例談中考數學幾類規律探索型問題*

☉內江師范學院數學與信息科學學院 潘 超

☉內江師范學院數學與信息科學學院 程婧怡

規律探索型問題是中考數學中常考常新的典型試題.它是在一定條件下，探索發現有關數學對象所具有的規律性或不變性的問題，它往往給出了一組變化了的數、式子、圖形或條件，要求學生通過閱讀、觀察、分析、猜想來探索規律［1］.解決這種問題的過程中，能滲透方程思想、函數思想、數形結合思想、數學模型思想、分類討論思想、特殊與一般思想等.其中的一些數學思想，能體現“探究”的解題思維品質，具有趣味性、思想性、變化性、挑戰性等特征，也能較好地體現“注重讓學生在實際背景中理解基本的數量關系和變化規律”［2］等課標要求.因此，研究中考數學規律探索型問題對教學具有重要的現實意義.下面，結合近幾年的中考題談談幾類規律探索型問題.

一、“數式排列”型規律探索題

“數式排列”型規律探索題通常依據給定的一列數、式子或者等式，寫出其中包含的一般規律.對這類問題的基本解法是，先寫出基本結構，然后通過對比各組中的相同部分和不同部分，找出各部分的特點，最后得出一般性的結論［3］.這類問題通常包含數字排列型和式子排列型兩種類型.

1.數字排列型

數字排列型規律探索題是指數字或代表數字的字母按照一定規律依次排列出現，需要探索蘊含在其中的某個指定位置的數值或關系的問題.

例1（2018年，十堰市）如圖1所示，是按一定規律排成的三角形數陣，按圖中數陣的排列規律，第9行從左至右第5個數是（ ）.

圖1

評注：我們在解這類數字排列型規律探索題時，可以對出現的有限項的特征或規律進行猜測，再計算幾組數據驗證猜想，并以此解決問題.

2.式子排列型

式子排列型規律探索題是指按照一定規律給出有限組式子，并由此按要求歸納出一般性結論的問題.這類題中，各式往往與式子對應的序號存在一定的關聯，通過計算和整理不同項，可以歸納得到與序號有關聯的一般結論.

例2 （2018年，安徽省）觀察以下等式：

圖2

按照以上規律，解決下列問題：

（1）寫出第6個等式：____________；

（2）寫出你猜想的第n個等式：_____________（用含n的等式表示），并證明.

分析：以序號n為前提，依此觀察每個數，可以發現規律.

評注：式子排列型規律探索題是通過歸納、猜想、構造等步驟解決復雜的問題.先發現有些項中共同的特征，再以此發現數字和序號的關系猜測第n項，解題方法與數字排列型規律探索題類似.

二、“圖形變換”型規律探索題

“圖形變換”型規律探索題即探索圖形的變化規律，主要特征是“計數”，并著重討論圖形構成要素的變化規律.

例3（2018年，自貢市）觀察圖3中所示的一系列圖形，它們是按一定規律排列的，依照此規律，第2018個圖形共有_______個○.

圖3

分析：每個圖形的最下面一排都是1，另外三面隨著圖形的增加，每面的個數也增加，據此可得出規律，求得答案.

解：觀察圖形可知：

第1個圖形：1+1×3；

第2個圖形：1+2×3；

第3個圖形：1+3×3.

……

第n個圖形：1+3n.

所以，第2018個圖形：1+3×2018=6055.

評注：“圖形變換”型規律探索題重在培養學生的直覺思維和空間想象能力，通過運用數形結合思想對復雜圖形進行簡化和可視化，找到“形”與“數”之間的聯系，歸納概括圖形變化的規律.

三、“新型定義”型規律探索題

新型定義是指在題目中給出一個新概念或新方法，并對該概念或方法進行說明，要求學生能運用新的定義，解決題目中的規定問題，現學現用.

例4（2012年，揚州市）大于1的正整數m的三次冪可“分裂”成若干連續奇數的和，如23=3+5，33=7+9+11，43=13+15+17+19，…，若m3分裂后，其中有一個奇數是2013，則m的值是（ ）.

A.43 B.44 C.45 D.46

解析：分析規律，找出2013所在的奇數的范圍可得解.由于23=3+5，33=7+9+11，43=13+15+17+19，…，則m3分裂后的第一個數是m（m-1）+1，共有m個奇數.因為45×（45-1）+1=1981，46×（46-1）+1=2071，所以2013是底數為45的數的立方分裂后的一個奇數，所以m=45.故選C.

評注：這是一道“新型定義”型規律探索題，主要考查學生的閱讀理解能力，應用有理數知識分析和解決問題的能力.此題通過定義正整數m的三次冪的“分裂”，將其轉化為一個不等式，采用“兩邊夾”得到m的值.［4］

四、“坐標變化”型規律探索題

“坐標變化”型規律探索題是指在直角坐標系中根據圖形變化或性質探索點發生變化的規律的問題.

例5（2018年，安順市）正方形A1B1C1O、A2B2C2C1、A3B3C3C2、…按如圖4所示的方式放置，點A1、A2、A3、…和點C1、C2、C3、…分別在直線y=x+1和x軸上，則點Bn的坐標為______.

圖4

分析：根據一次函數圖像上點的坐標特征可得出點A1的坐標，結合正方形的性質可得出點B1的坐標，同理可得出點B2、B3、B4、…的坐標，再根據點的坐標的變化即可找出點Bn的坐標.（點Bn的坐標為（2n-1，2n-1），解答過程略）

評注：這種坐標變化規律探索問題，體現了“數”與“形”的結合.要解決這類問題，學生應具有良好的識圖能力和符號意識，能將圖形規律和數值變化規律結合起來.對于點的坐標的變化規律題，往往從特殊到一般，求解前幾個點的坐標之后，不難發現它們之間存在著循環關系或遞推關系，再綜合運用圖形的性質解決問題.

五、“實驗操作”型規律探索題

“實驗操作”型規律探索題是指將一個物品或圖形通過折疊、剪拼、堆放、拆合、透視等動態模擬變換方式，得到新的物品或圖形，再研究其幾何性質或數量關系的試題.對這種問題，學生通過模擬操作，對同一對象，一層一層地計算，發現其中的規律.

例6（2015年，寧波市）如圖5，將△ABC沿著過AB的中點D的直線折疊，使點A落在BC邊上的A1處，稱為第1次操作，折痕DE到BC的距離記為h1；還原紙片后，再將△ADE沿著過AD的中點D1的直線折疊，使點A落在DE邊上的A2處，稱為第2次操作，折痕D1E1到BC的距離記為h2；按上述方法不斷操作下去，經過第2015次操作后得到的折痕D2014E2014到BC的距離記為h2015，若h1=，則h的值為（ ）.2015

圖5

解：DE是△ABC的中位線，D1E1是△ADE的中位線，D2E2是△AD1E1的中位線……

評注：學生一般對自己動手操作的東西感興趣，一方面，不是枯燥地學習、接受知識；另一方面，通過自己一層層操作動手計算、發現規律、解決問題，獲得成功的喜悅［5］.此類題有助于學生數學邏輯思維和創造思維的培養［6］.

以上僅僅介紹了部分規律探索型問題.事實上，這類中考試題在每年的中考試題中還會出現很多，這些試題都能不同程度體現以創新意識為立意，體現創新教育和素質教育的價值取向.在平時數學教學中，應注意激發學生強烈的創造欲望、勇敢的探索精神、深刻的體驗意識、敏銳的觀察能力、良性的思維品質，以及培養學生善于發現問題、提出問題、分析問題并創造性地解決問題的能力.［7］