從一道中考題看概率問題事件分析的重要性

一、問題提出

在陽光體育活動時間，小亮、小瑩、小芳和大剛到學校乒乓球室打乒乓球，當時只有一個空球桌，他們只能選兩人打第一場.如果確定大剛做裁判，用“手心”“手背”的方法決定其余三人哪兩人打第一場.游戲規則是：三人同時伸“手心”“手背”中的一種手勢，如果恰好有兩人伸出的手勢相同，那么這兩人上場，否則重新開始.這三人伸出“手心”或“手背”都是隨機的，請用畫樹狀圖的方法求小瑩和小芳打第一場的概率.(2015年山東省聊城市中考數學試題第22題）

參考答案：畫樹狀圖，如圖1所示.

圖1

所有等可能的情況有8種，其中小瑩和小芳伸“手心”或“手背”恰好相同的情況有2種，則小瑩與小芳打第一場的概率為

二、解題困惑

筆者所在學校的教師對該問題的理解持三種觀點，分別是：

觀點1：從小亮、小瑩、小芳三人中選出兩人打第一場，共有三種結果，分別為（小亮，小瑩）、（小亮，小芳）、（小瑩，小芳），并且是等可能事件，因此圖1所示的樹狀圖中第1、8兩個分枝無法確定誰打第一場，理應舍去，即實際共有6種可能結果，所以正確答案為小瑩與小芳打第一場的概率為

觀點2：由于三人出現相同手勢是客觀存在的，且每種手勢出現的機會是均等的，樹狀圖中第1、8兩個分枝是必要的、不可或缺的，因此參考答案正確.

觀點3：基于對“否則重新開始”的文本解讀，因此游戲的次數無法確定，若游戲要連續進行n次才能確定打第一場的選手，故小瑩與小芳打第一場的概率為

三種觀點，到底誰是誰非？老師們困惑不已.

三、惑因分析

筆者經過仔細思索，認為一線教師之所以存在困惑，其原因在于：

（1）在本題所提及的游戲中，是否為等可能事件呢？從概率類型來看，是否屬于古典概型？這些是存在困惑的原因之一.

從游戲過程來看，每個人所出手勢“手心”“手背”是隨機的，而且可能性也是均等的，因此是等可能事件概率.小亮、小瑩、小芳所出手勢所有可能的結果如圖1所示.其中小亮與小瑩、小亮與小芳、小芳與小瑩打第一場的概率均為，而無法確定小芳與小瑩打第一場的概率同樣為.因此從概率問題類型上看，這種游戲屬于古典概型.

很顯然，觀點1不成立.

（2）解讀題目提供的相關信息，發現實驗次數無法確定（未確定誰打第一場時需繼續實驗直至確定出來為止）.但從題目中提供的參考答案看，命題者的本意是只需一次實驗就可以確定小瑩與小芳打第一場的概率.難道這個游戲實驗一次與連續兩次乃至連續三次……計算出的概率都是？這又是老師們困惑的另一原因.

為了進一步探索問題的根源，筆者請山東的許永忠老師利用EXCEL（軟件版本為2010版）進行了游戲的隨機模擬實驗，結果如表1所示：

表1

從表中數據不難得出，觀點2也不正確，只有觀點3成立.

四、我來解惑

基于以上分析，運用古典概型可以得出如下結論：

1.經歷連續不同次數的游戲，求出的概率是不相同的

（2）若一次游戲不能確定誰打第一場，則需要進行第二次游戲（即連續兩次游戲），其計算要用到參考文獻［1］中提及的等枝法，將圖1的樹狀圖再畫一級，即在第1枝和第8枝下各生8枝，另外6枝下也分別生等“份量”的同結果的8枝，最后共有64枝，如圖2所示.

圖2

其中，圖2-1、2-2具體如下：

圖2-1

圖2-2

說明：A——手心；B——手背；圖中虛線所示樹狀圖表示實際游戲中不需要進行，這里畫出，是為了將這一游戲由非古典概型轉化古典概型，便于相關事件概率的計算.

從圖2可以看出，此時三人出現相同手勢的分枝共有4枝，因此它的概率變成了，即通過連續兩次游戲確定小芳與小瑩打第一場的概率為.

以此類推，若連續兩次游戲還不能確定誰打第一場，則要進行第三次游戲（即連續三次游戲），根據游戲的規則，這4種情形又要重新開始，即對應的這4枝下又生8枝，另60枝下也分別生等“份量”的同結果的8枝，共512枝，其中三人出現相同手勢的分枝共有8枝，因此通過連續三次游戲確定小芳與小瑩打第一場的概率為……顯然，這個樹狀圖若無限畫下去，按照“等枝法”不難發現，連續進行n次游戲所得小芳與小瑩打第一場的概率為）n.因此，筆者認為老師們所持的觀點3是正確的.

2.該游戲不可能無限進行下去

在“連續進行n次游戲才能確定出三人中哪兩人打第一場”的條件下，可以計算出小芳與小瑩打第一場的概率為，即當n→+∞時因此連續游戲的次數不會很大.

基于“當n≥2時，小芳與小瑩打第一場的概率計算難度很大，超出了課標要求”，因此建議將原題問題修改為“請用畫樹狀圖的方法求通過一次游戲確定小瑩和小芳打第一場的概率.”