在“做”中學橢圓

康茂淮

【摘要】 知識的獲得是一種學生主動的認知活動，學習者不應該是信息的被動接受者，而應該是知識獲取過程的參與者。使學生在“做”數(shù)學中學數(shù)學，學中思，親身體會創(chuàng)造過程，讓學生的思維、語言、肢體經(jīng)歷一次次“磨煉”，并在不同程度上有新的提高。因此它使思維一直處于運動和探索之中，能促使思維的發(fā)展。在教學活動中，教師應創(chuàng)設條件，充分利用各種資源，給學生“做”數(shù)學的機會，讓學生在“做”中加深對數(shù)學知識的理解，領悟數(shù)學思想，積累數(shù)學活動經(jīng)驗，不斷提升學習能力。

【關鍵詞】 “做”數(shù)學 橢圓 設計意圖 反思

【中圖分類號】 G633.6 【文獻標識碼】 A 【文章編號】 1992-7711（2018）07-100-01

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著名心理學家皮亞杰說過：“智慧的鮮花是開放在手指尖上的”。高中數(shù)學教學中也應適當?shù)慕o予學生“做”數(shù)學的機會。本文結合圓錐曲線中橢圓的教學，讓學生三次畫橢圓，使學生掌握橢圓的定義、橢圓的幾何性質(zhì)、橢圓的綜合運用等數(shù)學知識并深刻感悟知識的形成過程，從而逐步在頭腦中建構起數(shù)學模型。

一、繩子畫橢圓——橢圓定義明晰

在解析幾何中，圓錐曲線是這塊內(nèi)容中的重點、難點和考點。根據(jù)教材的安排，雙曲線、拋物線的定義和性質(zhì)的給出都是類比于橢圓的定義、性質(zhì)。因此，橢圓的定義、標準方程、性質(zhì)的教學是這一內(nèi)容的重中之重，而標準方程又是根據(jù)橢圓的定義得出，所以橢圓的定義推出顯得至關重要。現(xiàn)把這一教學片段中讓學生“做”的問題展示如下：

問題1：利用手中的繩和釘畫出一個圓，并歸納圓的定義。（課前教師要求學生每人準備一塊硬紙板，并發(fā)給每一位學生兩顆圖釘幾顆及一根定長細繩子）

問題2：把一根繩的兩端分別系在兩個圖釘上，并分開固定圖釘，繩長大于圖釘間距離，保持拉緊狀態(tài)移動鉛筆，畫一畫得到什么樣的曲線？

問題3：繩長等于圖釘間的距離，畫出何曲線？

問題4：為何不同同學畫出的橢圓，扁平程度不一樣。繩長不變，改變圖釘間的距離，觀察橢圓的扁平程度如何？繩長改變，圖釘間的距離不變，觀察橢圓的扁平程度如何？請畫圖實驗。

問題5：根據(jù)實驗總結橢圓扁平程度與繩長和圖頂間距離的關系。

問題6：根據(jù)畫圖，總結橢圓的定義。

設計意圖：

（1）采用感性導入法用課件展示圖片的，由點及面，由感性到理性，符合學生認識的思維路線，易激起興趣和學習動機。

（2）創(chuàng)設問題情境在學生的“最近發(fā)展區(qū)”中設計問題，所設計的問題面向全體，使學生的思維一直處于亢奮狀態(tài)，使每一位學生都積極參與思維活動，體現(xiàn)以學生為主體的新理念。

（3）培養(yǎng)動手能力培養(yǎng)動手實踐能力是現(xiàn)行教育中的一個弱點，在新課標中特別指出研究性學習的重要性，而培養(yǎng)動手實踐能力是研究性學習中的所要培養(yǎng)的能力之一。通過畫橢圓檢驗，線段定長、兩定點時橢圓的圓扁程度。

（4）培養(yǎng)探索能力教育家布魯納說過：“探索是數(shù)學教學的生命線。”探索是創(chuàng)造的起步，學生的創(chuàng)造力不可能一蹴而就，只有引導他們學會探索，才能使學生的創(chuàng)造力得到有效的培養(yǎng)。

設計反思：

將傳統(tǒng)教學媒體與現(xiàn)代教學媒體有機結合在一起，促進了學生學習的積極性和主動性，即將工具畫圖和課件展示有機結合。

二、方程畫橢圓——橢圓幾何性質(zhì)明晰

通過創(chuàng)設符合學生認知規(guī)律的問題情景，挖掘學生內(nèi)在的研究問題的巨大潛能，培養(yǎng)學生的自主探究能力，邏輯推理能力，提高學生的思維層次，掌握獲取知識的方法和途徑，真正體現(xiàn)學生學習知識過程中的主體地位。在已推導了橢圓的標準方程后，讓學生如何利用標準方程探究橢圓的幾何性質(zhì)。現(xiàn)把這一教學片段中讓學生“做”的問題展示如下：

問題1：方程16x2+25y2=400表示什么樣的曲線，你能利用以前學過的知識畫出它的圖形嗎？學生活動過程：

情形1：列表、描點、連線進行做圖，在取點的過程中想到了橢圓的范圍問題；

情形2：求出橢圓曲線與坐標軸的四個交點，聯(lián)想橢圓曲線的形狀得到圖形；

情形3：方程變形，求出，聯(lián)想橢圓畫法，利用繩子做圖；

情形4：只做第一象限內(nèi)的圖形，聯(lián)想橢圓形狀，對稱得到其它象限內(nèi)的圖形；

辨析與研討：實物投影展示學生的畫圖過程，挖掘學生的原有認知，體現(xiàn)同學的思維差異，培養(yǎng)學生的思維習慣。

問題2：通過畫圖你得到了該橢圓的哪些幾何性質(zhì)？

設計意圖：

（1）問題設置來源于課本例題，選題目的有利于學生從多個角度進行思考和探索，培養(yǎng)學生的發(fā)散思維，第一問的解決舊體現(xiàn)了對二元二次方程的研究，為利用方程研究性質(zhì)打下基礎；

（2）課堂教學體現(xiàn)學生自主探究知識的過程，問題的設置體現(xiàn)了研究問題角度的轉變——用方程研究曲線性質(zhì)的問題，同時使學生意識到橢圓的幾何特征：范圍、對稱性、關鍵點；

（3）實物投影展示學生的研究過程和研究成果，重在發(fā)現(xiàn)學生的思維差異和思維認識層次；

（4）辨析過程中重視學生的思維起點，通過彼此交流，發(fā)現(xiàn)問題，共同探討，得到統(tǒng)一的認識。

問題3：橢圓標準方程■+■=1（a>b>0）有什么特點？它有什么幾何性質(zhì)？并用橢圓方程研究或驗證其幾何性質(zhì)。

問題4：在橢圓標準方程的推導過程中令a2-c2=b2能使方程簡單整齊，其幾何意義是什么？

問題5：學了橢圓的幾何性質(zhì)，如何快速畫出16x2+25y2=400的草圖？

設計意圖：

（1）抓住橢圓標準方程的特點不放松，引導學生探究如何利用方程研究橢圓的幾何性質(zhì)；

（2）在學生的表述過程中重視學生的思維方式，培養(yǎng)學生正確處理問題的思路，能夠引導學生從對稱性的本質(zhì)上得到研究對稱性的方法；

（3）多媒體課件展示橢圓的對稱性，使學生體會橢圓的對稱美。

（4）與開頭相呼應，使學生認識到橢圓的簡單幾何性質(zhì)能夠簡化做圖過程。

設計反思：

利用已知條件求曲線的方程，利用方程研究曲線的性質(zhì)和畫圖是解析幾何的兩大任務，利用方程研究橢圓的幾何性質(zhì)可以說是第一次，傳統(tǒng)的教學過程往往是利用多媒體課件展示橢圓曲線，讓學生觀察、猜想橢圓的幾何性質(zhì)，然后再利用橢圓的標準方程進行證明，體現(xiàn)從感性到理性符合學生的認知規(guī)律等，也可以說是用方程研究橢圓曲線性質(zhì)的一種思路，但未能很好地體現(xiàn)“利用方程研究曲線性質(zhì)”的本質(zhì)。