巧用構造法妙解高考填空題

南京師范大學教師教育學院 (210097)

林 嫻

填空題是高考數學題中重要的一部分,有的題目若按照一般的解題思路常常難以得到解決,甚至無從下手,有時利用“構造”這個巧妙的方法可能會有新的發現.筆者對一部分時常遇到的以及能夠運用構造法巧妙解決的高考填空題進行反思與歸納,發現在一些求取值范圍、求最值以及向量等問題中能夠運用構造法巧妙解題.通過這些反思歸納,希望在高考填空題中運用這些方法能夠讓解題思路更加清晰.

常用的構造法有構造函數、構造幾何圖形、構造公式與構造方程等.以下結合一些典型的例子,來談談構造法在一些題目中的具體運用.

一、巧構函數，得心應手

許多高考題中滲透著函數的思想,可通過尋找同構式與聯想求導法則等方法來構造特殊的函數,從而將復雜的數學問題轉化成函數的問題,再利用函數的一些相關性質來解決.

1.尋找同構式

2.聯想求導法則

例2 已知f(x)是定義在R上的奇函數,且f(1)=0,xf′(x)-f(x)>0(x>0),不等式f(x)>0的解集為 .

二、巧構圖形 數形結合

構造幾何圖形也是構造法中常用的方法之一.代數問題一般較抽象,難以入手,這時可利用數形結合的方法,根據題干條件構造出一些幾何圖形等來解決代數的問題.

1.構造直角三角形

圖1

2.構造圓

圖2

分析:此題按常規做法可通過求導計算,求得最小值,從而算出a的值,但是這樣計算太過于繁瑣,可通過構造圓的方法來巧妙解題.分母有理化得f(x)=

3.構造橢圓

三、巧構公式 左右逢源

有時題中的代數式可以通過配方、拼湊等方法,轉化成點與點、點與線或線與線的距離公式,從而將代數問題轉化為幾何問題,解題也就更加輕松快捷.

四、巧構方程 意外收獲

求解一些不等式問題,有時可能不知如何利用不等式的相關性質求解最值.這時構造方程就是一條新的路徑,構造一元二次方程,再利用一元二次方程根的判別式即可求出.

五、結語

由上可見,解決高考數學填空題時可以利用構造法達到巧妙解題的效果,從而將一些“無從下手”的題轉化成熟悉的問題,從而使得解題更加得心應手.但是數學解題并不總是有固定的模式,有時構造出的“成品”的“優”與“劣”會影響解題的結果,故應根據實際情形進行變通,找到更簡便、更快捷的解題方法.