風險質檢行為下的模糊生產-庫存決策

伏開放，陳志祥

(1.廣東金融學院工商管理學院，廣東 廣州 510521；2.中山大學管理學院，廣東 廣州 510275)

1 引言

生產系統在質檢過程中存在風險，一類風險是將完美產品檢測為不完美產品，另一類風險是將不完美品檢測為完美產品。在這種條件下，傳統的生產-庫存決策優化模型應用價值就存在一定的局限性，因此，研究風險質檢行為下的生產-庫存具有重要的理論與現實意義。

目前也有一定的學者對產品質量具有缺陷及質檢過程中存在風險的生產-庫存問題進行了研究。Sana[1]在可變生產率的基礎上探討了質量缺陷對最優生產量的影響。Wee等[2]在假設質量缺陷產品在允許缺貨的基礎上，運用報酬更新定理建立了生產庫存模型的期望平均成本。Mahata 和 Goswami[3]針對質量缺陷產品分別建立非模糊成本模型與模糊成本模型，并對得出的最優生產策略進行了比較。Huang[4]研究了生產過程不穩定的生產-庫存模型。Hsu和Hsu[5]在假設缺貨量完全延期供給的基礎上，將Huang[4]的模型拓展到允許缺貨情形。Wee等[6]建立了質量缺陷產品在允許缺貨情形下的生產-庫存模型。Konstantaras等[7]在假設庫存允許缺貨及質檢過程存在學習效應的基礎上建立了質量缺陷產品EOQ模型。Lin[8]針對以往研究中忽視質檢過程中存在的質檢風險，將質檢過程中存在的兩類風險拓展到Huang[4]的模型中，重點分析了風險誤差對最優策略造成的影響。潘偉[9]考慮供應中斷風險，構建了包含模糊目標、隨機約束和情景分析的多產品線性/非線性訂單分配模型。伏開放和陳志祥[10]考慮生產過程中存在的學習效應及質檢過程中的風險，構建了JIT生產-庫存優化模型。Hsu和Hsu[11]考慮質檢風險，對文獻[5]進行了拓展。Sarkar和Saren[12]在存在質量保證成本的條件下，研究了質檢風險對生產策略的影響。李稚和譚德慶[13]針對不同客戶的需求，假設生產時間服從愛爾朗分布，給出了生產-庫存最優控制策略。

在生產-庫存優化研究中處理需求的不確定性做法有兩種，一種是采用概率論與隨機過程方法，另一個是引入模糊概念。一般情況下，學術界比較多采用概率論與隨機過程方法處理需求不確定性，但是當需求的隨機分布特征不明確時，因模糊集理論無需假定假定數據服從何種概率分布，可以避免歷史數據收集不足的問題，采用模糊數學的處理方法則可以更有效解決需求不確定性問題。諸多學者從不同角度對模糊需求與模糊生產率的生產-庫存模型進行了研究。

Hsieh[14]運用梯形模糊數對EPQ模型中包括需求等的各類參數進行了模糊化處理，運用擴展拉格朗日法對模型進行了求解。Kumar和Goswami[15]研究了模糊隨機需求連續補貨對最優策略的影響。Pan和Yang[16]分別建立了需求為模糊數與需求和生產率均為三角模糊數的生產-庫存模型，并采用符號距離法對所建立的總成本模型進行了逆模糊化處理。Bag等[17]建立了生產過程具有柔性與可靠性的模糊隨機需求下的生產-庫存模型。Shekarian等[18]及Sarkar和Mahapatra[19]對模糊生產庫存進行了綜述。李群霞和張群[20]利用梯形模糊數對需求等參數進行了模糊化處理，建立了模糊化的生產庫存總成本函數。胡玉梅和胡勁松[21]研究了LR型模糊需求下缺貨需補的連續盤點庫存優化問題。張川等[22]運用三角模糊數研究了不確定條件下模糊需求、允許缺貨、有拖后補的庫存管理問題。陳德慧和陳東彥[23]在考慮客戶需求具有模糊隨機性的基礎上，將設施選址、車輛路徑和庫存控制等3個層次的決策進行集成優化。郭子雪和齊美然[24]構建了三角模糊信息環境下應急物資動態控制模型。劉長石[25]等考慮應急物流網絡中的多周期應急物資的模糊需求，研究了應急物資多方式供應的模糊動態LRP問題。李陽等[26]給出了求解模糊需求車輛路徑問題的兩階段變鄰域禁忌搜索算法。

本文是對Hsu和Hsu[5]模型的拓展。Hsu和Hsu[5]的模型雖然也考慮了生產過程中的不完備性導致的質量缺陷，但沒有考慮零售商質檢過程中存在的風險質檢行為。本文在考慮質檢風險行為的基礎上，首先將模型拓展到模糊需求情形，其次又將模型拓展到模糊需求與模糊生產率情形，基于三角模糊數建立模糊總成本，采用符號距離法對模糊總成本逆模糊化，進一步得到最優訂購量、最有供貨次數的解析解。

2 模型描述及符號說明與模型假設

由單一制造商與單一零售商構成生產-庫存系統，零售商每次訂購量為Qp，每個周期內生產Qp數量的產品，制造商分n次供貨，每次供貨量為Q。由于生產過程中存在的諸多不確定性因素，制造商生產的產品存在缺陷品。零售商對每次收到的產品進行100%質檢，用完美產品滿足顧客需求，不完美品由制造商下次供貨返回時運回。當零售商發生缺貨時，顧客愿意等待，且缺貨期間的需求與不缺貨時相同，但零售商需承擔延期供給費。

本文模型中用到的參數和變量定義如下：

n：一個生產周期內制造商向零售商的供貨次數(決策變量)；Q：制造商每次向零售商的供貨量(決策變量)；Qp：制造商每個周期內的最大生產量，Qp=nQ；D：零售商面臨的需求(單位/年)；Sv：制造商生產準備成本(元/次)；SB：零售商每次訂購的訂貨費(元/次)；F：零售商每次運輸的固定成本(元/次)；?：零售商單位質檢成本(元/年)；v：制造商向零售商單位缺陷品質量保證成本；b：零售商單位產品延期供給費；T：連續兩次供貨的時間間隔(年)；t1：零售商的庫存水平從最大降至零的時間(年)；t2：零售商的庫存水平由零達到最大短缺水平的時間(年)；hv：制造商單位產品存儲成本(元/單位/年)；hB：零售商完美產品單位存儲成本(元/單位/年)；TC：一個循環周期TC=nT；ζ：制造商每次供貨的缺陷品率；f(ζ)：制造商每次供貨的缺陷品的概率密度函數；τ：一類質檢風險，即將合格品質檢為不良品的風險，這類風險也叫棄真風險。這類風險將導致生產者產生損失，也叫生產者風險；ψ：二類質檢風險，即將不良品檢測為合格品的風險，這類風險將導致消費者產生損失，因此也叫消費者風險；γ：在兩類質檢風險下，產品的綜合缺陷品率，有γ=(1-ζ)τ+ζ(1-ψ)。

本文模型的建立基于如下假設：

(1)單一制造商單一零售商構成一個生產-庫存系統，該系統僅生產一類產品，制造商在生產過程中由于諸多不確定因素，生產的產品存在質量缺陷。缺陷率為ζ。

D，0<Δ2，D-Δ1為模糊需求的下限，D為平均需求，D+Δ2為模糊需求的上限。

(3)零售商對制造商供貨的產品進行100%質檢，風險質檢過程瞬時完成，風險質檢過程中存在兩類質檢風險，一類質檢風險(Type-Ⅰrisk)與二類質檢風險(Type-Ⅱrisk)。缺陷品保存至制造商下一次供貨，由制造商運回處理。

(4)生產-庫存系統允許缺貨，且缺貨量B完全延期供給。

3 模糊生產-庫存模型

3.1 模糊需求下的生產-庫存模型

3.1.1 零售商模糊成本模型

零售商成本包括訂購成本、運輸成本、質檢成本、存儲成本、缺貨成本，在連續兩次供貨時間間隔T時間內，零售商的總成成本為：

TCB(n,Q,B)=SB+nF+?nQ

(1)

3.1.2 制造商模糊成本模型

圖1顯示了制造商的庫存水平變化和累積供應情況。制造商的成本包括生產準備成本、對于缺陷品的質量保證成本及存儲成本，即：

TCv(n,Q)=Sv+vnQγ

(2)

由零售商與制造商構成的集成生產-庫存系統的總成本為：

(3)

圖1 制造商的庫存水平變化和累積供應圖

因γ是質檢后產品的綜合缺陷品率，是一隨機變量，需要對其求數學期望，令h=E[γ]、λ=1/(1-E[γ])，化簡可得集成生產-庫存系統的期望平均成本：

(4)

(5)

(6)

將式(6)代入式(5)，令

(7)

命題1W(n,Q,B)是(Q,B)的聯合凸函數，存在唯一的(Q*(n),B*(n))使得生產-庫存系統的平均總成本最低。

證明W(n,Q,B)關于Q和B的Hessian矩陣如下：

>0

由此可得W(n,Q,B)關于Q和B的Hessian矩陣是正定矩陣，可判定W(n,Q,B)是(Q,B)的聯合凸函數。令?W(n,Q,B)/?Q=0、?W(n,Q,B)/?B=0，也即

(8)

求解上述方程組(8)可得：

(9)

(10)

其中：l=hB{E[(1-γ)2]+2h-2E[γ2]}-δ

由此可證W(n,Q,B)是(Q,B)的聯合凸函數，

存在唯一的(Q*(n),B*(n))使得生產-庫存系統的平均總成本最低。證畢。

命題2 給定Q和B，W(n,Q,B)是關于n的凸函數。

證明 對式(7)求關于n的一階導數與二階導數

因?2W(n,Q,B)/?n2>0，故給定Q和B，W(n,Q,B)是關于n的凸函數。證畢。

采用如下步驟確定n*使得W(n,Q,B)最小。

步驟1：令n=1；

步驟2：集成生產-庫存系統的決策者選擇Δ1和Δ2，將Δ1和Δ2代入式(9)，得Q*(n)、將Q*(n)代入式(10)得B*(n)；

步驟3：將步驟2所得Q*(n)、B*(n)代入W(n,Q,B)，得W(n,Q*(n),B*(n))，跳轉到步驟4；

步驟4：令n=n+1，重復步驟3；

步驟5：若W(n,Q*(n),B*(n))≤W(n,Q*(n-1),B*(n-1))且W(n,Q*(n),B*(n))≤W(n,Q*(n+1),B*(n+1))，則n=n*；

步驟6：將n*代入由步驟2得到的Q*(n)、B*(n)，有Q*(n*)、B*(n*)；

步驟7：將Δ1、Δ2、n*、Q*(n*)、B*(n*)代入式(5)，得最小成本W(n*,Q*,B*)。

Q*(n)

其中：l=hB{E[(1-γ)2]+2h-2E[γ2]}-δ

3.2 模糊需求與模糊生產率下的生產-庫存模型

在模糊需求與模糊生產率下生產-庫存系統的期望平均本為：

(11)

(12)

(13)

命題3Z(n,Q,B)是(Q,B)的聯合凸函數，存在唯一的(Q*(n),B*(n))使得生產-庫存系統的平均總成本最低。

命題3的證明過程與命題1類似。此處略去命題3的證明過程。

命題4給定Q和B，Z(n,Q,B)是關于n的凸函數。

命題4的證明過程與命題2類似。此處略去命題4的證明過程。

對Z(n,Q,B)分別求關于Q和B的一階導數，令?Z(n,Q,B)/?Q=0、?Z(n,Q,B)/?B=0，即

求解上述方程組可得：

(14)

(15)

其中：χ=hB{E[(1-γ)2]+2h-2E[γ2]}-δ

采用如下步驟確定n*使得Z(n*,Q*,B*)最小。

步驟1：令n=1；

步驟3：將步驟2所得Q*(n)、B*(n)代入Z(n,Q,B)，得Z(n,Q*(n),B*(n))，跳轉到步驟4；

步驟4：令n=n+1，重復步驟3；

步驟5：若Z(n,Q*(n),B*(n))≤Z(n,Q*(n-1),B*(n-1))且Z(n,Q*(n),B*(n))≤Z(n,Q*(n+1),B*(n+1))，則n=n*；

步驟6：將n*代入由步驟2得到的Q*(n)、B*(n)，有Q*(n*)、B*(n*)；

步驟7：將Δ1、Δ2、Δ3、Δ4、n*、Q*(n*)、B*(n*)代入式(13)，得最小成本Z(n*,Q*,B*)。

此時

其中：l=hB{E[(1-γ)2]+2E[γ]-2E[γ2]}-δ

4 算例仿真與敏感性分析

參考Hsu和Hsu[5]結合本文模型，擬定參數如下：生產率P=160000(單位/年)；需求，D=50000(單位/年)；生產準備成本，Sv=300(元/次)；每次訂購的訂貨費，SB=100(元/次)；每次運輸的固定成本，F=25(元/次)；制造商單位存儲成本，hv=2(元/單位/年)；零售商單位存儲成本，hB=5(元/單位/年)；單位篩選成本，?=0.5(元/單位)；單位缺貨成本，b=10(元/單位)；缺陷品單位質量保證成本，v=30(元/單位)；β=0.04。產品的缺陷率ζ服從均勻分布，其概率密度如下:

當β=0.04時，得E[ζ]=0.02，E[ζ2]=0.0005，E[(1-ζ)2]=0.9605。

圖2 Δ2-Δ1變化對最優訂購量與最優缺貨量的影響

在分析β、τ、ψ變化對最優策略產生的影響時，取Δ3=50000、Δ4=40000。觀察圖4、7、8可知，當Δ2>Δ1時曲線總是在最上，當Δ2>Δ1時曲線在中間，當Δ2<Δ1時曲線在最下。

由表2及圖4知，最優成本隨β的增加而增大，且呈現快速增大的趨勢；三類情形下(Δ2>Δ1、Δ2=Δ1、Δ2<Δ1)，最優成本之間的差值越來越大。隨著β的增加，Q*整體呈現增加趨勢，當β>0.16時，Δ2=Δ1、Δ2<Δ1兩類情形下的訂購量因最優供貨次數的增加，最優訂購量減少。

當ψ=0.02保持不變，τ從0.01變化到0.1時，也即一類質檢風險的概率增加時，因需要更多的合格品來滿足消費者需求，最優訂購量增加最終使得總成本增加。表4、圖5、圖6知，整體而言最優訂購量隨一類質檢風險τ的增加而增加、缺貨量隨τ的增加而減少(圖5)。因Q*增加不足抵消1-E[γ]帶來的減少，使得B*減小(圖6)。τ變化引起Z(n*,Q*,B*)的變化趨勢與β變化引起的變化(圖4)相似(圖7)。

表1 Δ1與Δ2變化對最優策略的影響

表2 β變化對最優策略的影響(τ=0 ψ=0)

表3 τ變化對最優策略的影響(β= 0.04 ψ= 0.02)

續表3 τ變化對最優策略的影響(β= 0.04 ψ= 0.02)

表4 ψ變化對最優策略的影響(β= 0.04 τ= 0.01)

圖變化對最優成本的影響

圖4 β變化對最優成本的影響

當τ=0.01保持不變，ψ從0.02變化到0.11時時，也即二類質檢風險的概率增加時，零售商不需要訂購更多的產品滿足需求，故最優訂購量隨著二類質檢風險ψ的增加而減小，最終導致總成本的減少(圖8)。由表4知，Q*、B*對ψ的變化極不敏感。

圖5 τ變化對最優訂購量的影響

圖6 τ變化對最優缺貨量的影響

圖7 τ變化對最優成本的影響

圖8 ψ變化對最優成本的影響

5 結語

本文研究在風險質檢行為下產品需求與生產率均具有模糊屬性的,由單制造商與單零售商構成的生產-庫存優化問題。文章分需求為三角模糊數，需求與生產率均為三角模糊數兩類情形，在假設生產-庫存系統允許缺貨及質檢過程存在風險的基礎上，分別建立了總成本模型，運用符號距離法進行了逆模糊化處理。通過證明和分析主要有如下結論：

(1)當需求為三角模糊數時，隨著需求不確定性(Δ2-Δ1)的增大，MQ與MW增大,即模糊情形下的最優訂貨量與最優成本相比非模糊需求情形下更大。隨著不確定性的增大，最優訂購量、最優缺貨量、最優成本近乎呈現線性增大。

(3)β的增大導致期望缺陷率增大，最優成本隨期望缺陷率的增大而增大，且呈現快速增大的趨勢。一類風險τ增大使得最優訂購量增加減，使得最優缺貨量減少，使得最優成本的變化趨勢與β變化引起最優成本的變化相似，均使得最優成本快速增加。最優訂購量隨著二類的增加而減小，最優訂購量與最優缺貨量對二類質檢風險的變化不敏感。

在本文基礎上,在后續研究中可有多種可擴展的研究方向, 比如將探討質檢風險的測量用其他的方法進行描述或者建立數學模型, 另外,本文假設制造商僅生產單一品種產品，在后續研究中可探討風險質檢條件下的制造商生產多品種產品的生產-庫存問題。