有理數如何擴展到實數

【摘要】微積分理論是數學的一個基礎學科。它的內容主要包括極限、微分學、積分學及其應用。微分學包括求導數的運算，是一套關于變化率的理論。它使得函數、速度、加速度和曲線的斜率等均可用一套通用的符號進行討論。積分學，包括求積分的運算，為定義和計算面積、體積等提供一套通用的方法。微積分的理論是建立在實數數域的完備性基礎之上，在這篇論文中，我們講從完備化這個基本概念出發，去探討如何從有理數域通過完備化的過程擴展到實數數域。

【關鍵詞】有理數；實數

【作者簡介】肖雨伶，成都七中萬達學校。

一、動機

實數數域，包含有理數與無理數，前者如0、-4、81/7，而后者如√2、π等。直觀上說，實數可以理解成小數（有限或無限的）。如果我們把一條直線理解成一個實數數軸，直線上的點一一對應于一個特定的實數，那么它們似乎可以把數軸“填滿”。但僅僅以枚舉的方式不能準確地描述實數的全體。實數和虛數共同構成復數。

根據日常經驗，有理數域在實數數軸上似乎是“稠密”的，于是古人一直認為用有理數即能滿足測量上的實際需要。以邊長為1公分的正方形為例，其對角線有多長？在規定的精度下（比如誤差小于0.001公分），總可以用有理數來表示足夠精確的測量結果（比如1.414公分）。但是，在公元前500年左右，古希臘畢達哥拉斯學派的數學家發現，只使用有理數無法完全精確地表示這條對角線的長度，這徹底地打擊了他們的數學理念；他們原以為：任何兩條線段（的長度）的比，可以用自然數的比來表示。正因如此，畢達哥拉斯本人甚至有“萬物皆數”的信念，這里的數是指自然數（1 ， 2 ， 3 ，...），而由自然數的比就得到所有正有理數，而有理數域存在“縫隙”這一事實，對當時很多數學家來說可謂極大的打擊，這在數學史上被稱為第一次數學危機。

從古希臘一直到17世紀，數學家們才慢慢接受無理數的存在，并把它和有理數平等地看作數；后來有虛數概念的引入，為加以區別而稱作“實數”，意即“實在的數”。在當時，盡管虛數已經出現并廣為使用，實數的嚴格定義卻仍然是個難題，以至函數、極限和收斂性的概念都被定義清楚之后，才由十九世紀末的戴德金、康托等人對實數進行了嚴格處理。

所有實數的集合可稱為實數數域。任何一個完備的阿基米德有序域均可以認為“等同于”實數數域。微積分的理論是研究極限、微分學、積分學和無窮級數等的一個數學分支，并成為了現代數學基礎的重要組成部分。在歷史上，微積分曾經指無窮小的計算。更本質的講，微積分學是一門研究變化的科學，正如：幾何學是研究形狀的科學、代數學是研究代數運算和解方程的科學一樣。微積分學又稱為“初等數學分析”。

微積分學在科學、經濟學、商業管理學和工業工程學領域有廣泛的應用，用來解決那些僅依靠代數學和幾何學不能有效解決的問題。微積分學在代數學和解析幾何學的基礎上建立起來，并包括微分學、積分學二大分支。微分學包括求導數的運算，是一套關于變化率的理論。它使得函數、速度、加速度和曲線的斜率等均可用一套通用的符號進行演繹。積分學，包括求積分的運算，為定義和計算面積、體積等提供一套通用的方法。微積分學基本定理指出，微分和積分互為逆運算，這也是兩種理論被統一成微積分學的原因。我們可以以兩者中任意一者為起點來討論微積分學，但是在教學中一般會先引入微分學。在更深的數學領域中，高等微積分學通常被稱為分析學，并被定義為研究函數的科學，是現代數學的主要分支之一。

微積分作為一個完備的理論，其基礎是建立在有理數數是不完備的，而實數數域是完備的這個條件之上的。實數可以不同方式從有理數構造出來，例如，實數可以用通過收斂于一個唯一實數的十進制所定義的序列的方式而構造為有理數的補全，但是本質上都是一個完備化的過程。在這篇論文中，我們講從完備化這個基本概念出發，去探討如何從有理數域通過完備化的過程擴展到實數數域。

二、實數的完備性

我們知道有理數，無理數的定義：有理數為整數（正整數、0、負整數）和分數的統稱；無理數，也稱為無限不循環小數。我們也知道實數的定義：實數，是有理數和無理數的總稱。分數是兩個整數之比產生的不等于整數的比；有理數集是整數集的擴張，在有理數集內，加法、減法、乘法、除法（除數不為零）4種運算通行無阻。那么問題來了，有理數是如何擴展到實數的？

初中我們學習了實數的3個性質即封閉性，有序性，傳遞性。其實，在我們還未涉獵的區域里，實數還有其他3個性質。

1.是稠密性：R實數集具有稠密性，即兩個不相等的實數之間必有另一個實數，既有有理數，也有無理數.簡單來說用刀切數軸，如果你用兩刀削下來一個有長度的線段（開區間），不管你刀工多精妙，線段長度再小，只要不為0，其中就一定有至少一個——甚至可以說，有無窮多個有理數。這個就叫做有理數的稠密性。稠密性——無孔不入。

2.是完備性：所有的柯西序列都有一個實數極限。這里提到的柯西序列意思是這樣一個序列，它的元素隨著序數的增加而愈發靠近，更確切地說，在去掉有限個元素后，可以使得余下的元素中任何兩點間的距離的最大值不超過任意給定的正的常數。完備性就是孫悟空永遠跳不出如來佛的五指山。完備性——密不透風。

3.是阿基米德性質：對任意兩正數x及實數y，存在正整數n，使nx>y.在幾何上這意味著，無論多長的線段，都能用有限條不管多短的等長線段覆蓋；換句話說，無論采用多短的線段作單位，都能在有限次內把無論多長的線段量完。

掌握了這些性質后，我們就可以展開研究了。有理數從1變到2，中間似乎沒有跳躍，因為1與2之間的有理數是密密麻麻的，找不到一段空白，其實有理數從1變到2 并非連續地變化，因為中間跨過了許多無理數。有理數再添加無理數，湊成全體實數，我們說，實數是可以連續變化的，說變量從0變到1，是說要X取遍0到1之間的一切實數。

舉個例子，實數具有連續性，而有理數不具有連續性。如何精確說明這里所說的連續性的含義呢？設想用一把鋒利的刀把數軸砍成兩截，這一刀一定會看在某個點上，即砍中了一個實數。如果能夠看在一個縫隙上，數軸就不算連續的了。設數軸是從點A處被砍斷的，這個點A不是在左半截上，就是在右半截上。這是因為點不可分割，又不會消失，所以不會兩邊都有，也不會兩邊都沒有。從以上的假象中領會到所謂數軸的連續性，就是不管把它從什么地方分成兩半截，總有半截是帶端點的，而另外半截沒有端點。

實數的連續性，也就可以照樣搬過來：“把全體實數分成甲，乙兩個非空集合，如果甲集里任一個數X比乙集里的任一個數Y都小，那么，或者甲級里有最大數，或者乙集里有最小數，二者必居其一，且僅居其一，這就叫做實數的連續性。”

而有理數系不滿足這個條件。如果把全體負有理數和平方不超過2的非負有理數放在一起組成甲集，所有平方超過2的正有理數組成乙集，則甲集無最大數，乙集也無最小數。若從甲乙兩集之間砍一刀，就砍在縫里了。在實數系中，這個縫就是用無理數根號2填起來的。

這種方法叫做有理數的一個戴德金分割，簡稱分割。所以我們需要將無理數和有理數結合起來形成一個連續的，稠密的數系，這個數系就是實數系。有理數集到實數集，使得正數的開方運算得以完備，任意正數的開方都為實數。

例 2.1 （有理數數域不是完備的）。

通過上面的討論，我們已經知道完備化的定義是一個柯西數列總是收斂的。我們可以構造以下這個例子：X_n = [√2 n]n.

其中符號[ ]表示取整符號。容易證明，這個有理數數列是柯西數列，但是它收斂于√2，并不是一個有理數，所以有理數數域并不是完備的。

一個自然的問題，便是如何從有理數數域出發，構造一個“等同于”實數數域的數系，并且證明它是完備的？我們這樣思考這個問題，考慮有理數數域上的所有的柯西數列，我們定義兩個柯西數列等價當且僅當他們充分的靠近，即在去掉有限個元素后，可以使得它們余下的元素中任何兩點間的距離的最大值不超過任意給定的正的常數。于是我們可以定義等價類之間的加、減、乘、除，這樣我們就得到了一個域。一方面，我們可以證明，這個域代數上是同構于實數數域，即它等同于實數數域。另一方面，我們可以去證明在這個數域中，任何一個柯西數列總是收斂的。于是，我們得到：定理2.2. 存在一個唯一的包含有理數數域的一個阿基米德完備域，并且這個域等同于實數數域。

關于這個完備化過程的更詳細地證明，我們推薦讀者參看參考文獻。

三、討論

通過以上的討論，我們可以理解完備、完備化的概念，并且也研究了如何通過完備化的方法，從有理數域出發，構造實數數域。從一個更一般化的角度來說，完備化的過程依賴于有理數數域上的絕對值的概念，這個絕對值因為滿足三角不等式，所以我們一般稱它為阿基米德絕對值。另一方面，我們可以利用素數，來定義一個滿足更強的不等式的絕對值，成為非阿基米德絕對值。有了非阿基米德絕對值的概念，我們相當于在有理數數上定義了另一種度量，于是我們可以完全仿造第二節中所討論的方法，來定義有理數的完備化過程，這樣我們會得到無窮多個新的完備數域，我們稱他們為p-adic數域，在這樣的數域上，我們會發現很多奇妙的性質，比如，我們可以很容易地構造一個平面圓，使得這個圓里面的每一點都是它的圓心！關于非阿基米德絕對值所帶來的這些有趣的性質，我們推薦讀者參看進一步的文獻，例如參考文獻[1].

參考文獻：

[1]馮克勤.代數數論簡史[M].湖南教育出版社，湖南，2002.

[2]沈燮昌.數學分析，第2冊[M].高等教育出版社，北京，2014.

[3]張筑生.數學分析新講，第一冊，第1版[M].北京大學出版社北京， 1990.