精心預設“一題一課”，同類再練反饋效果*
——以2018年泰州卷壓軸題教學為例

☉江蘇省泰州市姜堰區實驗初級中學 許小燕

每年各地新中考試卷出來之后，熱衷于解題研究（主要是解法研究）的同行很多，然而針對一些典型考題開展解題教學設計研究相對較少.本著解題教學研究的興趣，本文以2018年江蘇省泰州卷第26題為例，給出解題教學設計，并跟進教學思考，供研討.

一、壓軸題解題教學設計

教學環節（一） 基礎熱身

例1平面直角坐標系xOy中，點A在曲線y＝（x＞10）上.點A′與點A關于點O對稱，直線y2＝mx＋n經過點A′，且與曲線y1＝（x＞0）交于點B（4，2）.

（1）若點A的橫坐標為2，求函數y1、y2的解析式；

（2）在（1）的條件下，分析使y1＞y2＞0成立的x的范圍；

（3）當m＝1時，求點A的坐標；

（4）在（3）的條件下，求△A′AB的面積.

圖1

圖2

教學組織：這一組問題不難.前兩問訓練學生辨別兩種函數圖像及其交點的位置，從點B（4，2）出發，可求出曲線y1＝（x＞0）的解析式，再結合“點A的橫坐標為2”得出點A的坐標，于是聯立A、B兩點的坐標可得y2的解析式.第（3）和（4）問則是逆過來，從m＝1出發，先求出y2的解析式y＝x-2，再設A′點的坐標為 （-a ， -），代入y＝x-2，2求出a＝2.于是A（2，4），進而可求出△A′AB的面積.教學時可追問學生有哪些不同方法求出該三角形的面積，一方面可引導學生注意不同方法，另一方面可引出過點A作“分割線”的解法，如圖1，設直線y2＝x-2交x軸于點C（2，0），連接AC，AC恰垂直于x軸，于是把AC作為△A′AB的“分割線”，為后續教學提供鋪墊.當然，△AA′B的面積也可轉化△OAB的面積的兩倍，然后轉化為梯形的面積解決.

教學環節（二） 拾級而上

例2 如圖2，平面直角坐標系xOy中，橫坐標為a的點A在曲線y1＝（x＞0）上.點A′與點A關于點O對稱，直線y2＝mx＋n經過點A′，交曲線y1于點B，設點B的橫坐標為3a.

（1）當a＝2，k＝6時，求△AA′B的面積.

（2）連接OB，求△AOB的面積.（用含k的式子表示）

（3）小聰練習（1）之后，發現△AA′B的面積只與k的值有關，與a的取值無關.你覺得小聰的發現是否正確？請說明理由.

（4）若△AA′B的面積為16，求k的值.

教學組織：第（1）問是賦值求面積，屬于特值引路.第（2）和（3）問可看成為第（4）問預設的鋪墊式問題，學生在兩個鋪墊問題的引導下，應該可自主貫通思路.教學時注意追問學生的思路，并適當安排學生上臺結合圖形講解、演算，在關鍵步驟進行標注、提醒，并再次要求至少兩個學生把思路復述一遍（即在重點和難點處安排學生“請你再講一遍”）.

教學環節（三） 挑戰難題

例3如圖3，平面直角坐標系xOy中，點A在曲線y1＝（x＞0）上，點A′與點A關于點O對稱，直線y＝x＋n經過點A′. 過點A作2AD⊥x軸，與直線y2相交于點D，以AD為一邊向右側作正方形ADEF.小明經過運算發現直線y2與正方形ADEF的邊EF的交點P恰在曲線y1上.請判斷小明的發現是否正確，并說明理由.

圖3

教學組織：考慮到這一問比較有難度，可以預設如下一些鋪墊式問題.

鋪墊問題1：設點A的橫坐標為a，用含a、k的式子表示n；

鋪墊問題2：求正方形ADEF的邊長；（用含a、k的式子表示）

鋪墊問題3：寫出點E的橫坐標；（用含a、k的式子表示）

鋪墊問題4：寫出點P的坐標.（用含a、k的式子表示）

至此，學生只要把點P的橫坐標、縱坐標相乘就能確認，點P恰落在曲線y1＝（x＞0）上.

教學環節（四） 同類鏈接

例4 （2018年江蘇南通中考卷，第18題）在平面直角坐標系xOy中，已知A（2t，0）、B（0，-2t）、C（2t，4t）三點，其中t＞0，函數y＝的圖像分別與線段BC、AC交于點P、Q，若S△PAB-S△PQB＝t，則t的值為___________.

圖4

預設講評：由題意畫出示意圖（如圖4）.

設PA、BQ交于點F.

借助B（0，-2t）、C（2t，4t），求出直線BC的解析式為：y＝3x-2t.

二、教學思考

1.重視地區壓軸題研究，精心預設解題教學

我們知道，當前很多地級市中考命題都帶有濃濃的地區特色、且不論這種風格的好壞，對于該地區廣大備考師生來說，務必做好的就是積極應對、復習備考.在研究本地區中考壓軸題時，不只是局限于近兩年的壓軸題的題型研究，更重要的是深入“題”中，挖掘題中內涵，如該題的知識點涉及哪些？求解該題的關鍵是什么？體現了怎樣的命題意圖？近年來，哪些題涉及過類似的問題結構？等等.想清楚這些，為進一步預設解題教學提供了幫助.因為在預設解題教學時，立足“一題一課”就需要將壓軸題充分展開，由淺入深，層層遞進，讓更多學生的數學思維卷入到課堂進程中.

2.利用鋪墊式問題引導，驅動學生自主獲解

具體預設解題教學時，對于簡單問題可以適當包裝、變換問題呈現方式，正反設問、互逆問題，在這些簡單問題的展開訓練過程中，讓學生對問題的背景、平臺有了豐富的認識，接著拾級而上，成果擴大，研究稍有挑戰的問題，像上文課例中，讓學生想清三角形面積與反比例函數中的常數k之間的關系；最后挑戰較難題時，我們也預設了幾個鋪墊式問題，順著這些問題的引領，學生也就可以自主獲得思路，也就追求了“潤物細無聲”的教學引導藝術.

3.加強同類題鏈接再練，有效反饋教學效果

在考題講評之后，一方面，可以讓學生回顧反思解題的全過程，想清主要難點、障礙點，關鍵步驟有哪些，加深對問題的理解；另一方面，老師在備課時還要善于檢索同類考題，將其鏈接到課堂最后環節，或者作為課外作業布置給學生跟進訓練.我們在上面課例中鏈接的一道南通的考題，就是一道高度相似的同類考題，都需要學生具備含參數的運算基本功，并且對參數對應著的圖形的位置關系有數形對應的“敏感”.當然，如果具備一定的命題基本功，還可圍繞本課講評的考題進行一些簡單的變式改編，安排學生再練也是可行的.作為本文的結束，我們針對泰州壓軸題最后一問，也提出一個變式設問.在上文教學環節（三）中，在理解了問題的結構之后，可以跟進如下變式拓展問題：