再談“錯位相減法”*

安徽省合肥市第一中學 (230601)

刁海寶 時英雄

在高中數列的學習中，求和是最常見的問題，也可以說是數列題的精髓問題，其中一些求和方法比如：公式法、倒序相加法、錯位相減法、裂項相消法、并項求和法等常用的方法需要老師在平時的教學中講授透徹，如什么時候用？怎么用？易錯點在哪？而學生在學習的過程中也要通過演練強化對方法的理解，使用的技巧等，這里筆者主要通過幾例針對“錯位相減法”的求和方法談談數列的教學，拋磚引玉，以饗讀者.

1.使用錯位相減法需注意的兩點

錯位相減法主要是針對差比型數列的求和，差比型數列即為等差數列的項與等比數列的項對應相乘后構成的一個新數列，這種類型的數列在平時的教學及高考中都經常遇到，一般在解決此類問題時，將數列的前n項和寫成展開形式，然后兩邊同乘以等比數列的公比或者是公比的倒數，接著錯開位置后相減再利用等比數列求和公式整理即可，錯位相減法關鍵是兩點，一是位置一定要錯開，二是后面等比數列求和化簡，這種方法簡單易上手，難點就是后面的化簡整理容易出錯.

例1 設等差數列{an}的前n項和為Sn，且S4=4S2，a2n=2an+1.

(1)求數列{an}的通項公式;

解：(1)易得an=2n-1,n∈N*.

2.錯位相減法的公式計算方法

對于差比型數列求和，利用錯位相減法將其一般化得到如下結論：

結論1[1]設數列{an}的通項公式為an=(an+b)qn-1(q≠1)則其前n項和Sn具有形式：

Sn=(An+B)qn+C，其中參數A,B,C滿足：A(q-1)=a,B(q-1)+A=b,C=-B.

3.錯位相減法用途的推廣

例2 已知數列{an}的通項公式為an=n2·3n，求其前n項和Sn.

解：令Sn=12·31+22·32+32·33+…+n2·3n,3Sn=12·32+22·33+…+(n-1)2·3n+n2·3n+1,相減得-2Sn=1·31+3·32+5·33+…+(2n-1)·3n-n2·3n+1(*)

若數列{an}的通項公式an=f(n)qn(q≠0,q≠1)，其中f(n)=a0nm+a1nm-1+…+am-1n+am，a0,a1,…,am及m均為常數且m∈N*，求{an}的前n項和，可以結合二項式定理，通過m次錯位相減將關于f(n)的多項式次數降次再轉化為下一個錯位相減，最終使問題獲解，可見，錯位相減法的實質就是降次、降次再降次，轉化、轉化再轉化[2].

4.錯位相減法的姊妹篇——錯位相加法

解：Sn=a1+5a2+52a3+…+5n-1an(1),

5.結束語

錯位相減法是一個非常常見的求和方法，但在平時的教學中發現學生在用這個求和方法時經常算不出正確的答案，究其原因就是在使用時有的沒有錯位，有的在乘以公比或公比的倒數時乘的位置不對，有的同學忘了最后一項是減號等等，所以在教學時一定要讓學生在解答時規范，按步驟來，理解什么時候用錯位相減法，為什么可以這么做，本文將錯位相減法加以類比、歸納，將其用途加以推廣，又給出一般性的結論來幫助學生得出正確的結果，讓學生在認識，了解，理解的基礎上掌握此技能，并能將其延伸推廣，所以在平時的教學中教師不光要把基本的知識傳授給學生，如果自己能研究更深層次的話，高屋建瓴，對學生來說是大有裨益的.