深刻理解“邊角關(guān)系”，“高觀點(diǎn)”下貫通思路

☉江蘇省連云港市新海實(shí)驗(yàn)中學(xué) 宋彥波

中考試題的解法研究是很多老師的興趣，有些考題的解法如果從初中常規(guī)思路出發(fā)往往會(huì)陷入繁雜的運(yùn)算或復(fù)雜的分類討論中，而如果對(duì)“邊角關(guān)系”有更深刻的認(rèn)識(shí)，往往能“刪繁就簡(jiǎn)”，使得運(yùn)算量大大簡(jiǎn)化，但后者又會(huì)觸及所謂解法“超標(biāo)”的“兩難處境”，那么，這種兩難處境如何應(yīng)對(duì)？本文以2018年長(zhǎng)沙中考卷第25題為例，講解不同思路并鏈接同類結(jié)構(gòu)問題，最后給出幾點(diǎn)教學(xué)思考，供研討.

一、長(zhǎng)沙卷第25題思路優(yōu)化與反思提煉

圖1

考題1：（2018年湖南長(zhǎng)沙卷，第25題，刪減后）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，函數(shù)y=（x＞0）的圖像經(jīng)過點(diǎn)P（3，1）和Q（1，m），直線PQ與x軸、y軸分別交于C、D兩點(diǎn)，點(diǎn)M（x，y）是該函數(shù)圖像上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)M分別作x軸和y軸的垂線，垂足分別為A、B.當(dāng)1＜x＜3時(shí)，存在點(diǎn)M使得△OPM △OCP，求此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo).

思路1：由函數(shù)y=（x＞0）的圖像經(jīng)過點(diǎn)P（3，1），容易求出m=3，于是結(jié)合P、Q的坐標(biāo)可求出直線PQ的解析式為y=-x+4.相應(yīng)地，點(diǎn)C（4，0）、D（0，4），即△COD是等腰直三角形，以上都可看作一些解題準(zhǔn)備工作.

思路2：在上面一些準(zhǔn)備工作之后，由△OPM △OCP，可確認(rèn)∠MOP=∠POC.結(jié)合點(diǎn)P（3，1），可得tan∠MOP=tan∠POC=，可以發(fā)現(xiàn)tan∠MOA=tan2∠POC，若能求出tan2∠POC的值就可恰當(dāng)設(shè)出M點(diǎn)的坐標(biāo)，代入解析式得出方程.接下來分圖形攻克這個(gè)難點(diǎn).如圖2，在線段OH上取一點(diǎn)G（作OP的垂直平分線交OH于點(diǎn)G），使GP=GO，這樣可在Rt△PGH中利用勾股定理解出直角三角形PGH的三邊之比為3∶4∶5，從而可得tan∠PGH=，也就是tan2∠POC=，即tan∠MOA=.可設(shè)點(diǎn)M（4k，3k），代入y=，解出k=，即點(diǎn)M（ 2，）.

思路3：由直線y=-x+4可帶來∠OCD=45°，根據(jù)相似得對(duì)應(yīng)角∠MPO=∠OCD=45°，抓住這個(gè)45°角作為突破口，設(shè)法求出直線PM的解析式，與曲線解析式聯(lián)立也可解出交點(diǎn)M的坐標(biāo).接下來重點(diǎn)攻克直PM的解析式.

圖4

如圖3，設(shè)直線PM與x軸交于點(diǎn)N，由外角性質(zhì)得∠POH+∠PNH=∠MPO=45°，tan∠POH=，可得tan∠PNH=（這一步演算可利用圖4這個(gè)基本圖形來獲取）.

這樣結(jié)合P（3，1），可得N（5，0），于是求出直線PM的解析式為y=-x+.將其與曲線的解析式聯(lián)立，可解出M（ 2，）.

解后小結(jié)：利用高中兩角和的三角公式tan（α+β）=，可以演算推導(dǎo)出如下性質(zhì)：

性質(zhì)1：若tanα=，則tan2α=.

性質(zhì)2：若tanβ=，則tan2β=.

性質(zhì)3：若tanα=，tanβ=，則α+β=45°（.特別是，這里 的三個(gè)條件可以變換組合“，知二推一”，比如，若tanα=，α+β=45°，則tanβ=；若tanβ=，α+β=45°，則tanα=)

本題中一些較為復(fù)雜的比例關(guān)系，可以通過上述性質(zhì)一眼洞察，節(jié)省很多時(shí)間，解題教學(xué)時(shí)可以向優(yōu)秀學(xué)生進(jìn)行補(bǔ)充、拓展與滲透.

二、同類解題策略的考題鏈接

考題2：（2018年江蘇淮安，第27題，有刪減）如圖5，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y=-x+4的圖像與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn).動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，在線段AO上以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)O作勻速運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)O停止運(yùn)動(dòng).點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)P的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)Q，以線段PQ為邊向上作正方形PQMN.設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x秒.若正方形PQMN對(duì)角線的交點(diǎn)為T，探究運(yùn)動(dòng)過程中OT+PT是否存在最小值，并說明理由.

思路解析：容易求出點(diǎn)A（6，0）、B（0，4），即OA=6.

如圖6，結(jié)合四邊形PNMQ是正方形，有PT=TN，所以待分析的OT+PT可轉(zhuǎn)化為OT+TN.

圖5

圖6

圖7

再結(jié)合正方形PNMQ的邊長(zhǎng)PN=AP，連接AN，所以∠NAP=45°，即點(diǎn)N在直線y=-x+6上運(yùn)動(dòng).

所以，當(dāng)O、T、N三點(diǎn)在同一直線上，即ON⊥直線AN時(shí)（∠TBO=45°），OT+PT最短，此時(shí)，Q與O重合（如圖7），OT+PT=OT+TN=OA·cos45°=3.

解后小結(jié)：不只是上面發(fā)現(xiàn)的點(diǎn)N在直線y=-x+6上，點(diǎn)T的運(yùn)動(dòng)軌跡也在一條直線上，如圖6，容易求出即tan∠TAC=，于是T點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是直線y=-x+2.由考題1解后小結(jié)的一些性質(zhì)也容易確認(rèn)圖6中tan∠TAN=.這些都符合“性質(zhì)3：若tanα=，tanβ=，則α+β=45°”.

三、關(guān)于解題教學(xué)的思考

1.較難問題盡量從不同角度貫通思路

近年來，不少地區(qū)的中考把關(guān)題從初中角度來求解，往往都會(huì)陷入較難的處境，或者運(yùn)算量太大，過于繁雜，考生在考場(chǎng)中如果不想“隱性失分”，多會(huì)選擇放棄.而不少擅長(zhǎng)解題研究的老師卻能貫通很多思路，其中有些思路往往涉及高中視角（所謂“高觀點(diǎn)視角”），然而考生卻缺少這樣的高觀點(diǎn)視角，所以往往能從不同角度貫通思路.這給我們的解題教學(xué)提出了較高的要求，這就是說，在平時(shí)的解題教學(xué)過程中，如果遇到這類較難題，還是要適當(dāng)向?qū)W生滲透、推介高中解法與思路，至少一些優(yōu)秀學(xué)生是可以跟進(jìn)思考的.當(dāng)然，這也是為優(yōu)秀學(xué)生“打開一扇窗”的開放式教學(xué)的追求.

2.加強(qiáng)同類問題的鏈接，促進(jìn)深刻理解

《中學(xué)數(shù)學(xué)（下）》近年來發(fā)表了不少解題教學(xué)方面的課例文章，其中有一些課例都突出了同類問題的鏈接，或者同類問題的變式再練，這給我們很大的啟發(fā)，在實(shí)踐教學(xué)中，也進(jìn)行了類似的訓(xùn)練，有效提升了教學(xué)效果.當(dāng)然，同類問題的跟進(jìn)關(guān)鍵在問題結(jié)構(gòu)的相近，或者解題策略的趨同，這里往往要從形似走向神似，即多多鏈接“形異質(zhì)同”（羅增儒教授語）的同類問題更加重要.這樣可以促進(jìn)學(xué)生對(duì)一類問題的“深刻理解”（這里的深刻理解，也就是馬立平博士指出的追求數(shù)學(xué)知識(shí)理解的深度、廣度與貫通度），練就一雙“火眼金睛”，以便在今后再遇到類似問題時(shí)，可以識(shí)別并恰當(dāng)轉(zhuǎn)化、快速實(shí)現(xiàn)思路貫通.