例談初中數學中問題轉化思想的有效運用

☉江蘇省南京市鼓樓實驗中學 劉春桃

一、問題提出背景

在初中數學學科教學過程中，我們發現很多學生在上課時能夠完全聽懂課程的內容，可當讓他們進行習題練習時，卻又會無從下手.事實上，學生感覺解題困難有時候并不是因為數學題目本身非常難，而是因為每個學生在閱讀題目、分析題目、思考題目和求解題目過程中所表現出的數學思維和數學能力具有顯著的差異.在教學實踐中，如何幫助學生有效地消除這種差異性，幫助他們更好地學習數學，是每一位一線數學教師必須思考的重點問題.

二、問題轉化本質和學生障礙分析

數學中問題轉化的思想，是一種化歸思想，也是我們在解決數學問題過程中常用的一種分析法.簡單來說，問題轉化是一種思維方法，就是將一個生疏、復雜的問題轉化為熟知、簡單的問題處理，從而實現化繁為簡、化難為易、化抽象為具體的目的.我仔細分析了學生普遍認為比較難的一些試題，發現這些題并非想象中那么難，它們都可以通過問題轉化來解決.學生思維產生障礙的根源在于：審題能力、深層次分析問題能力欠缺；對實際問題應對能力不夠，不會把問題進行轉化、變通；缺乏對數學本質問題的理解.

例1陳老師要為他家的長方形餐廳（如圖1）選擇一張餐桌，并且想按如下要求擺放：餐桌一側靠墻，靠墻對面的桌邊留出寬度不小于80cm的通道，另兩邊各留出寬度不小于60cm的通道.那么在下面四張餐桌中，其大小規格符合要求的餐桌編號是________（把符合要求的編號都寫上）.

圖1

分析：此題主要考查視圖與投影知識的實際應用，但學生在答題過程中表現出來的兩大思維障礙是：難以把空間圖形轉化為平面圖形，以及把實際問題轉化為數學問題.

例2已知線段BD上一動點C，過點B和D分別作AB⊥BD，ED⊥BD，連接AC、EC，AB=5，DE=1，BD=8，設CD=x.

（1）求AC+CE；

（2）當C點在什么位置時，AC+CE的值最小？

分析：筆者對八年級50名學生進行調查研究，結果發現：

表1

調查結果說明，在數形結合思想的運用過程中，學生感覺將“形”的問題轉化為“數“的問題比較容易，將“數”的問題轉化為“形“的問題則比較困難.也就是說，學生比較容易接受將“圖形語言”轉化為“符號語言”，而難以想象將“符號語言”轉化為“圖形語言”.究其原因，是因為學生對于數學式子本質含義缺乏深刻的理解，同時代表了學生數學建模能力的缺乏.

三、數學問題轉化途徑

在“問題轉化”的過程中，將復雜的問題簡單化、困難的問題容易化、抽象的問題具體化、陌生的問題熟悉化，其關鍵在于尋找到合適的轉化路徑.在解題過程中，我們往往會運用到聯想轉化和類比轉化兩種轉化思想.

1.聯想轉化

在解題過程中，我們常常運用的數形結合思想，就是一種聯想轉化思想，將“數”與“形”結合起來，通過尋找幾何關系和代數關系的結合點，解決數學問題.聯想轉化的思想，可以將抽象的問題具體化、復雜的問題簡單化、困難的問題容易化，從而幫助學生更簡便地求解答案.在數學中，我們常常通過將代數問題轉化為幾何問題、幾何問題轉化為代數問題、函數問題轉化為方程問題、方程問題轉化為函數問題進行求解.

2.類比轉化

在初中數學教學中，有很多數學概念或數學定理可以采取類比的方式進行教與學.對數學知識和數學方法的遷移，都可以稱為類比的思想.利用類比轉化思想，我們可以將空間圖形轉化為平面圖形，降低空間維度；可以將簡單的高次方程轉化為一元一次或一元二次方程進行求解，降低方程階次；可以運用全等三角形性質及判定方法研究相似三角形的性質及判定方法；可以運用正方形性質研究矩形、菱形、平行四邊形的性質及定理；可以運用直線與圓的位置關系研究圓與圓的位置關系；可以將多邊形問題轉化為三角形問題進行求解.

例3如圖2，甲、乙、丙三人分別從A點運動到B點，其運動方向如箭頭所示，其中，E為線段AB的中點，AH＞HB，則三人運動路線長度大小關系可表示為（ ）.

A.甲＜乙＜丙 B.乙＜丙＜甲

C.丙＜乙＜甲 D.甲=乙=丙

圖2

分析：如圖2，六邊形問題轉化為三角形問題.利用類比轉化的思想，可以讓學生通過知識的遷移實現對題目的求解.在教學中對學生這種轉化思維的培養，對于學生正確求解題目能力的提高具有極為重要的作用.

四、問題轉化思想的推廣

問題轉化思想是學生求解復雜、困難問題時一種非常有力的數學工具.在求解題目的過程中，倘若學生能夠熟練掌握這種數學工具，并能靈活運用，可提高學生的數學成績，培養數學思維.在初中數學教學中，我們可以通過引導學生進行數學建模，將一些實際生活問題轉化為數學問題進行分析，逐步鍛煉學生的數學建模能力.

例4某大學學生會主席競選，A、B、C參與了筆試和口試兩輪考試，對其考試結果進行統計，可以用表和圖的形式表示，分別如表2和圖3所示.

（1）請將表2和圖3中的空缺部分補充完整.

（2）在學生會主席競選過程中，參與競選的學生經過筆試和口試兩輪比賽后，由本院系的300名學生對他們進行投票，投票結果如圖4所示，請根據圖中比例計算出三位候選人的得票數.

（3）假設競選的最終成績是按照4∶3∶3的比例對筆試、口試和投票分數進行計算的，那么三位候選人的最終成績分別是多少？誰能當選學生會主席？

表2

圖3

圖4

分析：（1）表與圖相互轉化；

（2）圖和數相互轉化：

（3）概率統計和方程問題可以相互轉化.

五、問題轉化能力的培養策略

通過對以上試題的調查、研究與分析，作為一名數學教師，我深深地感受到了問題轉化思想的重要性.在解題過程中，學生的問題轉化能力越強，正確率也就越高.那么，在日常的教學中，我們該如何培養學生的問題轉化能力呢？

1.創設問題轉化的研究氛圍

在初中數學課堂教學中，我們應尊重學生在解題過程中的各種思維和想法，要積極為學生創設問題轉化的研究氛圍，讓學生通過主動思考、自主探究體驗問題轉化思想的具體應用，從中領悟和掌握問題轉化的有效路徑.

2.重視學生的數學思維過程

在日常教學中，我們往往通過課堂提問、當堂訓練、課后作業等多種途徑訓練學生的數學思維，但在教學實踐過程中，我們會忽略學生得出答案或結論的一種數學思維過程，導致學生探究程度不夠，只會一味地接受教師給出的答案，甚至只會機械地模仿套路與模式.為此，教師應充分認識到讓學生積極思考的重要性，要給予學生足夠的時間和機會去思考、去探究，這樣的思維訓練才是有效的，才能真正促進學生思維能力的提升.

3.指導學生掌握問題探索的方法

對于數學問題的求解，我們往往會運用到正向思維、逆向思維和發散思維三種方法，其中，正向思維法是根據題目中的已知條件直接推導出結論，是一種比較常用的思維方法；逆向思維法是從題目中的問題入手，思考要得出結論，需要什么樣的條件，而需要這樣的條件，又如何才能得到，這也是尋求解決問題的一種數學思維方法；發散法是從題目的一個已知條件或一個關鍵信息出發，進行多角度、多形式的引申與發散，從而使得當前的問題變成一個新的問題的思維方法.

例5 在梯形ABCD中，AB∥DC，∠B=90°，其中，E為線段BC上一點，且△ABC與以C、D、E為頂點的三角形相似.

（1）若BC=8，AB=3，DC=4，求BE的長；

（3）若BC=6，AB=3，DC=4，求BE的長；

（4）請對（1）、（2）、（3）中結果的原因進行分析.

分析：根據已知條件，我們可以假設BE=x，利用列比例式將幾何問題轉化為代數問題，進一步將代數問題轉化為方程問題.

第（4）題考查學生的發散性思維水平，分析在第（1）、（2）、（3）題中，為什么會有兩種情況及當滿足什么條件時，答案會有1個、2個甚至3個，利用圖形語言進行描述表達得非常清晰，將“數、式”的問題轉化為“形”的問題，可以快速幫助學生求解該題.

在本題的求解過程中，運用了創造發散、遷移發散、條件發散等思維方法.在教學過程中，可以重點對學生的數學思維方式進行有效訓練，讓學生在探究數學問題的過程中，養成勤于思考、樂于思考、勇于探索的良好習慣，同時通過引導學生認真觀察、遷移運用、自我反思、思維創新，學會問題的合理轉化.

六、結束語

求解數學問題的過程就是一個不斷進行問題轉化的過程，不斷將復雜的問題轉化為簡單的問題，將陌生的問題轉化為熟悉的問題，將未知的問題轉化為已知的問題.數學問題之間各個條件之間的相互關系，決定了問題轉化的路徑和方法.因此，在日常教學中，要引導學生對數學問題的內部聯系進行分析，要給予學生充足的時間和平臺，讓他們自主思考和探究，從而探尋到簡便、快捷的問題轉化方法，從而促進學生問題轉化能力的提升.