選好題材 關注考點 落實核心素養
——以一節中考復習課“一次函數的應用”教學為例

☉江蘇省南京市行知實驗中學 吳發繼

中考一輪復習時，課堂教學主要以復習課為主，切實提高復習課的課堂效率，是教師一直關注和追求的.目前許多學校在中考一輪復習時，都有統一的學案，但學案在編寫時并不能完全照顧到每個班級的學情，題目的選擇無法兼顧所有學生.有一部分教師上課時完全照搬學案，不顧學情，另一部分教師考慮到本班的學情，隨便增刪題目，沒有關注到復習課的更高要求，這樣長期下來，無法調動學生的積極性與主動性，課堂效率不高.下面筆者就以一節市中考一輪復習公開課“一次函數的應用”為例，從知識框架構建、關注熱點考點、總結解題方法、滲透思想方法、提升思維能力、落實核心素養方面做一些嘗試，不當之處，敬請賜教.

一、教學背景

1.內容解析

函數是中學數學中極為重要的概念，函數是數量化地描述運動變化現象的重要數學模型.一次函數是一種較為簡單的線性函數，是中考非常重要的考點，南京市中考試卷中每年必考一次函數的應用，主要以圖像的形式出現，以考查s-t、v-t圖像為主，特別是s-t圖像，出現的頻數較多，主要考查函數圖像的信息提取、一次函數的圖像、一次函數表達式的確定，以及一次函數與一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程組等內容.在解決此類問題時，根據題意和圖像確定一次函數模型是前提，然后利用圖像和線性示意圖分析運動變化的過程是關鍵，最后根據函數與方程的關系解決問題.

2.學情分析

一次函數是“數與代數”中的重要內容，是中考必考考點.九年級學生已經系統學習過函數的相關知識，以及方程、不等式等知識，大部分學生知道研究函數的一般方法，會用待定系數法和數量關系法確定函數表達式，具備對具體問題中變量間關系進行初步分析的能力和解決一般問題的能力.本節課所授班級的學生層次中等，有部分學生對圖像的認識不夠深刻，從圖像中提取的信息有時還不夠準確、完整，特別是對如何利用圖像中的關鍵點解決問題還不夠清楚，對學生來說，“從數到形”比較容易接受，但還不太習慣“從形到數”這種逆向思維，往往難以把握數與形的轉化.另外，部分學生對如何用函數模型解決實際問題還不夠清楚，因此，要通過對具體問題的分析，讓學生進一步感受數形結合、數學建模、轉化、函數與方程等思想方法，讓學生在分析和解決問題的過程中，自主判斷和選擇不同的策略，體會如何建立一次函數模型，準確求出一次函數的表達式，以及如何利用函數圖像及相關知識解決實際問題，提高學生解決問題的能力，落實核心素養.

二、教學目標

（1）能根據實際問題中變量之間的數量關系，確定一次函數的表達式；

（2）在表格和圖像問題中，能用待定系數法確定一次函數的表達式；

（3）能通過觀察圖像或表格，了解圖像或表格中蘊含的信息，并能對函數關系進行簡單分析；

（4）能將簡單的實際問題轉化為數學問題（建立一次函數模型），從而解決簡單實際問題；

（5）在用—次函數解決表格和圖像問題的過程中，進一步感受建模思想和數形結合思想.

三、教學重點、難點

重點：（1）能根據實際問題中變量之間的數量關系，確定一次函數的表達式；

（2）在表格和圖像問題中，能用待定系數法確定一次函數的表達式；

（3）能用一次函數解決表格和圖像中的問題.

難點：能用一次函數解決行程問題中的相距問題及準確畫出s-t圖像，并在解決問題中進一步感受建模和數形結合思想.

四、教學過程

環節1：課前熱身

（1）某種礦泉水，每瓶2元，總銷售額y元與售出瓶數x之間的函數表達式是_________.

（2）給汽車加油的加油槍流量為25L/min.如果加油前油箱里有6L油，那么在加油過程中，用yL表示油箱中的油量，xmin表示加油時間，則y與x之間的函數表達式為______.

（3）張老師計劃到超市購買甲種文具100個，他到超市后發現還有乙種文具可供選擇.如果調整文具的購買品種，每減少購買1個甲種文具，需增加購買2個乙種文具.設購買x個甲種文具時，需購買y個乙種文具.則y與x之間的函數表達式是______.

（4）小明從家到圖書館看報然后返回，他離家的距離ykm與離家時間xmin之間的對應關系如圖1所示，如果小明在圖書館看報30分鐘，求他離家50分鐘時離家的距離是多少.

圖1

設計意圖：安排四個練習，主要復習用數量關系法和待定系數法確定一次函數的表達式，并能用函數知識解決簡單實際問題，總結考點.

環節2：典型例題

例1點燃一支蠟燭，蠟燭燃燒剩下的長度y（cm）是蠟燭燃燒的時間x（min）的一次函數，觀測結果如表1：

表1

（1）求y與x之間的函數表達式；（追問：請你畫出該函數的草圖）

（2）這支蠟燭多長時間燃盡？（追問：還有其他方法嗎）

設計意圖：問題（1），進一步復習一次函數的表達式的確定方法：數量關系法和待定系數法.追問的目的：（1）復習畫草圖的一般步驟，并能注意到畫圖時要注意自變量的取值范圍；（2）為第（2）問的解決提供兩種方法，一是能通過圖像解決，二是能運用函數與方程思想解決，體現數形結合和函數與方程思想.進一步回顧函數的三種表示方法，學生能進一步感受三種方法的相互轉化，總結用函數解決問題的方法和思路.

例2小東從A地出發以某一速度向B地走去，如圖2所示的線段表示小東離B地的距離y1km與所用時間xh的關系.

（1）根據圖像，你能得到哪些信息？你覺得這些信息能解決什么問題？

（2）求y1與x之間的函數表達式；

（3）求A、B兩地之間的距離.

圖2

設計意圖：設置一個開放性的問題，激發學生學習的興趣，進一步發展學生的發散性思維能力，入口低，易上手，符合學生的學情，以學定教，并考查學生觀察圖像、分析圖像的能力，進一步提高學生運用圖像上的點的信息解決問題的能力，感受數形結合思想，落實核心素養.

拓展延伸：小東出發的同時，小明從B地出發沿同一條路勻速向A地走去，經過2.5h走了7.5km.

（1）在同一坐標系中畫出小明離B地的距離y2km與所用時間xh的關系的圖像，用文字說明點P所表示的實際意義.

（2）小明出發多長時間后，兩人相距10km？

（3）設兩人相距S千米，在直角坐標系中畫出S關于x的函數圖像（標出相關數據）.

設計意圖：增加一個圖像，考查學生能根據題意準確分析數量關系、畫出圖像，并能理解圖像中關鍵點的實際意義和自變量的取值范圍，也和例1中畫草圖前后呼應，考查學生解決問題的能力.問題（2）考查學生觀察圖像、分析圖像，并能運用數形結合思想解決問題的能力.問題（3）考查學生對于新給變量S與x的關系，結合線性示意圖，找到關鍵節點，準確畫出圖像.

環節3：學習反饋

（1）為了解某種品牌汽車的耗油量，我們對這種車在高速公路上做了耗油試驗，并把試驗的數據記錄下來，制成表2：

表2

①根據表2中的數據，請寫出Q與t之間的表達式；

②汽車行駛5h后，油箱中的剩余油量是多少？

設計意圖：鞏固運用表格，根據數量關系，建立模型，進一步鞏固確定函數的表達式的方法，并能運用函數知識解決問題.

（2）從甲地到乙地，先是一段平路，然后是一段上坡路.小明騎車從甲地出發，到達乙地后立即原路返回甲地，途中休息了一段時間.假設小明騎車在平路、上坡、下坡時分別保持勻速前進.已知小明騎車上坡的速度比平路上的速度每小時少5km，下坡的速度比在平路上的速度每小時多5km.設小明出發xh后，到達離甲地ykm的地方，圖中的折線O—A—B—C—D—E表示y與x之間的函數關系.

圖3

①小明騎車在平路上的速度為_____km/h，他途中休息了______h；

②求線段AB、BC所表示的y與x之間的函數表達式；

③如果小明兩次經過途中某一地點的時間間隔為0.15h，那么該地點離甲地多遠？

設計意圖：鞏固觀察圖像、分析圖像及從圖像中提取信息的能力，進一步鞏固確定函數的表達式的方法，并能運用函數知識解決問題.第③問有一點難度，考查學生正確理解題意，并能運用所學知識解決問題的能力.并能和例2中的相距問題形成呼應，總結時間差和路程差的兩種情況，并總結解決此類問題的方法.

環節4：課堂小結

在本節課的學習中，你對哪些知識的學習印象較深刻？

設計意圖：（1）回顧本節課的內容，梳理知識脈絡，總結考點與解題方法；（2）感受本節課中的數學思想方法.

圖4

五、教學反思

1.選好題材，構建網絡

復習課不是簡單的重復，中考一輪復習課的首要任務是回顧知識點，構建知識網絡.對于中考一輪復習課，學生對所復習的知識，要么遺忘，要么是一些零散的知識，沒有形成網絡，更不能從整體上認識所復習的知識.在備課時，教師需要深入研究，整體認識所復習的內容，精心選題.本節課通過精心選題，設置問題串，將所學各個知識點構建成知識網絡，學生的思維也得到再一次發展與生長.

本節課從課前熱身開始，4個練習題難度適中，復習確定一次函數的表達式的兩種方法：待定系數法和數量關系法，以及復習利用一次函數解決實際問題.兩個例題定位清晰，層次分明，難度拾級而上.例1以生活中的問題為背景，以表格的形式呈現變量之間的數量關系，第（1）問，確定函數表達式，追問試畫草圖，進一步感受函數三種表示方法之間的轉化；第（2）問，學生解決問題的方法多樣化，可以利用圖像，可以利用函數表達式，也可以利用數量關系解決.例2設置三個基本問題，然后拓展三個問題，難度逐漸提升.通過課前熱身和兩個例題的復習及反饋練習的訓練，以點帶面梳理了一次函數應用基本主線和知識框架圖，這樣學生通過一節課的復習，清晰地知道了一次函數應用中的基本知識，并能感受知識間的普遍聯系，形成知識框架，感受數學的整體性，學生不僅見了樹木更感受到整個森林.

2.關注考點，總結方法

中考一輪復習，時間緊，任務重，如何在有限的時間內，上好復習課，選題是關鍵，考點是方向，方法是根本，只有把握好一次函數應用的考點，選題才有方向，然后總結出解決問題的一般方法.個人認為，一次函數的應用有這樣幾個關鍵考點：（1）能通過觀察圖像或表格，了解圖像或表格中蘊含的信息，并能對函數關系進行簡單分析；（2）能用數量關系法或待定系數法確定一次函數的表達式；（3）能將簡單的實際問題轉化為數學問題（建立一次函數模型），從而解決簡單實際問題.一次函數應用中，行程問題是較為常見的題型，考查行程問題，主要以圖像的形式出現，主要考查s-t、v-t等圖像，其中因變量y的實際意義常表示距離，主要有三種：（1）表示與出發地的距離；（2）表示與目的地的距離；（3）表示兩運動物體之間的距離［1］.

例2以s-t圖像呈現，設置六個問題，前三個問題較為基礎，重點關注基本考點.第（1）問設置一個開放題，讓學生觀察圖像，說出能得到的信息，并說說這些信息能解決什么問題，為后面解決問題做鋪墊；第（2）問再次總結確定一次函數的兩種方法，也有學生利用速度與比例系數k的關系，先利用圖像中的信息，分析題意，求出速度，然后確定k，再用待定系數法確定函數的表達式，優化了計算，準確率大大提高.拓展的三個問題，層次分明，重點考查兩個內容：（1）已知兩車距離，求時間；（2）增加新的變量.這兩個問題對于一般學生而言都是難點，要突破難點，可以從以下幾個方面出發.對于第（2）問，學生可以畫出線性示意圖，找到相等關系，然后利用方程解決；也可以直接在圖像上大概標出兩個不同的點，然后利用y1-y2=10和y2-y1=10解決，這就是用函數的本質體現，但運用此方法，也可能遇到特殊問題時，有多種情況.不管哪種方法，關鍵在于找到相距10km的相等關系.對于第（3）問，可以從兩個方面入手.（1）分三個階段畫出線性示意圖，即相遇前，y逐漸變小，相遇后，y逐漸變大，若有一車先到，另一車繼續行駛，這時y逐漸變大，但變大的趨勢變緩，直到另一輛車到達終點.（2）把握好關鍵點：從開始行駛到相遇，從相遇后直到兩輛車到達，利用所給數據算出幾個關鍵點的坐標.

數學活動是課堂教學的關鍵，問題是數學的心臟，以問題驅動來組織教學活動，通過問題來引領學生思維發展；通過問題來總結考點，讓學生明白一次函數的應用到底要掌握哪些考點，掌握到什么程度；通過問題設置與問題解決總結解題方法，積累解題經驗，讓學生理解解決問題的通性、通法，并能一以貫之.

3.滲透思想，提升思維

數學課堂教學其實是數學知識和數學思想方法的教學，《義務教育數學課程標準（2011年版）》明確指出：數學思想蘊含在數學知識形成、發展和應用的過程中，是數學知識和方法更高層次的抽象與概括.本節課是一節中考復習課，不但要構建知識網絡，梳理一次函數應用的相關考點，還要注重培養學生的能力與思維，更要滲透數學思想.

本節課設置的問題有：求函數的表達式、蠟燭燃燒的時間、AB兩地的距離、已知兩車的距離求運動的時間、給出新變量畫出函數圖像等常見常考問題，而解決這些問題主要應用數形結合思想，以數助形，以形研數，從而使問題得到解決.如小明出發多長時間后，兩人相距10km，學生可以通過圖像中點的位置，轉化為y1-y2=10和y2-y1=10來解決；學生也可以畫出線性示意圖，找到相等關系，運用方程來解決.例題、練習題的問題設置，都有求出函數的表達式，然后解決問題.學生根據題意，找到數量關系，建立一次函數模型，然后用函數表達式解決問題，體現了模型思想.本節課中部分問題的解決還運用了函數與方程、轉化等思想方法.數學思想是數學知識和方法更高層次的抽象與概括.學生在解決問題時可能不會想用什么思想方法解決，但在解決問題過程中，無形地滲透了數學思想方法，教師在總結過程中，要讓學生充分感受數學思想方法的魅力.復習課要解決的不是一兩道題的問題，而是一類題的問題，學生在解題過程中運用的方法、蘊含的思想才是解題的根本.

4.問題解決，落實素養

數學教學活動應以想象為先導，以抽象、推理和建模為主干，以發現數學規律、解決數學問題為旨歸.核心素養應是數學教學的導向，也是我們構建數學框架的基本要素［2］.一輪復習課不僅要復習相關的知識，還要教會學生如何解題.解題能力的培養是一個逐步形成和發展的過程.本節課對于學生所解決的每一道題，都離不開核心素養的落實.

從圖像中提取信息、利用圖像解決問題、畫出S關于x的函數圖像、構建知識網絡，這些問題的解決都有助于學生數學抽象素養的提升；根據距離差求時間及根據時間差求距離問題，這些問題的解決都有助于學生邏輯推理素養的提升；再者，本節課多次要利用一次函數解決實際問題，如蠟燭燃燒的時間，油箱中剩余油量等，這些問題的解決都有助于學生數學建模素養的提升.

六、結束語

教學有法，教無定法，中考一輪復習課，不僅要回顧知識，構建知識框架，還要關注核心考點、總結解題方法，更要在解決問題的過程中，滲透思想方法、提升思維能力、落實核心素養.本節課通過精心選題，設置問題串，不斷激發學生思考，在解決問題的過程中充分感受知識間的聯系和中考熱點考點，對一次函數的應用也有了整體性的把握.本節課數學教學活動中，問題設置層次分明，不斷深入，學生在解決問題的過程中，積累了解題經驗，總結了解題方法，感受了數學思想方法，發展了思維能力，提升了核心素養，從而提高了復習課的有效性.