精選基本圖形，研發“一圖一課”
——以“對角互補四邊形”微專題復習課為例

☉江蘇省海安市城南實驗中學 顧志勇

中考微專題復習是近年來的一個教研亮點，我們在《中學數學（初中版）》就曾見到多篇研究微專題的課例，深受啟發，筆者在教學實踐中圍繞“對角互補四邊形”也研發了一節習題課，本文梳理出來，分享給大家.

一、“對角互補四邊形”專題復習教學流程

教學環節（一） 基礎熱身

例1 如圖1，在△ABC中，D是BC邊的中點，DE⊥BC交∠BAC的平分線于點E.連接BE、CE.

圖1

圖2

（1）點E到B、C兩個端點距離相等嗎？說說你的依據.

（2）點E到AB、AC的距離相等嗎？說說你的依據.

（3）若∠BAC=80°，求∠BEC的度數.

（4）小可發現∠BAC+∠BEC是一個定值.你覺得小可的發現正確嗎？

教學組織：前兩問是讓學生復習兩個定理，線段垂直平分線上的點到線段兩端點距離相等；角平分線上的點到角的兩邊距離相等.第（3）問需要作輔助線，如圖2，過點E向AB、AC作垂線段EG、EH，可利用“HL”證Rt△BGE Rt△CHE，得∠BEG=∠CEH，再把目光轉向四邊形AGEH中，可得∠GAH+∠GEH=180°，于是結合∠BEG=∠CEH，轉化為∠BEC+∠BAC=180°.教學過程中先安排學生獨立探究，再在小組內交流思路，并由學生代表匯報展示，教師根據學生的講解追問思路，對于關鍵步驟可以讓其他學生復述.

教學環節（二） 拾級而上

例2如圖3，在Rt△ABC中，O是斜邊AB的中點，DO⊥AB交∠BCA的平分線于點D，DE⊥AC于點E，DF⊥BC于點F.

（1）求證：△ADE △BDF.

（2）小天發現∠DAC+∠DBC是一個定值.請判斷小天的發現是否正確.

（3）設AC=6，BC=2，求四邊形ADBC的面積.

（4）在（3）的條件下，求CD的長.

教學組織：前兩問是例1的變式再練，安排學生復述思路即可.第（3）問需要借助前兩問的進展，得出AE=BF，再得出CE=CF，AC-AE=BC+BF，于是CE=CF=4，再證四邊形CEDF為正方形，它的面積為16，再結合△ADE △BDF，四邊形ADBC的面積可轉化為正方形CEDF的面積16.相應的，發現△CDE是等腰直角三角形，有CD=4.

圖3

圖4

教學環節（三） 圓的視角

例3如圖4，AB為⊙O的直徑，點C、D在圓上，連接AC、BC，CD平分∠ACB，連接AD、BD.

（1）判斷△ABD的形狀，并說明理由.

（2）若⊙O的半徑為5，求AD的長.

（3）在（2）的條件下，BC=6，求CD的長.

（4）小婧經過探究，發現不需要（2）中的條件，也可證出AC+BC=CD.你覺得得小婧的探究是否正確？說說你的分析.

教學組織：對于第（1）問，除了可以轉化為例1、例2中的思路處理，還可以結合圓周角性質（根據同弧所對圓周角相等，∠DAB=∠DCB，∠DBA=∠DCA），快速實現問題突破.對于第（2）問，可延續上一問的進展，利用等腰直角三角形的性質，直徑即斜邊AB=10，可得AD=BD=5對于第（3）問，利用之前例2中的一些進展，構造圖5，突破△CDE為等腰直角三角形，求出BF=AE=1，于是CE=7，即CD=7.當然解法并不唯一，學生也可“旋轉”△BCD到△AGD的位置，構造圖6中的△CDG，證出等腰直角三角形，也可實現問題解決.第（4）問則是“走向一般”，利用上一問中兩種構圖都可解決問題.比如圖5中，先證出AC+BC=2CE，而CD=CE，即AC+BC=CD.另外，利用圖6中的進展，把目光投向等腰直角三角形CDG，也可得出CG=CD，即AC+BC=CD.

圖5

圖6

教學環節（四） 變式拓展

例4如圖7，AB是⊙O的直徑，AC是⊙O的弦，∠ACB的平分線CD分別交⊙O于D，交AB于M，連接AD、BD.

（1）請你過點D分別向AC、BC作垂線段，垂足分別為點E、F，求證：四邊形CEDF為正方形.

（2）直接寫出AC、BC、CD之間的數量關系.

（3）設DA=m，DC=n，試用含m、n的代數式表示△ABC的周長.

圖7

教學組織：前兩問是例3的簡單變式.對于第（3）問，可利用例3（4）獲得的結構與性質，構造出圖5或圖6，是△ABC的周長為對于第（4）問，由△ACM △DBM，可得，由△BCM △DAM，

二、教學立意的進一步解讀

1.精心選取基本圖形，研發“一圖一課”

本課我們選取的是“對角互補四邊形”這一基本圖形，該圖形融角平分線、垂直平分線于一題之中，既需要角平分線的性質定理、線段垂直平分線的性質定理證線段相等，又需要借助全等來“導角”，對證明過程中“導邊”“導角”的基本功有較好的訓練.從這個基本圖形出發，通過例1讓學生經過熱身訓練，過渡到例2拾級而上，再到例3結合圓的視角看清問題的結構，最后的例4仍然以圓為背景，變式再練、拓展提升，起到了較好的教學效果.

2.貫通不同年級章節，踐行“開放教學”

上面的4個例題中，例1、例2分別對應著八年級上學期全等三角形、等腰三角形的學習，例3對應著九年級上學期圓的學習，例4對應著九年級下學期相似三角形的內容，4個例題源于一個基本圖形，環環相扣，貫通了不同年級和章節，作為中考專題復習，打破年級、章節的界限，借助一個圖形綜合不同的知識點，讓研究問題的視角打開，使學生學會根據問題條件或信息解讀、調取不同章節的數學內容，輔助解題，踐行了所謂“開放式教學”（鄭毓信教授語）的追求.

3.遵循深入淺出原則，預設“鋪墊問題”

在具體構思“一圖一課”時，既要注意循序漸進，由淺及深，又要注意在呈現一些拓展問題之前，增設一些鋪墊式問題，讓學生循著鋪墊問題自主獲取思路，既學會解題，又能收獲解題自信.比如根據教學經驗，例3的第（4）問是很多學生不太適應的一種問題，因為在圓的背景中，學生往往思路局限在圓的“內部”（不只是指圓這個圖形內部，學生的眼光也局限于利用圓這一章中的知識點解題），不能跳出圓的視角聯想到八年級“旋轉”構造全等、證明特殊直角三角形來實現問題的貫通.這樣，我們有了例2的幾個設問的鋪墊，當學生沒有進展時，可以啟發他們“回看”例2，容易獲得有效的構造與轉化，實現問題解決.