基于Expectile回歸的均值-ES組合投資決策

許啟發，丁曉涵，蔣翠俠

(1. 合肥工業大學管理學院，安徽 合肥 230009；2. 合肥工業大學過程優化與智能決策教育部重點實驗室，安徽 合肥 230009)

1 引言

現代組合投資主要通過定量化的模型與算法來確定最佳組合投資權重，實現期望收益既定條件下投資風險最小化。無疑，風險測度方法與組合投資模型等因素將關系到組合投資決策結果，對投資者、金融機構和監管當局的科學決策都將產生重大影響。為此，如何選擇恰當的風險測度指標、構建相應的組合投資決策模型、采用合理的求解方法、改善組合投資績效，是值得研究的重要課題。

在風險測度指標研究方面，經歷了從矩風險測度到分布(尾部)風險測度的變化。Markowitz等[1]最早提出方差作為風險測度工具，使用了統計學中的二階矩，開創了矩風險測度的先河。隨后，文獻中相繼發展了半方差、下半方差等風險測度方法，克服了方差風險測度中將收益上升也視為風險的局限。然而，方差風險測度的理論基礎是較為嚴格的正態分布假定，現實中往往難以滿足(如：尖峰厚尾)，需要考慮更高階的矩作為風險測度指標，如：Jondeau等[2]提出的偏度與峰度風險。與此不同，另外一些學者從損失分布特征的角度給出風險測度方法，代表性的當屬Basel協議主推的VaR風險測度，參見Jorion[3]。Engle等[4]直接對VaR進行自回歸，提出了CAViaR模型，用于動態VaR風險測度；劉曉倩等[5]使用加權復合分位數回歸方法，估計動態VaR風險值；王璇等[6]基于二元模型，提出一種新的VaR風險度量模型，對組合投資風險進行分風險估計和總風險集成。但是，VaR方法不滿足“一致性風險測度”標準中的次可加性等要求，并且無法衡量超過VaR部分的損失大小。為彌補VaR的不足，Artzner等[7]提出了ES(Expected Shortfall，也有文獻稱為CVaR)，并證明了ES較之VaR具有更優良的統計性質，可以很好地分散尾部風險。Taylor[8]提出使用Expectile估計ES，得到了更為準確的結果；Kuan等[9]提出了一個與CAViaR模型相對應的條件自回歸Expectile(CARE)模型，用于估計動態ES；王鵬等[10]運用后驗分析法，對比不同風險測度模型對ES風險指標估計的精確度差異；謝尚宇等[11]則在CARE模型中引入ARCH效應，建立了ARCH-Expectile模型；劉曉倩等[12]建立自回歸加權復合Expectile模型，來評估ES風險大小；黃金波等[13]利用非參數核估計方法得到ES的兩步核估計公式，建立均值-ES模型，同時實現對風險估計與組合投資優化。張冀等[14]將風險依賴、一致性風險度量與組合投資納入到一個分析框架中，運用Copula函數預測組合投資ES風險。

在組合投資決策方法研究方面，可以概括為優化與回歸兩個方面。第一，基于優化算法的組合投資決策。Markowitz等[1]的均值-方差模型，主要通過二次規劃方法結合KKT(Karush-Kuhn-Tucker)條件進行模型求解。而在高階矩組合投資中，考慮到最大化期望收益(M)與偏度(S)、最小化方差(V)與峰度(K)，通過多目標規劃方法求解M-V-S-K組合投資模型，詳見Lai[15]、Sun Qian等[16]、蔣翠俠等[17]等的研究工作。對于均值-VaR與均值-ES(CVaR)模型，Rockafellar等[18-19]通過引入一個輔助函數，將其求解過程轉化為一個線性規劃問題，但涉及多維數學期望計算，存在“維數災難”問題。第二，基于回歸分析(包括：均值回歸、分位數回歸和Expectile回歸)的組合投資決策。Fan Jianqing等[20]將均值-方差模型的求解過程轉化為一個均值回歸問題，不但避免了方差-協方差矩陣估計中的誤差，而且得到更加穩健的組合投資效果。此外，該模型可以進一步擴展，通過引入LASSO懲罰實現金融資產選擇，解決了基于方差風險的大規模組合投資決策問題。Bassett等[21]將均值-(C)VaR模型的求解過程轉化為一個分位數回歸問題；He Yaoyao等[22]引入權重約束，通過SCAD分位數回歸，解決了基于(C)VaR風險的大規模組合投資決策問題。與組合投資決策的優化類求解方法相比，回歸類求解方法一方面能夠避免優化類求解方法出現的“維數災難”問題，可以適應大規模組合投資決策需要；另一方面，能夠更加準確地估計風險指標，得到更為穩健的組合投資效果。

迄今，尚無文獻討論使用Expectile回歸進行組合投資決策分析。本文研究基于Expectile回歸的均值-ES風險組合投資決策問題，主要在以下三個方面開展了創新性研究：第一，對均值-ES風險組合投資模型，利用ES與Expectile之間對應關系，將其求解過程轉化為一個Expectile回歸問題；第二，給出了均值-ES組合投資模型的Expectile回歸求解新算法，提高了模型求解效率；第三，通過實證研究，從投資風險、投資績效以及有效前沿等方面，對比了基于Expectile回歸的均值-ES模型與均值-方差投資模型、均值-VaR模型的實證表現。選取滬深300指數中的5支行業代表性股票為研究對象，使用其2010年1月1日到2017年6月26日間日收益數據進行組合投資分析，實證結果表明：本文提出的組合投資決策方法，能夠很好地分散極端情況下投資組合尾部風險大小，顯著提高組合投資績效。

2 傳統組合投資決策與回歸分析

2.1 均值-方差模型與均值回歸

組合投資決策過程，旨在實現期望收益盡可能大、面臨風險盡可能小，Markowitz等[1]通過均值-方差模型來實現這一思想。考慮收益為R=(R1,R2,…,RN)′的N個金融資產，組合投資權重向量為w=(w1,w2,…,wN)′，得到組合投資收益Rp=w′R，則經典的均值-方差模型可以表示為：

(1)

式中，∑=cov(R)為方差協方差矩陣，反映金融資產收益之間關系；約束條件w′1=1表示組合投資權重之和為1，1為由1組成的列向量；E(Rp)=r0表示給定組合投資期望收益為r0。

對于均值-方差模型，通常采用二次規劃傳統方法求解。但當金融資產數目過多時，不僅求解過程十分復雜，而且∑的估計存在較大誤差。為了提高模型求解效率，Fan Jianqing等[20]將均值-方差模型轉化為一個均值回歸問題，不僅可以簡化計算過程，而且能夠降低計算誤差。

(2)

式(2)是實現將均值-方差模型的求解轉化成一個均值回歸問題的關鍵。對于約束條件w′1=1，可以進行展開、移項等操作，得到：w1=1-w2-w3-…-wN，將其代入式(2)并化簡，可得：

s.t.E(Rp)=r0

(3)

2.2 均值-VaR模型與分位數回歸

VaR是指在某一置信水平100×(1-α)%下，投資者持有某項資產可能遭受的最大損失。記L=(L1,L2,…,LN)′為N個金融資產的損失，可以視為收益序列的相反數。Lp為組合投資資產損失，且有Lp=w′L=-Rp。這樣，基于損失分布的VaR與基于收益分布的分位數之間存在關系：

VaR1-α(Lp)=-inf{x|Pr(Rp≤x)≥α}=-QRp(α)

(4)

式中，α∈(0,1)為與置信水平對應的分位點，inf{·}為下確界，Pr(·)表示概率。由式(4)可知，在給定置信水平下，VaR為收益序列α分位數的相反數。

對于損失L，其(1-α)分位數為下述優化問題的極小值點：

(5)

式中，損失函數ρ1-α(u)=u((1-α)-I(u<0))為分段線性函數，I(·)為指示函數。

考慮以VaR作為風險測度指標，依據組合投資決策思想，建立均值-VaR組合投資模型：

(6)

根據VaR與分位數之前關系，再結合式(5)與式(6)，可以將均值-VaR模型轉化為：

(7)

依據組合投資權重約束條件w′1=1，有w1=1-w2-w3-…-wN，將其代入組合投資損失Lp，得到：Lp=w1L1+w2L2+…+wNLN，式(7)簡化為：

s.t.E(Lp)=l0

(8)

3 均值-ES組合投資模型與方法

3.1 ES風險測度

ES定義為損失超過某一閾值(VaR)的條件期望。對于組合投資資產損失Lp，在某一置信水平100×(1-α)%下，ES可以表示為：

ES1-α(Lp)=E[Lp|Lp≥VaR1-α(Lp)]

(9)

進一步，在給定組合投資損失Lp分布F下，可以計算出ES如下：

(10)

式中，F-1(·)為資產組合損失變量分布函數F的逆函數。可以看出，ES是由超出閾值VaR1-α的一組VaR進行加權平均所得。

3.2 均值-ES風險組合投資模型

對于N個金融資產，組合投資權重向量為w=(w1,w2,…,wN)′且滿足w′1=1，在給定期望損失l0下，則均值-ES組合投資模型表示如下：

(11)

過去，對于均值-ES模型求解，通常使用拉格朗日方法，將有條件極值問題轉化為無條件極值問題后，進而使用二次規劃方法進行求解。為解決均值-ES組合投資模型求解過程中的麻煩，Quaranta等[23]和Rockafellar等[18]提出了一個線性規劃算法。他們研究了一般分布條件下的ES風險大小，通過引入輔助函數，將以給定期望收益作為約束條件的組合投資決策模型，轉化為線性規劃問題來求解。不過，該方法涉及多維數學期望問題，往往存在“維數災難”問題，并且計算結果不夠精確。

為此，本文嘗試使用Expectile回歸，研究均值-ES組合投資模型求解方法，將其求解過程轉化為一個Expectile回歸問題，不但簡化了計算的復雜程度，而且有利于均值-ES模型向大規模組合投資決策方面推廣。

3.3 均值-ES模型求解

本節通過理論分析，論證了均值-ES模型求解問題可以轉化為Expectile回歸問題。通過優化Expectile回歸目標函數得到Expectile，利用Expectile與ES之間對應關系，能夠準確地得到最優投資組合的ES風險值。

3.3.1 理論分析

第一，在給定θ分位點處，Newey等[24]提出的Expectile分位數v(θ)為下述優化問題的極小值點：

(12)

式中，ρ1-θ(L-ξ)2=|θ-1|(L-ξ)2，θ∈(0,1)。式(12)表明，Expectile分位數為優化非對稱平方損失函數的產物，這一結果與數學期望、quantile分位數相類似。實際上，數學期望為優化對稱平方損失函數的產物，而quantile分位數為優化非對稱絕對損失函數的產物。Expectile分位數具有與quantile分位數類似的性質，它可以完整刻畫條件分布，而不局限于條件分布的均值。就統計屬性而言，quantile僅考慮數據之間位置(或順序)關系不考慮數據之間距離，而Expectile能夠同時兼顧兩個方面的信息。此外，二次損失函數為Expectile帶來了計算上的優勢、估計的有效性以及協方差矩陣的估計無需估計一個條件密度函數。因而，Expectile較quantile更具有優良性質。

第二，通過引理1與引理2，由Expectile分位數可以間接計算出VaR與ES(CVaR)。

引理1：對于給定的α∈(0,1)，記滿足v(θ)=q(α)的θ為θ(α)，Yao Qiwei等[25]建立了θ(α)和q(α)的對應關系式如下：

(13)

式中，q(α)為α-分位數，可以看出，θ與α之間具有一一對應的關系。

引理2：對于組合投資損失隨機變量Lp，具有數學期望E(Lp)，1-α分位點處的ES值ES1-α與θ分位點處Expectile值v(θ)存在關系：

(14)

式中，α∈(0,1)、θ∈(0,1)，且滿足：F(v(θ))=1-α，本文使用的1-α與θ之間的對應關系詳見Kuan等[9]在263頁中給出的表1與圖1；F(·)為Lp的累積分布函數。

(15)

類似于前面的討論，根據約束條件w′1=1，容易得到：w1=1-w2-w3-…-wN，進而可以將式(15)轉化為：

s.t.E(Lp)=l0

(16)

3.3.2 求解方案

上述理論分析的意義在于，將均值-ES組合投資決策轉化為一個Expectile回歸問題。本節基于Expectile回歸，給出其求解方案。

(17)

因此，基于Expectile回歸的均值-ES模型求解可以概括為三個步驟：

4 實證研究

4.1 數據選取與統計分析

綜合考慮樣本股票的行業代表性以及股票價格的持續可獲得性，盡量保證股票分散于不同的行業，且在選定區間內不存在長期停牌甚至摘牌。故本文選取滬深300指數中的5支股票，分別為東阿阿膠、科大訊飛、五糧液、吉林敖東、中集集團，以其日收率為研究對象，同時將數據分為兩個部分：樣本內數據集和樣本外數據集。其中，樣本內數據區間為2010年1月1日到2015年1月5日，剔除非同步交易日和節假日，樣本容量為N=1212，樣本外數據區間為2015年1月6日到2017年6月26日，樣本容量N=602。股票日收益率計算公式如下：

rt=100×(lnpt-lnpt-1)

(18)

式中，rt表示t期股票收益率，pt表示t期收盤價。本文數據來源于巨靈財經金融服務平臺，所有運算均在R3.3.3軟件中編程實現。

表1報告了樣本內五支樣本股票收益率的描述性統計，可以得到如下初步結論。第一，在樣本內，除科大訊飛和吉林敖東外，其他三支股票的收益均為正值，分別為東阿阿膠0.00034、五糧液0.00023和中集集團0.00043。第二，所有股票收益的偏度均為負值，具有有偏性；峰度均大于3，說明5支股票收益分布具有比正態分布更肥的尾部，存在極端收益狀態，這一結果由J-B檢驗得到了加強。為此，方差風險測度存在明顯不足，需要考慮VaR、ES類尾部風險。第三，根據VaR和ES的定義，分別求得單支股票的風險值，發現五支股票的ES值均大于VaR值，表明：ES風險測度更為保守且能夠較全面地衡量股票尾部風險。

表1 股票收益率的描述性統計

4.2 組合投資分析

本文對均值-ES風險組合投資模型，使用Expectile回歸方法進行求解，在給定期望收益約束條件下，計算損失序列尾部分布風險，并與均值-VaR組合投資模型、均值-方差組合投資模型進行比較，主要包括組合投資尾部風險、投資績效以及有效前沿等三個方面的比較。

在進行Expectile回歸時，為保證期望損失約束條件成立，對虛擬觀測中的放大系數取足夠大的值：κ=10000。在使用估計的Expectile計算ES和VaR時，需要考慮到θ與α之間的對應關系。引理1為此提供了一個基本關系，Kuan等[9]進一步通過Monte Carlo計算得到了特定分布(主要有：均勻分布、標準正態分布、t(30)、t(10)、t(5)、t(3))兩者之間對應關系。本文采用Kolmogorov-Smirnov(K-S)檢驗判斷組合投資收益是否服從某一特定分布，檢驗結果表明：由Expectile回歸得到的組合投資收益分布與自由度為3的t分布相比較時，P值大于0.05，不能拒絕其分布一致的原假設。因此，認為其分布特征與t(3)分布沒有顯著性差異，本文關于θ與α之間的對應關系，可以使用Kuan等[9]第263頁表1中最后一列(t(3)(%))的對應結果。

4.2.1 組合投資風險與績效評價

為檢驗組合投資效果，需要考察其風險與績效。以等權組合投資方案為基準模型，得到樣本內組合投資收益均值為0.0004，同時設置VaR與ES風險的置信度為95%。利用前文給定的方法，得到基于均值回歸的均值-方差模型(模型I)、基于分位數回歸的均值-VaR模型(模型II)和基于Expectile回歸的均值-ES模型(模型III)的樣本內與樣本外組合投資風險與績效，結果如表2和表3所示。其中，表2中報告的模型I、模型II、模型III所得結果，都是以基準模型(等權組合投資方案)所得組合投資收益均值為給定期望收益。

表2 樣本內組合投資風險與績效評價

表3 樣本外組合投資風險與績效評價

就風險而言，樣本內結果可以概括為以下結論。第一，以標準差(或方差)作為風險測度指標時，模型I、模型II和模型III所得投資組合的標準差分別為0.0175、0.0176和0.0176，均小于等權組合標準差0.0185，說明采用模型I、模型II和模型III可以達到分散組合投資風險目的。第二，以VaR和ES作為風險測度指標時，模型III的VaR和ES分別為0.0199和0.0123，均明顯小于模型II、模型I以及等權組合投資方法，可見模型III用于分散組合投資尾部風險效果更優。

就績效而言，本文考慮風險調整收益，采用Keating等[27]提出的Omega比率。由于Omega比率能夠考慮到收益完整分布信息，從而比建立在收益矩(一階矩、二階矩)信息基礎上的Sharpe比率、Sortino比率等績效指標更為可靠。Omega比率是一個望大指標，數值越高意味著投資績效越好，計算公式為：

(19)

式中，F(r)為收益率r的累積分布函數，r0為基準收益率。這里，將r0取值為0，意味著當收益率r大于0時，資產就會盈利；當收益率r小于0時，資產發生損失。從表 2可以看出，相比于等權組合、模型I和模型II，模型III所得組合投資的Omega比率最大，績效更優。

結合樣本外結果，可以發現：第一，本文基于Expectile回歸的均值-ES模型(模型III)的樣本外組合投資的風險與績效表現良好，樣本內風險與績效的主體結論同時適用于樣本外。第二，將模型I、模型II和模型III的樣本內與樣本外效果進行對比，可以看出，樣本外的標準差、VaR和ES均大于樣本內的結果，說明對于所有模型其樣本內效果優于樣本外表現，符合相應邏輯。

4.2.2 組合投資有效前沿

為進一步比較基于Expectile回歸的均值-ES模型(模型III)與基于分位數回歸的均值-VaR模型(模型II)、基于均值回歸的均值-方差模型(模型I)的組合投資效果，研究其所得投資組合的有效前沿以及最小風險點。給定組合投資收益區間(-0.001，0.002)，將其等分為100個收益點，分別計算在每個收益點下對應風險值。在不同的給定期望收益條件下，能夠得到一個最優組合投資以及相應的一組最優標準差、VaR與ES風險，從而得到三種不同的有效前沿表示方式，分別見圖 1、圖 2和圖 3。在三個圖中，分別報告了樣本內數據的期望收益與標準差(方差)風險、期望收益與VaR風險、期望收益與ES風險之間最佳組合。樣本外數據的結果與樣本內相似，這里不作贅述。

圖1 組合投資有效前沿：收益-標準差

在圖 1中，以標準差(方差)作為橫坐標，可以發現：第一，模型I、模型II和模型III的有效邊界存在差異，三種模型的有效前沿存在子集關系。其中，模型III是模型II的子集，模型II是模型I的子集。當選擇置信度為95%時，模型I、模型II與模型III的有效前沿幾乎重合。第二，以標準差(方差)作為風險測度指標時，在相同的期望收益下，模型I面臨風險最小，這得益于模型I優化的對象為標準差(方差)。現實中，由于收益序列存在尖峰厚尾特征，不滿足正態分布，使用均值-方差模型處理組合投資問題時，容易出現模型設定誤差，低估組合投資風險。第三，就標準差(方差)最小風險點而言，三種模型的最小風險點恰好在期望收益率為0.0003時取得，得到最小標準差(方差)分別為0.0176(模型I)、0.0177(模型II)和0.0178(模型III)，驗證了三種模型有效邊界存在的子集關系。這一結果表明，期望收益率取0.0003時，三種模型均達到最優組合投資的臨界點，過了該點即使再降低對期望收益率的要求，風險(標準差)也不會再降低。這一結論為投資者在風險可容忍范圍內，權衡最佳期望收益提供了科學的參考依據。

圖2 組合投資有效前沿：收益-VaR

從圖 2可以看出：第一，三種模型有效前沿存在子集關系，分別為模型I是模型II的子集，模型II是模型III的子集。第二，以VaR作為風險測度指標時，在相同的期望收益率條件下，模型III所得的組合投資的VaR值低于模型I和模型II，即前者所得組合投資風險更小，反映出模型III風險組合投資模型在分散尾部風險方面具有顯著的優勢，表明模型III比其他兩個模型更為有效。第三，就VaR風險而言，三個模型的最小風險點有所不同。模型I在期望收益為0.0003時，取得最小風險點，最小VaR為0.0290；模型II在期望收益為0.0002，最小VaR為0.0299；模型III在期望收益為0.0002，最小VaR為0.0210。可見，當期望收益為0.0002時，模型III最小VaR小于模型II，且風險減小幅度達到29.76%，說明模型III在分散組合投資風險方面具有明顯效果，有利于投資者改善最優組合投資效果。

圖3 組合投資有效前沿：收益-ES

由圖 3可知：第一，以ES為風險測度指標時，三種模型有效前沿依然存在子集關系，模型I是模型II的子集，模型II是模型III的子集，意味著模型III所得有效組合投資范圍更廣。第二，模型III有效前沿位于最左邊，面臨ES風險最小，說明模型III可以很好的分散組合投資ES風險。第三，就ES最小風險點來看，當期望收益取0.0003時，三種模型均得到最優組合投資臨界點，最小ES分別為0.0380(模型I)、0.0381(模型II)和0.0119(模型III)。此外，將圖 2和圖 3放在同一坐標系下，VaR有效前沿位于ES有效前沿的左側，意味著在給定同一期望收益水平下組合投資的ES風險值大于VaR風險值。這一結果表明，ES風險測度在實踐中相對保守，更合適作為組合投資風險測度指標。

5 結語

本文從回歸分析的角度重新審視了均值-ES模型，將均值-ES模型的求解轉化為一個Expectile回歸問題并給出其求解算法。本文算法的主要優勢在于能夠避免傳統方法在求解均值-ES模型時的復雜計算過程，而且便于在實際中進一步擴展與應用：監測和管理大規模組合投資。許啟發等[28]使用Lasso分位數回歸給出帶有范數約束的高維組合投資模型求解算法，為從回歸分析角度解決大規模組合投資決策問題提供了思路。為了實現從眾多的金融資產中篩選出優質金融資產進行組合投資，未來可以將Lasso等變量選擇方法引入Expectile回歸，建立Lasso Expectile等回歸方法，求解帶有范數約束的均值-ES模型，完成大規模組合投資決策。

本文從組合投資的風險、績效、有效前沿等三個方面，實證檢驗了基于Expectile回歸的均值-ES組合投資模型(模型III)與均值-VaR模型(模型II)、均值-方差模型(模型I)的實證表現。實證結果表明：第一，就組合投資風險而言，模型III能夠更好地分散風險，適合對尾部風險管理有高精準要求的市場參與者；第二，就組合投資績效而言，通過Omega比率之間的對比，發現模型III績效最優，處理組合投資決策問題更為恰當；第三，就組合投資有效前沿而言，在以VaR和ES作為風險測度指標時，模型III比模型I與模型II更為有效。