讓中考復(fù)習(xí)課充滿探究味*
——從一節(jié)“尺規(guī)作圖作平行線”課例談起

☉福建省廈門五緣實(shí)驗(yàn)學(xué)校 陳海烽 馬光德

探究是學(xué)生獲得數(shù)學(xué)知識(shí)的重要途徑.探究學(xué)習(xí)對(duì)于提高學(xué)生的核心素養(yǎng)，尤其對(duì)于創(chuàng)新精神與實(shí)踐能力的培養(yǎng)具有重要意義.因?yàn)樘骄考饶軡M足學(xué)生的求知欲和好奇心，又能使學(xué)生更有獲得感，更能體驗(yàn)到對(duì)數(shù)學(xué)的“深層理解”.探究的過(guò)程本身可以使學(xué)生的思維受到良好的鍛煉，學(xué)生需要調(diào)用自己的已有知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，有利于學(xué)生“溫故知新”［1］；學(xué)生也需要在探究的過(guò)程中合作、解釋，有利于培養(yǎng)學(xué)生的交流表達(dá)技能，這些均指向?qū)W生核心素養(yǎng)的提升.

如何上好中考復(fù)習(xí)課一直是困擾數(shù)學(xué)教師的一個(gè)難題.張奠宙先生曾說(shuō)過(guò)，難見(jiàn)一堂好的復(fù)習(xí)課.筆者認(rèn)為其原因有：學(xué)生經(jīng)過(guò)了新授課的教學(xué)，對(duì)知識(shí)產(chǎn)生了“喜新厭舊”的心理；通過(guò)新課教學(xué)學(xué)生對(duì)知識(shí)的認(rèn)知出現(xiàn)了較大的差異，換句話說(shuō)，學(xué)生已經(jīng)不在同一個(gè)起跑線上.復(fù)習(xí)課的兩大任務(wù)是知識(shí)鞏固和能力提升，如何才能使學(xué)生仍然像新授課一樣保持好奇心，既起到鞏固知識(shí)的效果，又能建立知識(shí)之間的聯(lián)系，促進(jìn)能力的提升？設(shè)計(jì)好的復(fù)習(xí)探究是提高復(fù)習(xí)效益的重要途徑.下面結(jié)合自己的一節(jié)“尺規(guī)作圖”課，談?wù)勛约旱目捶?

一、課堂呈現(xiàn)

師：請(qǐng)大家拿好直尺和圓規(guī)，準(zhǔn)備做一道題.過(guò)點(diǎn)A作直線平行于已知直線l.（如圖1）

圖2

圖1

生1：（面露難色）這個(gè)題怎么能做呢？題目沒(méi)有問(wèn)題吧？

生2：用三角板和直尺平推法作圖.

師：（教師展示）像這個(gè)同學(xué)用直尺和三角板作圖（見(jiàn)圖2），可以嗎？

生3：違背尺規(guī)作圖的原則.

師：是的，尺規(guī)作圖只能用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)這兩樣作圖工具.這個(gè)題目本身沒(méi)有問(wèn)題，如何作呢？大家再想想.

師：看來(lái)大家有點(diǎn)為難.讓我們回想一下，我們知道哪些基本作圖方法？

生4：作一條線段等于已知線段，作一個(gè)角等于已知角，作一條線段的垂直平分線，過(guò)一點(diǎn)作一條線段的垂線；作一個(gè)角的平分線，作一個(gè)圖形的軸對(duì)稱圖形，用描點(diǎn)法作函數(shù)的圖像……

師：大家看看，哪些可以幫助我們做這道題？

生5：作一個(gè)角等于已知角.

師：很顯然，我們必須找到同位角相等或內(nèi)錯(cuò)角相等……然后兩直線平行.

生6：我會(huì)作了.如下（見(jiàn)圖3）：作一條直線a與l相交得∠1，然后作一個(gè)角等于∠1，則根據(jù)同位角或內(nèi)錯(cuò)角相等，可知這兩條直線是平行的.

圖3

生7：根據(jù)生6的作法，如圖4，得到∠2，然后作一個(gè)角等于∠2，顯然有同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行.

師：以上幾個(gè)同學(xué)做得很好，現(xiàn)在我們的思路打開了，還有沒(méi)有別的方法呢？這是從一個(gè)角等于已知角的方法入手，能否用其他方法？建議同學(xué)們用這樣的句式來(lái)說(shuō)明，我的作法是_____，原理是_____，涉及的基本作圖是_____.

圖4

圖5

生8：我的作法是：先過(guò)點(diǎn)A作l的垂線a，然后過(guò)點(diǎn)A作直線a的垂線.原理是：同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行，或者說(shuō)：在同一平面內(nèi)，垂直于同一直線的兩直線平行.用到了兩次“過(guò)一點(diǎn)作已知直線的垂線的基本作圖法”.（見(jiàn)圖5）

師：妙嗎？妙要大聲說(shuō)出來(lái).這位同學(xué)打開了思路.從什么方向找的平行？由他的啟發(fā)，我們可以從結(jié)論平行線出發(fā)，尋找自己的作法.

生9：我受生8啟發(fā)，作法：先過(guò)點(diǎn)A作a⊥l于點(diǎn)B，然后繼續(xù)在l上找另外一點(diǎn)C，再過(guò)點(diǎn)C作b⊥l，接著量取AB=CD，顯然四邊形ABCD是矩形，所以AD∥l.原理是：矩形的對(duì)邊平行.我用到了過(guò)一點(diǎn)作一條直線的垂線的方法，還有作一條線段等于已知線段兩種基本作圖.（見(jiàn)圖6）

師：真是個(gè)好主意，看到了嗎？生9用了兩種基本作圖，過(guò)一點(diǎn)作已知線段的垂線，還有作一條線段等于已知線段.提醒我們什么？可以多種方法配合.

圖6

圖7

生10：我的作法是：過(guò)點(diǎn)A作一條直線與l相交得∠1，然后作∠1的平分線，再截取AB=AC.原理是：角平分線+等腰三角形?平行線.用到兩個(gè)基本作圖：作一個(gè)角的平分線和作一條線段等于已知線段.（見(jiàn)圖7）

生11：（鼓掌）當(dāng)然也可以在另外一側(cè)作！我還有一種作法.作法是：以AB為邊作一個(gè)菱形.原理是：菱形的對(duì)邊平行，比他更簡(jiǎn)單些.用到一個(gè)基本作圖：作一條線段等于已知線段，只不過(guò)用了三次.（見(jiàn)圖8）

圖8

圖9

生12：顯然可以更一般化些，就是作一個(gè)平行四邊形.原理是平行四邊形的對(duì)邊平行.也是用了作一條線段等于已知線段，但兩次取的線段長(zhǎng)度不必一樣.（見(jiàn)圖9）

師：（欣賞地看著學(xué)生）思路一旦打開，誰(shuí)都攔不住.好了，有這么多種方法，能否總結(jié)整理一下？對(duì)我們今后尋找解題辦法有何啟示？大家分組討論一下，然后請(qǐng)各小組派代表展示.

小組1展示：我們小組將講過(guò)的方法整理了一遍，這樣很直觀.（見(jiàn)表1）

表1

師：表格有很好的直觀性，是收集和整理信息的一個(gè)重要工具，大家可以向小組1學(xué)習(xí).

小組2展示：我們組覺(jué)得這道題看起來(lái)好像是尺規(guī)作圖的方法，其實(shí)實(shí)質(zhì)是尋找證明平行的方法.所以我們以“平行”為核心，整理出如下思維導(dǎo)圖.這樣我們作圖的各種原理就很清晰了.（見(jiàn)圖10）

圖10

生13：通過(guò)整理這個(gè)知識(shí)，我發(fā)現(xiàn)還有一種方法.作法：過(guò)點(diǎn)A作直線a與l相交于點(diǎn)B，延長(zhǎng)BA到B′，使AB=AB′，再過(guò)點(diǎn)B′作直線b交l于點(diǎn)C，然后作線段B′C的中垂線得B′C的中點(diǎn)D，則有AD∥l.原理是：三角形的中位線平行于第三邊.用到兩個(gè)基本作圖，分別是作一條線段等于已知線段和作一條線段的垂直平分線.（見(jiàn)圖11）

生（眾）：妙呀！

圖11

師：很好，生13抓住了問(wèn)題的核心，就是平行.這道題本質(zhì)上就是證明平行的各種辦法.小組2還涉及一種辦法.什么方法？它能幫我們作圖嗎？

生（眾）：平行于同一直線的兩直線平行.這個(gè)需要化歸為在兩直線平行的基礎(chǔ)上，顯然方法不妥.

師：很好，用了一個(gè)很妙的詞語(yǔ)——化歸，這也是數(shù)學(xué)的靈魂.

小組3展示：我們組從解題坐標(biāo)系入手，將作圖的方法作為方法軸，將學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)知識(shí)作為知識(shí)軸，建立如下所示的坐標(biāo)系，如圖12所示：

圖12

師：小組3的同學(xué)富有創(chuàng)意，看來(lái)我們之前的解題坐標(biāo)系運(yùn)用得很好.這樣就像是一張知識(shí)地圖，很好地將題目的知識(shí)和方法有序地展示了出來(lái).然后分別往兩坐標(biāo)軸進(jìn)行投影，使得整個(gè)知識(shí)與方法聯(lián)系十分緊密.三組同學(xué)的代表都闡述得很好，大家看看哪種更值得學(xué)習(xí)？

生：支持第三種——解題坐標(biāo)系，很有數(shù)學(xué)味道.

師：第三種整理辦法就像是一張知識(shí)地圖，更有利于后續(xù)的學(xué)習(xí)，它還蘊(yùn)藏著大能量，可以解決更廣的問(wèn)題.從本節(jié)課我們可以看出，同學(xué)們通過(guò)認(rèn)真探究，思考問(wèn)題時(shí)能抓住關(guān)鍵的核心——平行，從這個(gè)目標(biāo)尋找可行性辦法，將一個(gè)陌生的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉的問(wèn)題.我想大家肯定會(huì)有不同程度的收獲.特別是整理探究這個(gè)環(huán)節(jié)，相當(dāng)于圍棋的復(fù)盤，就是將自己的和朋友的作法再次做個(gè)梳理，這樣我們今后探究類似的問(wèn)題時(shí)有經(jīng)驗(yàn)可循.

二、教學(xué)思考

1.復(fù)習(xí)探究課要精心設(shè)計(jì)復(fù)習(xí)題材，激活學(xué)生的探究欲望

在復(fù)習(xí)中，找到一個(gè)好的復(fù)習(xí)題材往往能使復(fù)習(xí)事半功倍.本案例中，筆者提供一道尺規(guī)作圖題讓學(xué)生探究.過(guò)直線外一點(diǎn)作平行線，這個(gè)內(nèi)容在新授課時(shí)我們就是用平推法作出來(lái)的，但是它不屬于尺規(guī)作圖.這個(gè)問(wèn)題接近學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，但要經(jīng)過(guò)一定的思考.正如上課伊始許多學(xué)生并沒(méi)有一下子就反應(yīng)過(guò)來(lái).經(jīng)過(guò)筆者的引導(dǎo)，學(xué)生的探究欲望被激發(fā)了出來(lái)，從而使探究的方法井噴.一個(gè)好的題材，就像顆石頭一般投入平靜的湖面，會(huì)引發(fā)陣陣漣漪.因此，教師在復(fù)習(xí)時(shí)要多琢磨復(fù)習(xí)題材的選擇.例如，對(duì)于中考函數(shù)的復(fù)習(xí)，我們可以設(shè)計(jì)一個(gè)題材，探究y=x+的性質(zhì)，讓學(xué)生通過(guò)已經(jīng)學(xué)過(guò)的研究函數(shù)的一般方法研究這個(gè)函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、對(duì)稱性、奇偶性、最值，核心是通過(guò)圖像研究，可以讓學(xué)生描圖，然后逐步感知，進(jìn)而一步一步探究，直至完整地揭示這個(gè)函數(shù)的性質(zhì).換句話說(shuō)，讓學(xué)生將研究函數(shù)的程序走一遍，這樣研究初等函數(shù)的方法就得以鞏固并有新的認(rèn)識(shí)，乃至今后遇到一個(gè)陌生的函數(shù)時(shí)也能泰然處之.總之，數(shù)學(xué)探究課內(nèi)容的選擇是完成探究性學(xué)習(xí)的關(guān)鍵.選擇的教學(xué)內(nèi)容要有助于學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的理解，有助于學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)研究的過(guò)程，有助于學(xué)生形成發(fā)現(xiàn)、探究問(wèn)題的意識(shí)，有助于鼓勵(lì)學(xué)生發(fā)揮自己的想象力和創(chuàng)造力，因此，探究課題的內(nèi)容要具有開放性，圍繞課題學(xué)習(xí)的預(yù)備知識(shí)不要走出現(xiàn)有的數(shù)學(xué)知識(shí)的范圍.

2.復(fù)習(xí)探究課要?jiǎng)邮謱?shí)驗(yàn)整理反思，豐富學(xué)生的探究手段

復(fù)習(xí)需要做題，但不能僅僅是做題，學(xué)生在復(fù)習(xí)中不斷地刷題容易產(chǎn)生厭倦.應(yīng)充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的各種感官參與復(fù)習(xí)，使學(xué)生自然地卷入復(fù)習(xí)過(guò)程，積累相應(yīng)的探究經(jīng)驗(yàn)，動(dòng)手實(shí)驗(yàn)是一種很好的選擇.在動(dòng)手中，學(xué)生的焦慮感降低，認(rèn)知負(fù)荷減少.本案例中，學(xué)生通過(guò)自己操作直尺和圓規(guī)，在自己思維活動(dòng)的參與下，將過(guò)直線外一點(diǎn)作平行線的方法探究得異彩紛呈.同時(shí)本案例中學(xué)生利用表格和圖像的直觀性，開發(fā)出相應(yīng)的整理知識(shí)的方法，也促進(jìn)了知識(shí)的內(nèi)化提升，進(jìn)而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

3.復(fù)習(xí)探究課要多點(diǎn)期待多點(diǎn)空間，延展學(xué)生的探究過(guò)程

在學(xué)生的探究過(guò)程中，教師要充分發(fā)揮學(xué)生的主體作用.教師退一步，學(xué)生進(jìn)十步.相信學(xué)生的潛能，多給學(xué)生一點(diǎn)時(shí)間和空間.教育要有農(nóng)人精神，要懂得守望.本課例中，筆者除了在開頭學(xué)生遇到困難時(shí)進(jìn)行提醒，其他都是由學(xué)生自己探索，可以欣喜地看到，學(xué)生在回答問(wèn)題時(shí)說(shuō)受到了哪位同學(xué)的啟發(fā)，這表現(xiàn)出學(xué)生有良好的傾聽能力，有助于學(xué)生之間互相學(xué)習(xí)、互相欣賞，可培養(yǎng)良好的合作探究的品質(zhì).在完成畫法之后，我只是引導(dǎo)學(xué)生整理知識(shí)，讓他們進(jìn)行小組合作，去分享，結(jié)果，我們看到了三組非常有代表性的成果，使得本課學(xué)習(xí)的價(jià)值得到了質(zhì)的提升.

4.復(fù)習(xí)探究課要?jiǎng)?chuàng)設(shè)結(jié)構(gòu)信息關(guān)聯(lián)，提升學(xué)生的探究層次

在復(fù)習(xí)中，將數(shù)學(xué)知識(shí)建立一個(gè)系統(tǒng)是提高復(fù)習(xí)效益的一個(gè)重要方法，它就是華羅庚先生所說(shuō)的將書讀薄的舉措之一，也是鍛煉學(xué)生概括思維的重要方式.本課例表面上是讓學(xué)生復(fù)習(xí)尺規(guī)作圖的方法，更核心的知識(shí)是讓學(xué)生掌握平行的各種判定方法并綜合運(yùn)用.本課例中，學(xué)生巧妙地利用表格、思維導(dǎo)圖、解題坐標(biāo)系，對(duì)知識(shí)進(jìn)行巧妙連接，有利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維.特別值得一提的是，解題坐標(biāo)系和許國(guó)泰先生的“信息交合理論”極為相似.通過(guò)知識(shí)軸與方法軸兩個(gè)維度建立起作圖知識(shí)與作圖方法的關(guān)聯(lián)，提高了探究的自覺(jué)性，進(jìn)而激發(fā)學(xué)生對(duì)探究過(guò)程的元認(rèn)知監(jiān)控，并加以運(yùn)用.本課例中，生12提供的最后一種方法，就是在整理知識(shí)過(guò)程中靈光一現(xiàn)獲得的.在知識(shí)和方法螺旋上升的過(guò)程中，探究的層次不斷提升.我們知道，數(shù)學(xué)探究的教學(xué)層次可以分為基礎(chǔ)層次、中間層次、較高層次.基礎(chǔ)層次是教師或教材給出問(wèn)題，要給出探究的主要步驟，制定結(jié)果的呈現(xiàn)形式，對(duì)可能出現(xiàn)的問(wèn)題給出適當(dāng)?shù)奶崾?中間層次是教師或教材給出問(wèn)題，要給出探究的簡(jiǎn)要過(guò)程和需要的提示，對(duì)結(jié)果的程序給出大致的要求，可以適當(dāng)?shù)夭患酉拗?較高層次是教師或教材給出問(wèn)題，對(duì)探究的步驟、結(jié)果呈現(xiàn)的形式都不設(shè)限定，問(wèn)題有一定的開放性，給學(xué)生提供一個(gè)創(chuàng)新的空間［2】.本課例對(duì)作圖的探究處于中間的層次，筆者為了讓學(xué)生的表達(dá)更加規(guī)范并富有邏輯性，對(duì)表達(dá)的方式作了相應(yīng)的規(guī)范，即先說(shuō)作法，然后闡明原理，說(shuō)明涉及了幾種相應(yīng)基本作圖.而后半段對(duì)作圖方法的歸納和總結(jié)顯然處于較高的層次.筆者對(duì)學(xué)生的呈現(xiàn)形式不作要求和設(shè)定，給予了學(xué)生更大的靈活度，讓學(xué)生發(fā)揮自己的主觀能動(dòng)性，最后出現(xiàn)了喜人的效果.

總之，中考復(fù)習(xí)是老生常談的教學(xué)話題，復(fù)習(xí)內(nèi)容不再新鮮，倘若我們能選取一個(gè)支點(diǎn)，讓學(xué)生進(jìn)行探究，使之能以點(diǎn)帶面，連成一片，進(jìn)而提高復(fù)習(xí)效益，這非常值得開發(fā)、設(shè)計(jì)、應(yīng)用和嘗試.