注重幾何推理 彰顯思維深度
——對2018年湖州卷第23題的解答分析與教學(xué)啟示

☉浙江省湖州市南潯區(qū)教育教學(xué)研究和培訓(xùn)中心 姜曉翔

一、試題再現(xiàn)

（2018年湖州卷第23題）已知在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB≥AC，D、E分別為AC、BC邊上的點(diǎn)（不包括端點(diǎn)），=m.連接AE，過點(diǎn)D作DM⊥AE，垂足為點(diǎn)M，延長DM交AB于點(diǎn)F.

（1）如圖1，過點(diǎn)E作EH⊥AB于點(diǎn)H，連接DH.

①求證：四邊形DHEC是平行四邊形；

圖1

圖2

二、試題特色評析

1.題干精煉，結(jié)構(gòu)清晰

本題位于整卷的倒數(shù)第二題，屬于一道“圖形與幾何”范疇的原創(chuàng)壓軸題，綜合性強(qiáng)，難度較高.它摒棄了傳統(tǒng)壓軸題閱讀量大、條件與圖形復(fù)雜、信息量密集等缺點(diǎn)，以題干精煉、結(jié)構(gòu)清晰的特色呈現(xiàn)在試卷上，讓學(xué)生得以輕松讀題、審題并迅速進(jìn)入思考的狀態(tài).本題具有一個(gè)主題干和兩個(gè)分題干，兩個(gè)圖形在滿足主題干的前提條件下又分別對應(yīng)（1）和（2）兩個(gè)分題干，其實(shí)質(zhì)就是從一般到兩個(gè)特殊的過程.第（1）問的①是在一般情況下，對結(jié)論“四邊形DHEC是平行四邊形”的證明，第（1）問的②是在特殊條件“m=”下，即△ABC是等腰直角三角形時(shí)，對結(jié)論“AE=DF”的證明，第（2）問則是在特殊條件“m=”下，對的值的計(jì)算.由此可見，本題的整個(gè)變化過程過渡自然，條件、結(jié)論結(jié)構(gòu)清晰，有利于學(xué)生正常發(fā)揮，不受其他因素干擾.

2.考查全面，注重推理

本題作為試卷中的“圖形與幾何”壓軸題，落腳點(diǎn)在初中學(xué)段“圖形與幾何”內(nèi)容幾何推理能力的考查，即利用初中數(shù)學(xué)“圖形與幾何”核心知識進(jìn)行相關(guān)的證明與計(jì)算.可以說，該題考查功能較為全面，包括知識考查與能力考查.在知識考查中，幾乎涵蓋了整個(gè)初中階段“圖形與幾何”的核心知識點(diǎn)，具體涉及：平行四邊形的判定及性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，相似三角形的判定及性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，直角三角形中勾股定理計(jì)算等知識.在能力考查中，當(dāng)屬幾何推理能力首屈一指，幾何推理能力包括兩種：合情推理用于探索思路，發(fā)現(xiàn)結(jié)論；演繹推理用于證明結(jié)論和規(guī)范書寫.當(dāng)然，新課標(biāo)中的核心概念幾何直觀能力更是幾何推理能力的前提和保障，沒有那一刻的“頓悟”，又何談“推理”呢？因此，本試題對于幾何直觀能力和幾何推理能力的考查提升到了一定的高度.

3.梯度合理，思想綻放

在“特色1”中曾提到，本題經(jīng)歷了三個(gè)變化過程.這三個(gè)過程從呈現(xiàn)形式的視角來審視，為從一般到特殊又由特殊到一般的過程.從解題難度的視角來審視，是起點(diǎn)低，層層遞進(jìn)，縱向深入的一個(gè)變化過程.不僅梯度合理，而且命題者在整個(gè)解題思路上所搭建的思維腳手架更可謂用心良苦.第（1）問的②的解決為第（2）問提供了非常寶貴的解題思路，幫助學(xué)生拾級而上同時(shí)體現(xiàn)了本題在解題思路上的前后連貫和一脈相承.

一道好試題，往往蘊(yùn)含著多種數(shù)學(xué)思想方法.本題中，多次運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想證明線段及角度的相等或成比例等結(jié)論；整個(gè)試題的變化過程體現(xiàn)了從一般到特殊、從特殊再到一般的數(shù)學(xué)思想方法；幾何問題涉及線段之間的數(shù)量關(guān)系無疑是數(shù)形結(jié)合思想的重要體現(xiàn)；第（2）問可通過設(shè)參數(shù)的方法，最后無需求出所設(shè)的參數(shù)，此乃設(shè)而不求的思想方法，當(dāng)然也包括方程思想；前后思路的相承又體現(xiàn)了類比思想.多種數(shù)學(xué)思想方法同時(shí)綻放，展現(xiàn)了本題不一般的思維深度.

4.基本圖形，尋求本質(zhì)

在解題過程中，用到了“圖形與幾何”中兩種較為常見的重要基本圖形，分別是“A字型相似三角形”和“三垂直圖形”.在第（1）問的①和第（2）問中，都用到了△BHE △BAC這對“A字型相似三角形”，其本質(zhì)即為由平行線所構(gòu)成的相似三角形.在第（1）問的②和第（2）問中，都用到了“三垂直圖形”，如圖3所示.其本質(zhì)即為在兩個(gè)三角形所構(gòu)成的圖形中出現(xiàn)了三個(gè)垂直關(guān)系，于是就出現(xiàn)了一對隱藏的等角，即∠FAM=∠C或∠AFC=∠E，故這對三角形（△AHE和△CAF）就至少滿足相似的條件.從第（1）問的②到第（2）問的變化過程來看，隨著圖形從特殊到一般化的轉(zhuǎn)變，基本圖形也經(jīng)歷了從特殊的全等三角形到一般的相似三角形的自然過渡，線段之間的關(guān)系也隨之從相等演變?yōu)槌杀壤囶}的難度也必定進(jìn)行一次飛躍，起到了較佳的壓軸效果.綜上可見，本題如能尋求到該本質(zhì)，就相當(dāng)于抓住了“題眼”，也就突破了一個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，從而向順利找到解題思路邁出了堅(jiān)實(shí)的一步.

圖3

三、試題多解與學(xué)生答題分析

在閱卷過程中，筆者發(fā)現(xiàn)本題解法較多，學(xué)生的普遍典型性錯誤也不少.篇幅所限，筆者重點(diǎn)分析最具研究價(jià)值的第（2）問，現(xiàn)整理如下.

1.正確解法自然相承

解法1：過點(diǎn)E作EG⊥AB于G，連接GD，如圖4.由第（1）問的①可知，四邊形CEGD為平行四邊形.

圖4

由∠EGA=∠AMF=90°，得∠AEG+∠EAG=∠AFM+∠EAG=90°，則∠AFM=∠AEG.

分析：解法1思路簡單、清晰，與第（1）問連貫一致，一脈相承，將第（1）問特殊情形（全等三角形）下的解題思路延續(xù)到了第（2）問的一般情形（相似三角形）.該解題思路學(xué)生較易想到，無疑是本題的自然解法.

解法2：過點(diǎn)E作EG⊥AB于G，如圖5.

由第（1）問的①可知，EG=CD.

設(shè)EG=CD=3x，AC=3y.

由題意得BE=5x，BC=5y，則BG=4x，AB=4y.

同解法1可證：△FAD △EGA.

分析：解法2同樣延續(xù)了第（1）問的解題思路，且只需添一條輔助線，學(xué)生也較易想到，亦屬本題的自然解法.但在線段比例的轉(zhuǎn)換處理中，運(yùn)用到了設(shè)而不求的思想方法，相對要求略高于解法1.另需說明的是，在線段比例的處理時(shí)方法眾多，但總體思路一致，故筆者將其都?xì)w為解法2.

圖6

圖5

解法3：過點(diǎn)B作BG⊥AB于B，與AE的延長線交于點(diǎn)G，如圖6.

設(shè)CD=3x，AC=3y.

由題意得BE=5x，BC=5y.

同解法1可證：△FAD △GBA.

由BG∥AC，得△AEC △GEB.

分析：解法3從圖形上看雖未完全延續(xù)第（1）問的解題思路，但就其本質(zhì)而言，依然相承了第（1）問的解題思路.只是選擇的相似三角形并非與所求的線段比直接相關(guān)，而需要間接進(jìn)行代換處理，相比解法1和解法2稍復(fù)雜，但利用“平行相似”和“三垂直圖形相似”兩個(gè)基本圖形的主旋律仍未發(fā)生改變.

2.錯誤解法缺失嚴(yán)密

錯解1：過點(diǎn)E作EG⊥AB于G，如圖5，將點(diǎn)D、E當(dāng)成AC和BC的中點(diǎn)，設(shè)AC=6，BC=10，通過計(jì)算輕松求得正確答案.

錯解2：學(xué)生將點(diǎn)D、E當(dāng)成AC和BC的中點(diǎn)，并且△ADF △ABC，通過設(shè)而不求的思想求出正確答案.

錯解3：連接DE，如圖7，將點(diǎn)D、E當(dāng)成AC和BC的中點(diǎn)，故DE//AB，通過設(shè)而不求的思想求出正確答案.

圖7

圖8

錯解4：過點(diǎn)E作EG⊥AB于G，連接DE，如圖8，將點(diǎn)D、E當(dāng)成AC和BC的中點(diǎn)，故四邊形ADEG為矩形，亦可求出正確答案.

分析：縱觀整個(gè)閱卷過程，錯誤解法五花八門，筆者整理了以上幾種出現(xiàn)頻率較高、具有一定代表性的錯誤解法.究其原因，其實(shí)這類考生“無中生有”地添加特殊條件，將一般情況誤認(rèn)為某種特殊情況進(jìn)行處理，盡管結(jié)論正確，但無故添加條件、將問題特殊化的解答過程已嚴(yán)重缺失了幾何推理的嚴(yán)密性，屬于幾何推理的大忌.

四、教學(xué)啟示

1.注重幾何推理，提升思維的嚴(yán)密性

嚴(yán)密的幾何邏輯推理是數(shù)學(xué)思維最基本的要求.幾何推理能力的培養(yǎng)應(yīng)貫穿數(shù)學(xué)教學(xué)的始終，推理能力的形成和提高需要一個(gè)長期的、循序漸進(jìn)的過程.義務(wù)教育階段，要注重學(xué)生思考的條理性和思維的嚴(yán)密性.在本題的錯解中，較為典型的“無中生有”式隨意添加特殊條件，雖能解出正確答案，但從幾何推理的維度看，用特殊情況下的結(jié)果代替一般條件情形下的結(jié)論，相當(dāng)于用個(gè)例說明問題的本質(zhì)，這嚴(yán)重地缺失了幾何推理的思維嚴(yán)密性.因此，在“圖形與幾何”的教學(xué)中，應(yīng)注重幾何推理能力的培養(yǎng)，從而提升思維的嚴(yán)密性.

2.提倡一題多解，增加思維的發(fā)散性

數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中，要求使學(xué)生經(jīng)歷站在不同角度，探索分析和解決問題的方法這一重要過程，使學(xué)生能夠體驗(yàn)到解決問題的多樣性方式，能夠掌握多種分析及解決問題的基本技巧和方法.本題的第（1）問的①，盡管起點(diǎn)低，但在證明EH=CD時(shí)并非常規(guī)，用到了比例式及等量代換.據(jù)調(diào)查，有不少成績好的學(xué)生在考試過程中曾被這最簡單、基礎(chǔ)的小問卡住了不少時(shí)間，甚至有不少學(xué)生這一問不會做.這一現(xiàn)象就很好地說明了，學(xué)生在證明兩條線段相等時(shí)，除了幾種最常規(guī)的方法，不會靈活、機(jī)動地采用別的思路與方法.由此可見，在平時(shí)的教學(xué)中，應(yīng)該多提倡引導(dǎo)學(xué)生從多角度、多方位、多層次思考問題，開闊視野，提升思維的發(fā)散性.

3.加強(qiáng)幾何直觀，發(fā)揮思維的靈活性

借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預(yù)測結(jié)果.幾何直觀可以幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)，在整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中都發(fā)揮著重要作用.幾何直觀能力隸屬于數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)，需要由學(xué)生個(gè)體在具體數(shù)學(xué)活動的基礎(chǔ)上獲得.就本題而言，由第（1）問變化到第（2）問，“過點(diǎn)E作AB的垂線段”的輔助線方法卻可以由始至終，一脈相承，這是解題思維的延續(xù)，更是思維靈活性的體現(xiàn).一眼就能頓悟出解題思路的學(xué)生，其幾何直觀的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)功不可沒.教學(xué)中，需要教師不僅重視引導(dǎo)學(xué)生觀察，更要有意識培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀意識，學(xué)生有了大量豐富的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)，就能發(fā)揮思維的靈活性.

4.活用基本圖形，激發(fā)思維的創(chuàng)造性

在平時(shí)的“圖形與幾何”教學(xué)中，教師們都非常熱衷于基本圖形的挖掘與教學(xué)，這點(diǎn)筆者很贊同.然而如今的基本圖形教學(xué)日漸模式化、機(jī)械化，缺乏靈動性，學(xué)生對于某些基本圖形是“識而不會”，原因其實(shí)不難發(fā)現(xiàn)，即并未真正理解基本圖形中的本質(zhì)規(guī)律，而只是依樣畫葫蘆地掌握特定圖形下的某些特定結(jié)論.本題中的“三垂直圖形”實(shí)質(zhì)上是由熟悉的“K型圖”演變而來的，如圖9所示.無論是“K型圖”還是“三垂直圖形”，其最核心的本質(zhì)即為三個(gè)直角，從而兩個(gè)三角形相似或全等.因此，要培養(yǎng)學(xué)生的建構(gòu)能力，必須要讓學(xué)生真正理解基本圖形的本質(zhì)特征，找到最核心要素，必要時(shí)還需通過添加輔助線構(gòu)造所需的基本圖形.圖形雖可千變?nèi)f化，但本質(zhì)是相通的，如能在真正理解本質(zhì)的基礎(chǔ)上，充分引導(dǎo)學(xué)生去激發(fā)思維，創(chuàng)造出更多的同類基本圖形用于解題，則深度思維的培養(yǎng)得以彰顯.

圖9