PA、PB，則直線AB的斜率恒等于-b2x0a2y0.（證明略）

2.過拋物線y2=2px（p>0）上的點P（x0，y0）作兩條傾斜角互補的弦PA、PB，則直線AB的斜率恒等于-py0.

證明：設直線PA的斜率為kPA，直線PB的斜率為kPB.直線AB的斜率為kAB.

由y21 = 2px1

y20 = 2px0 y21 -y20♂ = 2p（x1 -x0 ），則則kPA=y1-y0x1-x0=2py1+y0（x1≠x0）。

同理，得則kPB=2py2+y0（x2≠x0）.由PA、PB的傾斜角互補知kPA=-kPB，即2py1+y0=-2py2+y0即y1+y2=-2y0，

故，則kAB=y2-y1x2-x1=2py1+y2（x1≠x2）

將y1+y2=-2y0（y0>0）代入上式得kAB=2py1+y2=-py0.則kAB=-py0為非零常數。

命題三：設A、B、C是橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）上的三個不同點，B、C關于x軸對稱，直線AB、AC分別與x軸交于M、N兩點，則OM·ON為定值a2.

證明：（略）.

類比得：

1.MN是雙曲線x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的弦，端點N關于x軸的對稱點為N1，則直線MN與直線MN1在x軸上截距之積為定值a2.（證明略）MN1

2. MN是拋物線y2=2px（p>0）的弦，端點N關于x軸的對稱點為N1，則直線MN與直線在x軸上截距之和為零。 證明：設直線MN與x軸交于點P，直線MN1與x軸交于點Q，

命題四：設A、B、C是橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）上的三個不同點，B、C關于y軸對稱，直線AB、AC分別與y軸交于M、N兩點，則OM·ON為定值b2.

證明：（略）

類比得：設A、B、C是雙曲線x2a2-y2b2=1（a，b>0）上的三個不同點，B、C關于y軸對稱，直線AB、AC分別與y軸交于M、N兩點，則OM·ON為定值b2（證明略）

圓錐曲線的定值定點問題還有很多，歸納整理出這些命題并加以靈活運用，就可以起到優化解題方法，節省解題時間，提高準確度，達到事半功倍的效果。