立足教材夯基礎 發掘聯系識本質*
——解一道高三模考應用題有感

江蘇省蘇州市田家炳實驗高級中學 (215002)

王 耀

筆者最近給學生布置了一道應用題，后得知此題是2016年南京市高三數學二模測試題，命題人以直線和圓的位置關系為背景命制了一道應用題，試題設計精巧，內涵豐富，可以從多種角度進行研究，也很符合高考命題的宗旨——源于課本，高于課本，是一道頗具研究價值的好題.現將此題的解法和感受整理成文，與讀者交流，歡迎批評指正.

一、試題再現

圖1

如圖1，某城市有一塊半徑為1(單位：百米)的圓形景觀，圓心為C，有兩條與圓形景觀相切且互相垂直的道路，最初規劃在拐角處(圓中陰影部分)有一塊綠化地，后來有眾多市民建議在綠化地上建一條小路，便于市民快捷地往返于兩條道路，規劃部門采納了此建議，決定在綠化地中增建一條與圓C相切的小道AB.問：A，B兩點應選在何處可使得小道AB最短.

二、思維探究

1.通性通法展示

本題常見的解題思路建立平面直角坐標系，假設直線方程y=kx+b，從直線和圓相切得到k，b之間的關系式，從而得到小道AB長度的代數表達式，轉化為最值問題，即如下解法：

上述解法中，假設直線方程的斜截式進行計算，與標準答案相似.事實上，筆者認為若采用截距式，則更好一些，并且教材中也多次出現有關截距式的例題，這樣便于計算過程中選取不同的轉化方式.

前文中的兩種解法都是從設直線方程入手進行分析轉化，是學生比較喜歡選用的方法；而由題意發現，直線AB是圓上某一點處的切線，故也可從圓的角度去展開分析：

2.其它思路賞析

上面的三種常規思路都是從直線和圓的位置關系進行轉化求解，偏重于代數運算，忽視了圖形的功能，沒有發揮出圖形應有的價值，因此也可以從不同角度對圖形進行思考，首先從角度關系進行分析：

圖2

其次，還可以從邊長角度去分析，利用圓的切線長相等進行聯系轉化，即如下解法：

圖3

評注:由教材必修4中P115探究拓展第15題可知“當α+β=45°時，(1+tanα)(1+tanβ)=2”.因此，結合解法4和5可見，m=tanα，n=tanβ，同樣得到(m+1)(n+1)=2.

解法7:“由圖可知，S△OAB=S正-2S△ABC=1-AB，只要使S△OAB的面積達到最大值時，AB最小.由Rt△OAB的周長為2，設斜邊AB=c，兩直角邊為a，b，有a+b+c=2.

圖4

此外，在解法6中，求Rt△OAB的面積最小值時，也可以先進行減元轉化為一元函數的最值問題，即結合解法2的思路進行：

三、“似”題追溯

上文中，筆者針對這道應用題分別從解析幾何、平面幾何兩個角度，結合了函數思想和基本不等式等工具進行了多角度分析，充分發掘了這道試題的內在聯系.下面列舉幾道此題的類試題，供大家體會精解一道題、精通一類題的樂趣.

圖5

(1)求圓M的方程；(答案：x2+(y-1)2=1)

(2)設A(t,0),B(t+5,0)(-4≤t≤-1)，若AC,BC是圓M的切線，求△ABC面積的最小值.

(1)試用t表示出PQ的長度,并探求△CPQ的周長；

(2)求探照燈照射在正方形ABCD內部區域的面積S的最大值．

圖6

分析：試題3-1也是從直線和圓的位置關系中去研究圖形中某個量的問題，原試題給出的標準答案是以由點A(t,0),B(t+5,0)著手計算直線AM和BM的斜率，再利用二倍角公式得到直線AC和BC的斜率，從而得到其直線方程和兩線交點C，這是典型的解析幾何思路，計算量稍大．若像解法5一樣從平幾角度去分析，思路更直接，計算量也適中，詳解如下：

試題3-2和3-3(1)是一對互逆結論，并且通過上文中研究的解法4-解法6發現，文中研究的問題恰好是3-3(1)的一個特例，圖3中正方形內45°對應的△OAB的周長為定值2，圖3是利用圓的切線長關系得到，本質即為“圖6中45°所對的線段PQ=DQ+PB，且以A為圓心，AB為半徑的圓與PQ相切于點H，DQ=QH，HB=PB”，這個性質用初等幾何知識容易證明，即：

圖7

“如圖7，在正方形OA邊的延長線上取點K，使得∠FCK=∠ECB，則易知△ACK≌△ABC，因此底邊上的高CD=CF.”

若不用上述證明方法，這個結論也能通過解析法計算并得到證明：

圖8

“如圖8，設PB=m，DQ=n，由余弦定理可知

(1+m2)+(1+n2)-[(1-m)2+(1-n)2]=

四、解后感悟

(1)教材是高考命題的基本出發點

近年來的江蘇省高考數學試卷風格變化不大，試題樸實平和，大多數題目的根源來自課本，給考生似曾相識的親切感.這其中透露的信息便是要求高考復習必須堅持回歸課本，夯實基礎，熟練掌握高中基本數學知識和基本數學思想.

就本文中研究的這道應用題來說，筆者根據教材相關內容入手，從多個層面進行分析，列出了與每種解法有聯系的題源或方法出處，以此為線索將教材中相關知識點集中到一道問題中來，由點到面，展示了問題蘊涵的豐富內涵，充分體現了研究數學問題時帶來的統一美和簡潔美.

(2)教材是解題能力的根本生長點

我國著名數學教師宋慶先生認為：“學習數學的主要目的在于解題，掌握數學就意味著善于解題．”高考作為選拔性考試主要表現在解題上．而教師作為解題的示范者、引路人，首要任務就是加強解題訓練、提高學生的解題能力．

因此，回歸課本發掘聯系，是高考數學復習的一項關鍵工作，在具體教學工作中，筆者建議可以從教材上選取一些典型問題進行開發，幫助或引導學生基于教材進行微專題研究，從而實現對知識框架的進一步梳理，以及對數學思想方法的更深層次的理解，這對促進學生數學解題能力的發展將是大有裨益.