數學建模與高等數學教改芻議

陳峰芳

摘 要：在我國高等教育快速發展之際，作為高等教育的一個重要組成部分，高等數學的教學改革也勢在必行，培養學生應用數學的意識和能力也已成為數學教學的一個重要方面。數學建模的教學與競賽是實施素質教育的有效途徑，它既增強了學生的數學應用意識，又提高了學生運用數學知識和計算機技術分析和解決問題的能力。

關鍵詞：數學建模 教學 競賽

中圖分類號：G63 文獻標識碼：A 文章編號：1003-9082（2018）09-0-02

引言

教育在綜合國力的競爭中處于基礎地位，因此為了更好的適應現代快速發展的社會主義市場經濟的需要，跟上新世紀現代科學技術發展的腳步。江澤民總書記在全國科學大會上指出：創新能力是一個民族進步的靈魂，是國家興旺發達的不竭動力。一個沒有創新能力的民族，難以屹立于世界前列。高等教育肩負著培養數以千計的高素質專門人才和一大批拔尖創新人才的重要使命。提高高等教育質量，既是高等教育自身發展規律的需要，也是建設創新型國家構建社會主義和諧社會的需要。培養學生創新思維對提高高等教育質量起著舉足輕重的作用。培養學生獨立思考和創新實踐的能力，是新形勢下高等教育教學改革的重要內容和關鍵點[1]。數學建模的教學及競賽正是在這種條件下應運而生的，是實現這個目標的一種新的、行之有效的方法和手段。

一、數學建模競賽的起源與歷史

在1985年以前美國只有一種大學生數學競賽（簡稱Putnam普特南數學競賽），它是由美國數學協會（MAA）主持，于每年12月的第一個星期六分兩試進行，每試6題；每試各為3小時，在次年的美國數學月刊上刊出競賽小結、獎勵名單、試題及部分題解。這是一個歷史悠久、影響很大的全美大學生數學競賽，自1938年舉行第一屆競賽以來已經近50屆了。主要考核基礎知識和訓練、邏輯推理及證明的能力、思維敏捷、計算能力等。試題中很少應用題，完全不用計算機，是閉卷考試的。競賽是由各大學組隊（每隊三人）自愿報名參加的，得獎隊多為名牌大學的數學系。普特南數學競賽在吸引青年人熱愛數學從而走上數學研究的道路，鼓勵各數學系更好地培養人才方面起了很大作用，事實上一批優秀數學家就曾經是它的獲獎者。但最后為什么會產生另一個數學模型競賽的呢？根據美國一些數學家的看法主要有以下幾個因素：

1.參加普特南數學競賽是要有一定訓練的，而很多學校的參賽隊員功底差、受訓時間短、沒有經驗，因而參賽成績差，影響了積極性。

2.相當多學生對數學的實際應用較為興趣，因而對普特南數學競賽缺乏積極性。

3.為了反對現行高等數學教學中過分強調純粹性、形式方法、缺乏應用內容的傾向。

4.普特南數學競賽不用計算機。

5.對數學的看法：有人認為應用數學、計算數學、統計數學和純粹數學一樣是數學研究和數學課程教學的重要部分，它們是一個有機的整體。有人形象地把這四者表為一四面體的四個頂點（見右圖，P表示純粹數學，A表示應用數學，C表示計算數學，S表示統計數學），棱和面表示學科的“內在聯系”，例如應用線性代數、數值分析、運籌學等，而該四面體即數學的整體。

因而自1983年以來有人產生了應該有一個普特南應用數學競賽，經過論證、討論，爭取資助的過程，終于于1985年開始了第一屆數學模型競賽。1985年美國工業與應用數學學會和美國運籌學會聯合主辦了美國首屆大學生數學建模競賽，在國際上產生很大影響，現已成為國際性的一項著名賽事，每年一次。

我國于1989年首次參加這一競賽，歷屆均取得優異成績。經過數年參加MCM的結果表明。中國大學生在數學建模方面是具有競爭力和創新聯想能力的。為使這一賽事更為廣泛地展開，1990年中國工業與應用數學學會和國家教委聯合主辦了全國大學生數學建模競賽（簡稱CUMCM）。該項賽事每年9月進行。其宗旨是：創新意識、團隊精神、重在參與、公平競爭。自從創辦以來，在教育部高教司和中國工業與應用數學協會的大力支持和關心下，日益呈現出迅速發展的強盡勢頭。可以說：數學建模已經成為全國高校規模最大的課外科技活動。

二、開展數學建模競賽的意義

1.促進相關學科的交叉、融合，培養知識面寬的復合型人才

數學建模就是用數學語言描述實際現象的過程。使用數學語言描述的事物就稱為數學模型。建立數學模型的過程，是把錯綜復雜的實際問題簡化、抽象為合理的數學結構的過程。要通過調查、收集數據資料，觀察和研究實際對象的固有特征和內在規律，抓住問題的主要矛盾，建立起反映實際問題的數量關系，然后利用數學的理論和方法去分析和解決問題。這就需要深厚扎實的數學基礎、敏銳的洞察力和想象力、對實際問題的濃厚興趣和廣博的知識面。

2.在應用中培養學生應用數學知識解決問題的意識和能力

能力的培養是素質教育的重要組成部分。通過數學模型的具體實例的反復引導，讓學生不再害怕數學的抽象，而且看到數學是怎樣從生產實踐中“抽象”出“共性”的， 也就是數學“源于實踐又服務于實踐”的本質特征。利用這一過程培養學生從紛紜復雜的實際問題中抓住實質的能力（ 抽象能力和洞察力），讓學生看到什么情況下可以用數學知識解決問題及怎樣用數學知識解決問題， 在潛移黙化中逐漸培養學生應用數學知識解決問題的意識和能力， 使他們在今后的工作和學習中， 當遇到可以定量決策的問題或可以轉化為定量決策的問題時， 能自覺地求助于數學知識， 進行科學的量化分析。

3.增強了參賽人員的團隊協作能力

團隊協作能力是一個人綜合能力中很重要的一個方面，無論在學校還是在企業，完成一件任務往往需要多個人配合在一起，分工合作，群策能力，共同完成。數模競賽同樣是這樣一份工作，三名參賽隊員組成一個團隊，隊員之間要有分工、有合作，三個人中還要一個領導者負責團隊整體思路，一旦出現隊員意見不一致時，領導者作出決定。這樣的團隊保證了解決問題思路的“多樣性”和“一致性”的統一，鍛煉了團隊協作意識。

4.數模競賽的挑戰性， 能激勵創新精神

數學競賽全過程為三天三夜，團隊面對的是一個實際的科研題目，在這么短時間內，完成題目的分析、模型的建立和求解、模型的優化并且給出結論是一件工作量相當大的任務。團隊成通過查閱資料、討論方案，在一種“忘我”的工作狀態下完成競賽。正如許多參賽選手感慨的那樣：“數模競賽讓我在三天內編完了一年內不可能編出來的程序。”

三、數學建模對高等數學教改的啟示

1.高等數學的現狀及存在的主要問題

大學數學教育的根本任務就是要通過教學活動讓學生學習掌握數學的思想、方法和技巧，并能學以致用，初步具備自學所需要的更深入的數學的能力[2]。關于高等數學教育改革問題，在改革開放以來， 中國新世紀的長遠、宏大的發展目標確定以后， 教育作為國家經濟實現可持續發展偉大戰略之一， 高等數學教育必須改革已成為專家、學者和廣大教師的共識。從上世紀80 年代初開始， 這項改革已實質性地展開。例如陸慶樂教授主持的“全國工科高等數學課程改革指導委員會”做了大量而長期的富有成效的工作， 不少有識之士也作了大量有益的探索， 取得了一些成果。但總的來說， 還是說的多做的少： 局部表面的結論多， 普遍深入的成果少[3]。我國的數學教育現狀與數學的發展及整個社會對數學教育的期望和要求還很不協調. 就工科數學教育而論， 至少存在以下問題：

1.1應用數學面臨的基本矛盾

應用數學的基本使命是把純粹數學獲得的成果和方法應用于實踐，具體地說是應用于科技和社會，最終服務于人類，真正為人類社會的進步做出貢獻。純粹數學是量化的、符號化的、抽象化的東西，而客觀世界不是以量的形式存在的，不是直接以邏輯符號形式存在的，即使抽象事物也不是以數學語言反映在人們腦子里的，這就決定了純數學與純實踐之間雖然有著“邏輯”把它們聯系起來，但形式上看除此之外，似乎兩者都是矛盾的。

1.2課程結構不夠合理. 各門數學課程自成一體，相互封閉，且由于條塊多， 使學生很難對數學的整體結構有一全面的了解。同時，各門課程不能很好地銜接、補充， 造成相關內容的重復和割裂。

1.3 數學的應用性反映不足。現有的數學模式過分強調了理論性、系統性及數學的嚴謹性， 忽略了數學的應用性及數學的背景和實際意義. 且由于學時少、內容多， 師生共同趕進度， 想嚴格又嚴格不了， 只好犧牲應用、計算， 學生的學習興趣不高， 數學學習進入一種不良循環.

1.4教學方式單一。我們的教學管理者習慣于用教學大綱、教材內容和教師講課的仔細程度作為檢查教學水平的標準， 而很少把學生真正理解并掌握了多少數學知識作為尺度；我們的教師熱衷于告訴學生面面俱到的知識， 但不知如何用最少的語言啟發學生自己學習和思考的能力； 我們常常用學生的考試分數來衡量學生的學習效果和成績， 而不注意考察學生的學習過程和考核學生的認知能力。

1.5 在教學內容上過分強調了形式化和嚴格化的東西， 注重嚴密的邏輯推理和解題技巧， 而忽視了數學教育最本質的東西應是直觀化和形象化。

1.6現代技術主要是計算機和大量應用軟件的產生對傳統的數學教育形成了巨大的沖擊。一些歷史上與數學淵源較深的學科， 應用計算機即可以快捷地解決以前十分復雜的數學計算問題. 然而， 我們的數學教育（無論是內容還是方法） 卻仍然固守傳統， 與現代技術的發展極不合拍。

2.對高等數學教改的啟示

2.1轉變教育思想

為了改變過去以教師為中心、以課堂講授為主、以知識傳授為主的傳統教學模式，數學建模教學指導思想是以實驗室為基礎、以學生為中心、以問題為主線、以培養能力為目標來組織教學工作。教學過程的重點是創造一個環境去誘導學生的學習欲望、培養他們的自學能力，增強他們的數學素質和創新能力，提高他們的數學素質，強調的是獲取新知識的能力，是解決問題的過程，而不是知識與結果。參加數學建模競賽賽前培訓的同學大都是需要學習諸如數理統計、最優化、圖論、微分方程、計算方法、層次分析法，數學軟件包的使用等等“短課程”，用的學時不多，多數是啟發性地講一些基本的概念和方法，主要是靠同學們自己去學，充分調動同學們的積極性，充分發揮同學們的潛能。

2.2明確教育目標

學生的實踐能力是所有學科人才培養質量的重要標志，當然對于我們數學學科也是不例外的。“實踐能力”不只是指動手能力，它應該包括三個方面的內涵：第一是實踐思維即學生在思想方法上應該重視實踐；第二是實踐的知識，特別是實踐的專業基礎知識；第三才是學生的實際動手能力。另外。工程實踐能力還應該包括工程科研能力和解決實際工程問題的能力。建立數學模型一般要經過三個步驟：明確問題、建立模型、求解檢驗。數學模型的探索，并沒有現成的普遍適用的準則和技巧，它需要成熟的經驗見解和靈巧的簡化手段，需要合理的假設，豐富的想象，敏銳的直覺判斷。其中每一步驟的進行都富有開拓性，充分展現建模者的創造性思維水平。因此數學模型課不單是單純的知識傳授課，而是一門能力訓練課。

2.3切實理論聯系實際

數學應來源于實踐又應用于實踐，達到理論與實踐的有機結合。我國著名數學學華羅庚曾指出：“人們對數學產生枯燥無味、神秘難懂的印象，原因之一就是脫離實際。”這句話不僅指出了數學教育脫離實際的危害性，也為我們指出了數學教育改革的方向——密切聯系實際，而數學建模課程正是理論與實踐想結合的課程，其內容都是來自于日常生活、工程技術及經濟管理等領域的研究課題，而且其教學過程是師生共同參與的，學生可以在不斷的探索過程中體會到“發現問題”、“發明創造”及“獲得成功”的喜悅，這必然會提高他們學習數學的濃厚興趣和積極性。

2.4構建建模教學安排

數學是研究模式的科學，現代高等數學教育的主要任務，就是要讓受教育者能夠積極主動學到“應用數學模式”、“分析數學模式”、“創制數學模式”乃至“鑒賞數學模式”的能力和素質。因此，數學模式建構的思想與方法論，應該成為數學專業師生們共同關注的教學題材，學習這種題材也正是培養學生創新能力不可缺少的環節。開設數學建模系列課程，把數學建模的培訓逐步納入正常的教學當中，提高全校學生的數學素質·將“數學建模”作為全校性選修課（約45學時，3學分），常年開設，每周一次，每次3學時，每次講授或研究一個專題，在教學方法上，改變老師教學生學的“添鴨式”被動教學，不以教會一個定義、證明一個定理、解一道數學習題為目的，而在教學中逐步滲透數學建模的思想，逐步增加“開放型應用題”，同時著意培養學生提問題的習慣和能力，讓學生嘗試“實際問題數學化”的過程。

2.5提高師資水平

數學建模活動的開展，在一定程度上彌補了數學教師不懂工程問題和經濟問題的缺陷，使其在教學過程中能把工程問題及經濟問題和數學問題有機地結合起來，激發學生的學習興趣，提高教學效果，同時由于數學建模問題通常是很復雜的實際問題，沒有現成的方法也沒有最好的結果，對教師而言也是一大難題，這勢必會促進教師不斷學習、提高水平。

結論

在全面提倡素質教育的今天，培養學生的創新思維已成為時代賦予高等教育工作者的神圣使命。數學建模也以其獨特的優勢，在現今的教育機制中逐漸突顯出重要性。數學大師康托爾說過：“數學的本質在于它的自由。”愿我們能夠插上數學的翅膀自由地飛翔，在更多的實際應用中通過我們的智慧播撒數學的芬芳；也希望高等數學的教改之路能夠走的更好更有效。

參考文獻

[1]王國勝/白浩.倡導啟發式教學.培養學生創新思維[J]中國高等教育，2008年第8期

[2]李曉毅，徐兆棣.從數學建模競賽看數學課程改革[J] 沈陽師范大學學報，2007年1月

[3]陸 斌.對高等數學教育改革的探討[J]高校理科研究 2006年12月