基于隨機p-魯棒優化的國家血液戰略儲備庫選址-庫存模型

周愉峰，李 志，劉思峰

(1.重慶工商大學重慶市發展信息管理工程技術研究中心，重慶 400067; 2.南京航空航天大學管理科學與工程博士后流動站，江蘇 南京 210016)

1 引言

大地震、特大恐怖襲擊等嚴重突發事件可能導致大量人員傷亡，短時間內造成血液需求驟增。血液屬于易腐物品，其采集、檢測、制備、儲存、使用等要求嚴格、無法即采即用，且難以被其他物品替代。再加上血液供應關系到傷員的生命健康安全。因而完善血液儲備體系對于災后搶救、降低社會恐慌，提高血液保障水平等方面具有重要意義[1]。

目前，我國尚無統一的國家血液戰略儲備庫體系。而以往的救災實踐又對國家層面的血液戰略儲備庫建設提出了迫切要求。因此，國家血液戰略儲備庫的建設問題在理論與實踐中亟待解決。當前，一些研究者初步設想在若干省級血液中心建立國家血液戰略儲備庫[2-3]。例如，吳衛星等[4]建議在人口密度較大的區域設立1到3個由國家衛生部控制的國家血液戰略儲備單元。鄭忠偉等[1]提出在我國6大區域建立若干個國家層級的應急血液儲備庫，并執行血液定期輪換策略。黎城等[5]提出以省為單位儲存紅細胞，構成國家血液儲備單元。沈紅艷[3]提出以全國七大軍區駐地血液中心為基礎，建設國家血液儲備庫。

上述文獻均從定性角度，探討國家血液戰略儲備庫建設的可行性和必要性等問題，缺乏定量研究。鑒于此，孟超[2]考慮調配時效和可靠性目標，研究了國家血液戰略儲備設施選址-分配問題。但孟超[2]沒有考慮庫存因素。由于大規模涉血災害的發生概率非常小，若一味追求災時血液保障時效最優而完全忽略成本因素，將產生極其高昂的日常運營成本。因此，國家血液戰略儲備庫選址應該考慮日常庫存運營成本，建立預算約束條件下的應急調配時效最優化的選址-庫存問題模型(Location-inventory problem，LIP)。此外，孟超[2]假設國家血液戰略儲備庫在現有省級血液中心基礎上設置，因而可充分利用既有資源而無需考慮設施建設成本。該假設顯然與現實不符。原因在于各省血液中心的庫存容量是基于日常需求設計的。設為國家層面的戰略儲備庫后，災時爆炸性增長的血液需求會導致血液中心儲備能力受到限制。因此，須對選定的血液中心進行改擴建處理，并在模型中考慮改擴建所涉及的固定投入成本及庫存運營成本增量。因此，本文集成庫存決策，考慮預算約束與系統及時度目標，在孟超[2]的基礎上進一步研究國家血液戰略儲備庫LIP模型。

與本研究相關的問題主要有兩類。第一類為應急設施選址問題(Facility location problem，FLP)及采供血機構選址問題。有關應急設施選址問題的研究較多，例如，張敏和張玲[6]研究了基于失效情景的應急設施選址模型。近年來，以采供血機構為背景的FLP研究也引起了研究者們的關注。Zahiri等[7-8]分別從靜態與多階段優化的角度研究了固定采血點與流動獻血車的選址-指派問題。Sha Yue和Huang Jun[9]建立了震后應急血液FLP模型。周愉峰等[10]以血站為例研究了應急物資儲備庫選址的可靠性p-中值模型。Chaiwuttisak等[11]建立了兩類采血服務設施的選址以及與醫院、血站之間的指派優化模型。Zahiri和Pishvae[12]考慮血型兼容與需求不確定性，建立了血液供應鏈網絡設計模型。但這些研究一般強調受災點滿意度或對需求的響應速度等因素，很少同時考慮設施的日常運營成本與災時響應速度，且沒有集成庫存問題。第二類為選址-庫存問題(LIP)。以往的LIP文獻大都研究的是一般物資在常規條件下的集成決策問題。例如，Sadjadi等[13]研究了三級供應鏈網絡設計中的隨機需求LIP。Zhang Zhihai和Unnikrishnan[14]研究了閉環供應鏈中的隨機需求LIP。Li Yanhui等[15]研究了閉環物流系統中帶第三方物流商的LIP。Vahdani等[16]研究了三級供應鏈網絡設計中的LIP。Diabat等[17]研究了需求與提前期均不確定的LIP。這些研究沒有考慮血液制品特性與血液保障的應急特性。有關應急設施LIP的研究較少[2]，但一些文獻基于隨機規劃[18-19]、魯棒優化[20]、可靠性優化[21]等方法研究了LIP，可為應急條件下的LIP研究提供借鑒。

由于血液產品特性以及應急血液保障特性的存在，使得國家血液戰略儲備庫選址-庫存問題需要考慮眾多因素，例如：儲備庫日常運行成本與災時響應速度的均衡、血液制品的多品種性、災后應急血液需求的多階段性、日常需求的隨機性、儲備庫建立后的設施容量限制、改擴建后的庫存狀態變更、應急條件下的協同定位等因素。上述因素在以往的應急FLP與LIP研究中沒有同時考慮，因而需在國家血液戰略儲備庫LIP問題中予以擴展研究。同時，考慮到多情景涉血災害發生的不確定性，本文引入p-魯棒,構建了一個考慮多情景、多血型、災后需求多階段、日常需求隨機、設施有容量限制及協同定位、有預算約束的國家血液戰略儲備庫LIP模型。針對模型性質，設計了求解問題的兩類亞啟發式算法：遺傳算法(Genetic algorithm，GA)與免疫優化算法(Immune optimization algorithm，IOA)，并通過仿真算例驗證了所提模型及算法的有效性。

2 國家血液戰略儲備庫選址-庫存問題的隨機p-魯棒優化模型

2.1 問題描述

設置國家血液戰略儲備庫的目的是在災時為傷員提供快速有效的血液保障。因而以災時的系統響應時效最快來體現這一目標。由于涉血災害發生的突發性和不可預見性，應急血液需求難以事先確定。為此，采用情景分析方法來描述應急需求。假設所有情景均只有一個需求點，即任何情景下只有一個省份發生大規模涉血災害。引發大量應急血液需求的突發事件主要有大規模地震與特大恐怖襲擊。在這些突發事件中，應急血液需求具有明顯的階段性，可分為緊急救援期和救援中后期兩個階段。災害發生后的72小時為緊急救援期，即兩個階段的間隔時間為3天。災時的應急血液需求與救援期所處階段密切相關。應急條件下由于需求量驟增，儲備庫容量受到限制，每種血液制品在出庫后需要進行庫存補充。由于災時采集儲備能力受限與需求增長，為了保障受災點的血液供應，允許協同定位，即允許一個需求點同時由多個儲備庫提供應急血液需求。

由于大規模涉血災害發生的概率很小，因而不能無限追求應急系統響應速度，必須考慮設施在常規條件下的日常運營成本，即考慮預算限制。為了最大限度的利用既有資源、降低成本，選擇若干省級血液中心進行改擴建，而非在新址上全新建設。因此，須考慮改擴建的固定投入成本，以及庫存狀態變化引起的日常運營成本增量。省級血液中心被選建為國家血液戰略儲備庫后，需大量增加各種血液制品的儲備量以應對將來可能發生的突發事件。由于血液只能通過人體采集，得來不易，且保管周期有限。為了避免血液制品的大量過期報廢，在平時需對庫存進行輪換更新，因而省級血液中心被選建為戰略儲備庫后，其庫存系統會發生變化。常規條件下，省級血液中心日常需求量隨機，可根據各地的歷史數據擬合成一定的概率分布。

綜上，問題可以被描述為一個考慮多情景、多階段不確定應急需求、隨機日常需求、多血型、有容量限制、有預算約束及協同定位的國家血液戰略儲備LIP。要解決的問題是：應該建立多少個儲備庫？建在哪里？如何對應急血液需求點與儲備庫進行指派？如何分配應急血液需求？如何進行日常庫存決策？

2.2 符號說明

2.2.1 參數

I為需求點集合，即每個省級行政區；i∈I；

J為候選地集合，即現有的省級血液中心j∈J；

N為應急血液需求階段集合；n∈N，n=1,2；

K為血型集合；k∈K；

tsn,n+1為相鄰應急需求階段的時間間隔；

Capjk為候選地j對k型血的儲備能力上限；

β為庫存補充系數；

L為提前期；

FB為建立國家血液儲備庫的預算；

hjk為儲備庫j中k型血的單位庫存持有成本；

c為單位運輸成本；

dij為需求點i與候選地j之間的距離；

Ti為需求點i的應急需求調配時限；

tij為需求點i與候選點j之間的應急血液調配時間，tij由運輸時間，需求點的接收耗時tp和候選點調劑準備耗時tb構成，即tij=dij/Vij+tp+tb；

χ為規劃期長度；

θ為與庫存成本相關的權因子；

λ為與輪換更新成本相關的權因子；

fj為血液中心j改擴建為國家血液戰略儲備庫的固定投入成本；

sjk為儲備庫j對k型血的安全庫存保有量；

M為一個大的正數。

2.2.2 變量

Xj表示在j地建立儲備庫時為1，否則為0

Sjk為儲備庫j中k型血的庫存定至點

Qjk1為候選地j未建儲備庫前對k型血的采血批量

Qjk2為候選地j被建為儲備庫后對k型血的采血批量

2.3 庫存成本分析

為了應對未來可能發生的應急需求，選擇對現有的若干省級血液中心進行改擴建，并固化增持一部分安全庫存sjk。此時，原有的一些庫存參數，包括儲庫存容量、安全庫存，血液采集批量等發生了變化。因而需考慮建設國家儲備庫所支付的變動成本，包括：改擴建的固定投入成本，由改擴建引發的新增庫存持有成本，新增安全庫存持有成本及新增血液輪換更新成本。

(1)選作戰略儲備庫之前的運營成本分析：

戰略儲備庫的日常庫存控制參數可表示如下：

安全庫存：

(1)

式(1)中，zjk為儲備庫j中k型血的血液保障水平系數。

訂貨點：

(2)

平均庫存：

(3)

j地未設為戰略儲備庫時的日常周轉庫存成本可以表示為：

(4)

式(4)，TPjk為j地兩次連續訂購的時間間隔：

TPjk=Qjk1/μjk,?j∈J,k∈K

(5)

假設血液本地輪換成本為v(Qjk1)，令：

v(Qjk1)=gj+ajQjk1,?j∈J,k∈K

(6)

式(6)中gj表示血液固定輪換更新成本；aj表示血液可變輪換更新成本。

對式(4)除以TPjk可以得到成本率的表達式：

(7)

對式(7)中Qjk1求導，等于0，得到：

(8)

則j地未建戰備庫前的運營成本可以表示為：

(9)

(2)選作戰略儲備庫之后的運營成本分析:

通過設置安全庫存sjk以保障災時的應急需求，為此，相應的庫存控制參數需重新定義：

安全庫存：

(10)

訂貨點：

(11)

庫存定至點：

(12)

平均庫存：

(13)

j地設為戰略儲備庫后的周轉庫存成本為：

(14)

式(14)除以TPjk2得到成本率的表達式：

+λμjkv(Qjk2)/Qjk2,?j∈J,k∈K

(15)

建為儲備庫后，災時應急需求劇增，血庫容量受限。此時，不能再用求導的方法計算最優血液采集量。為此，設置兩個約束來處理應急血液采集量Qjk2。

約束(16)用來處理最大采集量。 假設儲備庫j對k型血的最大可采集量用Qjk2max表示，則

Qjk2≤Qjk2max,?j∈J,k∈K

(16)

約束(17)為候選儲備庫的服務水平約束。假設δ為違背庫存容量約束的最大概率，SDjk(LTj)為提前期內的隨機需求量。采用機會約束規劃處理服務水平的滿足率：

(17)

在此隨機約束中，允許達到100%的服務水平。

(18)

同時，為了保證安全庫存保有量sjk也滿足儲備庫已開放的前提，將成本率的表達式(15)改寫為：

+λμjkv(Qjk2)/Qjk2,?j∈J,k∈K

(19)

因此，在j地由于建設戰略儲備庫所引起的新增成本為：

(20)

2.4 模型構建

至此，可建立LIP模型MP1：

(21)

(22)

(23)

(24)

(25)

(26)

(27)

(28)

(29)

(30)

Qjk2≤Qjk2max,?j∈J,k∈K

(31)

(32)

Xj∈{0,1},?j∈J

(33)

目標(21)表示災時的加權需求時間最短，用來表示設施網絡的系統及時度。式(22)為預算約束。約束(23)表示任意儲備庫的任意血液制品在任意階段的供應量不能超過可用的最大庫存量。約束(24)表示候選地在任意需求階段開始時的最大可用庫存量不超過安全庫存保有量與儲備能力上限。式(25)為每階段開始時最大可用庫存量的表達式。式(26)為災害情景發生時最大可用庫存量表達式；式(27)表示應急血液需求不出現短缺。約束(28)為應急調配時間限制。約束(29) 表示血液調配只能在已經設立的儲備庫進行。式(30)為非負約束。式(31)為血液采集量上限約束。約束(32)表示應急血液儲備必須在開放儲備庫進行，同時必須滿足血液保障水平。約束(33)為0-1整數變量約束。

確定情景下的隨機優化可產生目標值最優的解, 但是在特定的情景中可能表現很差[22]。為了規避這種情況，建立國家血液戰略儲備庫LIP的隨機p-魯棒優化模型。

由模型MP1可知，確定情景ω下，國家血液戰略儲備庫選址-庫存問題的模型MP2為

MP2：

(34)

(35)

(36)

(37)

(38)

(39)

(40)

(41)

(42)

MP3：

(43)

(44)

(45)

式(44)為p-魯棒優化的約束條件。式(45)表示任意需求點所有需求情景的概率之和為1。約束(22) 、約束(31) -約束(33)與模型MP1、MP2相同，約束(35)-(42)與模型MP2相同。

故性質1得證。

性質2：令Ii={j|?ij=1,?j}表示在時限約束內可對需求點i提供服務的儲備庫集合。按應急血液調配時間tij,j∈Ii升序排列Ii內的所有儲備庫，得到{j1,j2,…jr|j∈Ii}。若儲備庫已選定，則最優的分配方案為按照j1,j2,…jr的順序依次對需求點i提供血液保障。

證明：由于任意情景均不會有兩個以上省份同時發生大規模涉血災害，所以若開放儲備庫給定，則系統總成本也固定。此時，將需求點i指派給最近的持有救災庫存的儲備庫能提高供應速度。故性質2得證。

3 求解算法

MP3也為NP-hard問題，難以精確求解。為此，設計一種0-1編碼的遺傳算法對模型進行求解。遺傳算法具有并行計算能力強，收斂速度快，不易陷入局部最優等特點，對于解決復雜組合優化問題具有突出優勢。同時，為了驗證所提遺傳算法的性能，另外設計了一種免疫優化算法，并在后文對這兩種經典進化算法進行比較分析。

所設計的遺傳算法流程描述如下：

①編碼/解碼

(46)

否則：

(47)

②初始化種群

③適應度評價

由于種群中可能存在非可行解，需對不滿足約束的染色體進行懲罰。

設lost為某條非可行解染色體r的應急血液需求短缺量，則：

(48)

然后對需求短缺、預算超支、p-魯棒性三個約束進行懲罰，目標值Zr可以表示為：

(49)

式(49)中，第2項表示對血液短缺量進行懲罰，第3項表示對預算超支的懲罰,第4項表示對p-魯棒約束未滿足的懲罰。κ，π，γ分別為染色體需求未滿足、預算超支、p-魯棒約束未滿足的懲罰因子，應為較大的正數。

④選擇、交叉和變異

采用輪盤賭選擇，并采用精英保留策略將每代的最優個體保留進入下一代種群，以加快收斂。采用單點交叉和互換變異操作。

⑤終止條件

達到最大迭代代數時，停止計算并輸出結果。

4 算例分析

以中國大陸地區31個省級血液中心作為儲備庫的候選建設點，31個省級行政區為需求點。省級血液中心的日常需求分布見孟超[2]和沈紅艷[3]。在破壞性地震、大規?？植酪u擊等典型涉血災害下，災后應急血液需求具有明顯的階段性，可分為緊急救援期和救援中后期兩個階段。災害發生后的72小時為緊急救援期，即兩個階段的間隔時間為3天。臨床輸血搶救大多發生在緊急救援階段，后期需求趨緩，因而假設中后期血液需求量為緊急救援階段的70%[2]。考慮3種情景，情景1為最壞情景，情景2較嚴重，情景3程度最輕。根據中國人口危險性等級分布圖及對照表得到31個省級行政區(需求點)的相對災害發生概率[24-25]。假設“5.12”地震為四川省的最壞情景。“5.12”期間成都血液中心關鍵救援期內緊急調運的3類血液制品紅細胞、全血、血漿分別為4235.5U、504U、1780.75U。以此數據為基準設置情景1的總需求量。假設情景2和3的需求量分別為情景1的50%和20%(災害越嚴重，臨床血液需求量越大)。一般情況下，某個需求點傷員的血型比例分布大致與當地總人口的血型比例相同，因而4種血型血液制品的需求量也按照當地總人口的血型比例來分配產生。各省總人口血型比例分布、省級血液中心編號與經緯度分布見周愉峰[24]。候選地的儲備能力上限系數見孟超[2]。庫存補充系數為0.3/天[2]。需求點的應急血液接收耗時，各候選地調劑準備耗時均為3小時，應急調配時限為8小時。運輸速度為800km/h，運輸時間通過運輸距離除以運輸速度計算。運輸距離根據31個城市血液中心的經緯度進行計算[3，24]。單位運輸成本為10元/噸公里，庫存持有成本為10元/單位。任意血液制品的庫存服務水平zjk為1.96。魯棒概率參數p=0.03。

遺傳算法參數設置如下：最大迭代次數為Maxgen=500，種群規模popsize=100，交叉概率pc=0.9，變異概率pm=0.1。3個懲罰因子κ=π=γ=100000?；贛atlab?2010a平臺，在Intel Pentium(R) G3260T 2.90GHz CPU，64位操作系統，4G RAM的PC機上運行程序。根據不同預算值FB，設計6個算例，計算結果見表1(取5次運算的最優值作為最終結果)。圖1為算例5的算法收斂曲線。表2為開放儲備庫的采血批量(算例5)。圖2、圖3分別為算例5(情景1)和算例6(情景2)下的選址-分派方案。計算結果表明：①系統及時度與預算投入正相關，但及時度的改善速度隨著預算的增加而下降：在預算投入較少時，少量增加成本可以大幅度提升系統及時度；當預算增加到一定程度時，再增加投入引起的系統及時度目標改善非常有限(例如，算例5與算例6相比，成本增加14.29%，系統及時度目標改善1.53%；算例1與算例2相比，成本增加66.67%，系統及時度目標僅改善1.73%)。②少數情景下的魯棒模型對應的目標值小于確定性模型的最優值，但兩者的相對偏差較小(最大偏差≤1.08%)。因而可得出結論：雖然p-魯棒解不能在所有情景下實現最優目標值, 但適用于所有情景，與確定性模型最優值的差距很小。因而p-魯棒優化可降低不確定性風險。③血液戰略儲備庫布局呈現出西部較稀疏、中東部較稠密的特征。在庫存決策上，西部地區建立的儲備庫采血批量較小，中、東部地區儲備庫采血批量較大。主要原因可能在于西部地區地廣人稀，血液供需規模較小，導致西部地區設施點數量、指派規模、采血批量等低于中、東部地區。

為了測試遺傳算法的性能，與免疫優化算法進行比較。在此，設計兩組算例。第1組算例基于我國大陸地區31個省級血液中心與省級行政區的數據，根據不同預算值FB，設計6個算例。第2組算例為6個不同規模的模擬算例。最大規模為60×60節點算例，節點生成規則為：在當前31個節點的基礎上再生成29個隨機節點，緯度在[20, 45.77]之間隨機均勻產生，經度在[87.57,126.68]之間隨機均勻產生(其中，20，45.77分別是31個省級血液中心緯度的最小值與最大值；87.57，126.68分別是31個省級血液中心經度的最小值與最大值)。其他參數在31節點算例參數的最小值與最大值之間隨機均勻產生。其他規模算例的節點則在60節點中隨機抽取。6個不同規模算例的預算參數FB分別設為：1000000，2000000，3000000，4000000，45000000，5000000；庫存補充系數設為0.1/天。其他參數設置同上文。由表3與表4的12個算例可知，在計算精度上，遺傳算法在7個算例上的表現較好，免疫優化算法在3個算例上的表現更優，另外2個算例結果相同。而在計算效率上，遺傳算法明顯優于免疫優化算法。因此本文提出的遺傳算法具有較好的性能。

表1 6個算例的計算結果

圖1 遺傳算法收斂曲線(算例5)

表2 已選儲備庫各型血的采血批量(算例5)

圖2 算例5下的選址-分派方案(情景1)

圖3 算例6下的選址-分派方案(情景2)

此外，表3、表4的結果同樣說明了p-魯棒優化可降低不確定性風險(平均偏差≤1.12%)。

表3 遺傳算法與免疫優化算法性能對比(31節點算例)

表4 遺傳算法與免疫優化算法性能對比(規模分析)

表5 魯棒概率參數p的敏感性分析

為了進一步分析遺傳算法效率，給出算法的計算復雜度函數。設|I|、|L|、|K|、|Jo|分別表示需求點數量、情景數量、血型數量、開放儲備庫數量。則一次迭代中：初始化的算法復雜度為O(popsize)；適應度評價的算法復雜度為O(popsize×|I|×|L|×|K|×(2+|Jo|)；選擇、交叉和變異的復雜度為：O(6×1/2×popsize)；其他操作為單步，可不計。因此，一代計算過程的算法復雜度Com為：

Com=[O(popsize)+O(6×1/2×popsize)]+O(popsize×|I|×|L|×|K|×(2+|Jo|)≈O(popsize×|I|×|L|×|K|×|Jo|)

(54)

因為|Jo|的理論最大值為|I|，則復雜度可進一步簡化為：

(55)

最后對魯棒概率參數p進行敏感性分析(表5)。為了便于分析結論，取10*10節點算例進行試驗(小規模算例更易得到全局最優解)。結果表明：預算參數FB足夠大時，參數p的取值對解的影響小。反之，FB較小時，p的取值對解的影響較大。原因在于FB越小，模型限制越強，可行解空間越小，對魯棒概率參數p的限制也越強。

5 結語

國家血液戰略儲備庫的建設問題亟待解決。以應急血液保障及時度最高為目標，考慮多情景不確定需求、多血型、多階段、設施容量限制及協同定位等災時應急特性，同時考慮日常運營成本與預算約束，建立了一個國家血液戰略儲備庫LIP的隨機p-魯棒優化模型。采用非線性混合整數規劃方法描述該模型。并基于模型性質，設計了一種遺傳算法對問題進行求解。通過多組算例驗證并與免疫優化算法進行對比, 證明了所提模型和算法的有效性。本文給出了若干組不同預算值下的選址-庫存決策方案。實踐中，決策者可根據預算需求及偏好，選擇合適的選址-庫存決策方案。

研究結論及啟發是：①系統及時度與預算投入正相關，但及時度的改善速度隨著預算的增加而大幅下降。因而需要根據實際情況，權衡預算投入與系統及時度目標。在投入較小時，可以少量增加預算，以大幅度提高應急血液保障的效率；反之，若預算過大，可以考慮適當縮減投資，在應急血液保障效率損害很小的前提下大量降低成本，②雖然p-魯棒解不能在所有情景下取得最優值, 但與確定性情景模型最優值相差不大。由于國家血液儲備網絡設計問題屬于戰略性決策問題，因而必須考慮網絡構建的魯棒性，以降低不確定性風險。

本文以國家血液戰略儲備庫為研究對象，實際工作中，可對模型稍作改進，應用于同樣存在多情景多階段不確定應急需求與日常隨機需求、多產品、有容量限制及協同定位、改擴建與預算約束等特性的易腐品(藥品、糧食等)應急物資儲備庫LIP中。進一步研究可以考慮血液的新鮮度因素，擴展本文提出的LIP；也可考慮設施中斷風險等因素，對選址-庫存模型進行可靠性優化。