立足課程標(biāo)準(zhǔn) 引領(lǐng)核心素養(yǎng)
——2018年安徽中考?jí)狠S題賞析

☉安徽省南陵縣城東實(shí)驗(yàn)學(xué)校 鄒守文

一、試題及出處

2018年安徽中考數(shù)學(xué)壓軸題是：

如圖1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，點(diǎn)D為邊AC上一點(diǎn)，DE⊥AB于點(diǎn)E，點(diǎn)M為BD的中點(diǎn)，CM的延長(zhǎng)線交AB于點(diǎn)F.

（1）求證：CM=EM；

（2）若∠BAC=50°，求∠EMF的大小；

（3）如圖2，若△DAE △CEM，點(diǎn)N為CM的中點(diǎn)，求證：AN∥EM.

圖1

圖2

二、試題特色解讀

此題作為中考?jí)狠S題，起點(diǎn)低，坡度緩，區(qū)分度較好，能切實(shí)發(fā)揮壓軸題的作用，具有以下特色：

1.以三角形為載體，實(shí)現(xiàn)對(duì)邏輯推理能力的有效考查

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》對(duì)核心素養(yǎng)的闡述：數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的集中體現(xiàn)，是具有數(shù)學(xué)基本特征的思維品質(zhì)、關(guān)鍵能力以及情感、態(tài)度與價(jià)值觀的綜合體現(xiàn)，是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和應(yīng)用過程中逐步形成和發(fā)展的.一般包括：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析.數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)在中考試題中有一定的體現(xiàn)是自然的，也是順應(yīng)高中學(xué)習(xí)所必須的.

題目以直角三角形為依托，以其性質(zhì)“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”和“在直角三角形中，30°角所對(duì)直角邊是斜邊的一半”為知識(shí)的生長(zhǎng)點(diǎn)，題目設(shè)置三個(gè)小問，層層深入，逐步遞進(jìn).第（1）問證明CM=EM，直接考查直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，這樣設(shè)問既能實(shí)施對(duì)學(xué)生核心知識(shí)“直角三角形斜邊上中線等于斜邊的一半”的精準(zhǔn)考查，也為后面問題的解決提供了思維的走向.第（2）問沿用第（1）問的結(jié)論，附加條件：若∠BAC=50°，求∠EMF的大小，將邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系，根據(jù)“等邊對(duì)等角”和三角形內(nèi)角和定理的推論得到解決.所涉及的知識(shí)都是初中數(shù)學(xué)的核心知識(shí)，涉及的邏輯推理能力也是學(xué)生必須掌握且能靈活運(yùn)用的.第（3）問在前兩問的基礎(chǔ)上增加條件：若△DAE△CEM，點(diǎn)N為CM的中點(diǎn)，求證：AN∥EM，對(duì)邏輯推理能力的要求上升了一個(gè)臺(tái)階，這樣處理，知識(shí)和能力并重，素養(yǎng)與技能兼顧，具有很好的區(qū)分度，能發(fā)揮一定的選拔和區(qū)分的功能.盡管如此，所涉及的知識(shí)點(diǎn)：等腰三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、平行線的判定、相似三角形的判定與性質(zhì)等都是初中幾何的核心知識(shí)，而且上述所有知識(shí)只有相似三角形是九年級(jí)的內(nèi)容，其他都是七、八年級(jí)的內(nèi)容，學(xué)生比較熟悉，運(yùn)用起來得心應(yīng)手，但綜合起來靈活運(yùn)用又對(duì)學(xué)生的邏輯推理能力提出了更高的要求.

2.以問題解決的開放性和多樣性為突破口，體現(xiàn)學(xué)生邏輯推理能力的深刻性和層次性

本題第（1）和（2）問對(duì)相關(guān)知識(shí)實(shí)施精準(zhǔn)的、有效的考查，第（3）問平行的證明具有解題方法的開放性和多樣性，能夠很好地反映學(xué)生思維的層次和高度.根據(jù)執(zhí)果索因的方法分析，需要證明AC=AM，可以證明∠ACM=∠AMC=75°（解法2），也可以通過計(jì)算得到AC=AM（解法8），可以構(gòu)造全等三角形證明AN⊥CM（解法3、4），可以構(gòu)造相似三角形證明AN∥EM（解法1、6、7），還可以通過計(jì)算∠NAR=30°（解法5），或通過構(gòu)造三角形中位線（解法9）等多種方法.

三、試題多解，新解挖掘

本題的第（1）和（2）問比較簡(jiǎn)單，問題（3）解法多樣.為了便于厘清解題思維，故給出第（1）和（2）問的解決過程.

命題者所給的參考答案如下：

（1）在Rt△BCD中，∠BCD=90°，M為斜邊BD的中點(diǎn)，所以CM=BD.

所以CM=EM.

（2）∠CBA=90°-50°=40°.

由（1）知CM=BM=EM，所以∠CME=∠CMD+∠DME=2（∠CBM+∠ABM）=2∠CBA=80°.

因此∠EMF=180°-∠CME=100°.

（3）由△DAE △CEM，得∠CME=∠DEA=90°，DE=CM，AE=EM.

又CM=DM=EM，所以DM=DE=EM.所以△DEM為等邊三角形.

所以∠MEF=∠MBF=30°.

解法1：在Rt△EMF中，∠EMF=90°，∠MEF=30°，所以

又∠AFN=∠EFM，所以△ANF △EMF.所以∠ANF=∠EMF.故AN∥EM.

解法2：連接AM，則∠EAM=∠EMA=∠MEF=15°.

所以∠AMC=∠EMC-∠EMA=75° ①.

又∠CMD=∠EMC-∠EMD=30°，且MC=MD，所以

由①②可知AC=AM.又N為CM的中點(diǎn)，所以AN⊥CM.

又EM⊥CM，故AN∥EM.

本題的第（1）和（2）問是比較簡(jiǎn)單的，難點(diǎn)在于第（3）問，經(jīng)研究得到以下解法：

圖3

圖4

解法3：（構(gòu)造全等三角形）如圖4，過點(diǎn)B作BG⊥CF交CF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G.

因?yàn)椤螹BC=∠MCB=15°，所以∠CBG=∠ACN=75°.

又因?yàn)镋M⊥CM，所以AN∥EM.

解法4：（構(gòu)造全等三角形）如圖5，過C作CH⊥BD于點(diǎn)H.

又因?yàn)镋M⊥CM，所以AN∥EM.

圖5

圖6

解法5：（直接計(jì)算法）如圖6，過N作NR⊥AB于點(diǎn)B.

又因?yàn)椤螹EF=30°，所以∠MEF=∠NAR.故AN∥EM.

解法6：（構(gòu)造相似三角形）設(shè)AE=a，則EM=CM=a.

解法7：（構(gòu)造相似三角形）如圖7，過D作DK⊥CF于點(diǎn)K.

又因?yàn)椤螪CM=∠MCA，所以△MCD △ACM.

因?yàn)椤螹CD=∠MDC=75°，所以∠AMC=∠ACM=75°.

所以AC=AM.

因?yàn)镹為CM的中點(diǎn)，所以AN⊥CM.

又因?yàn)镋M⊥CM，故AN∥CM.

圖7

圖8

解法8：（構(gòu)造等腰三角形）如圖8，延長(zhǎng)ED和BC交于點(diǎn)H，過M作MG⊥AB于點(diǎn)G.

于是AM=AC.

又因?yàn)镹為CM的中點(diǎn)，所以AN⊥CM.又因?yàn)镋M⊥CM，故AN∥CM.

解法9：（構(gòu)造三角形中位線）如圖9，過C作直線l∥AB，延長(zhǎng)AN、EM分別交l于點(diǎn)P、Q，則∠QCM=∠EFM.

在△CMQ和△FME中，∠QCM=∠EFM，∠CMQ=∠FME，所以△CMQ△FME.

圖9

同理，△CNP △FNA.

設(shè)BF=x，則FM=x.

又因?yàn)镹為CM的中點(diǎn)，所以PN為△CMQ的中位線.所以PN∥MQ，所以AN∥EM.

四、教學(xué)建議

《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（修改稿）》指出“數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)應(yīng)激發(fā)學(xué)生興趣，調(diào)動(dòng)學(xué)生積極性，引發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考，鼓勵(lì)學(xué)生的創(chuàng)造性思維；要注重培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣，使學(xué)生掌握恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法.”在課堂教學(xué)活動(dòng)中，要重視獨(dú)立思考、邏輯推理能力的培養(yǎng)，不要盲目追求題量，要注重引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展過程，以及問題的發(fā)現(xiàn)、提出、分析和解決的全過程，充分挖掘典型問題的內(nèi)在價(jià)值與遷移功能，培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性與創(chuàng)新性.

要重視對(duì)問題的歸納總結(jié)，形成模型，如“手拉手”模型，“一線三等角”模型，利用軸對(duì)稱求最小值模型，ma+bn型最值求解模型，“胡不歸”模型，構(gòu)造阿波羅尼斯圓求最值模型等，通過模型的構(gòu)建獲得一類問題解決的“套路”，形成一定的數(shù)學(xué)建模能力.比如第（3）問就有構(gòu)造等腰三角形模型，構(gòu)建三角形中位線模型，構(gòu)建全等三角形和相似三角形模型等，只要掌握了任何一個(gè)模型的“套路”，順藤摸瓜都可以解決問題.