以形助數(shù)
——巧解恒成立問題

江蘇省海門市海門中學(xué) (226100)

樊陳衛(wèi)

恒成立問題是各類數(shù)學(xué)考試中的常見試題，其解法通常是通過分離參數(shù)，再轉(zhuǎn)化為某個函數(shù)的最值與含另一個代數(shù)不等式解決問題.但當(dāng)此類問題作為試卷的壓軸試題時，就會發(fā)現(xiàn)用這個思路來解題有時會碰壁，這時就需要解題者準(zhǔn)確把握題目中的條件特征，合理挖掘利用其關(guān)鍵信息，如能構(gòu)作函數(shù)的圖像，題目往往能順利解決.這里通過幾個例題加以說明.

一、構(gòu)造兩點距離

例1 已知不等式(m-n)2+(m-lnn+λ)2≥2對任意m∈R,n∈(0,+∞)恒成立，則實數(shù)λ的取值范圍為 .

分析:本題若按常規(guī)思路考慮分類參數(shù)法，則

圖1

二、變換構(gòu)造圖像

圖2

解:由已知f(x)=

圖3

三．巧用圖像“全等”

四、把握圖像特征

圖4

分離參數(shù)法是解決恒成立問題的通性通法，但如果把它當(dāng)做恒成立問題的唯一方法，有時會陷入被動局面.打仗時只有善于發(fā)現(xiàn)對方的弱點，才能攻其不備，取得勝利，解題猶如打仗，善于把握題目的關(guān)鍵特征，靈活應(yīng)用各種思想方法，才能做到游刃有余.