例談數學解答題的優解策略

山東省壽光中學 (262704)

李元卓

在平時練習或考試中，常常遇到一些有難度或者有疑惑的題目，尤其是解答題，作為考試命題的主要題型，往往具有一定的難度和較大的運算量，有時難免陷入困境.能否迅速找到恰當的方法，及時突破困境，直接影響著解題速度和成績的高低.為此我們將從以下幾個方面談談如何突破困境，及時找到最優解法，希望對大家有所啟示.

一、研究題目圖形，探求解題方法

圖1

有些數學題是通過圖形給出的.解決這類問題，應該仔細研究題目圖形，從圖形的特點入手，尋找解題的突破口.

圖2

二、觀察題目結構，實現解題突破

例2 已知f(x)=x2-x+c的定義域為(0,1)，x1,x2∈(0,1)且x1≠x2,證明|f(x1)-f(x2)|<|x1-x2|.

一般來說形如|f(x1)-f(x2)|≤m|x1-x2|(m>0)型的不等式問題都可以利用上述方法求解.

三、著眼數量關系，尋求恰當方法

有些題目，乍看比較繁雜，一時難以入手.但如果仔細分析題目所給出的數值或變量，找出數量之間存在的一些特定的關系，就可以找到合適的解題方法.

四、正面思路受阻，逆向思維突破

有些題目從正面解題可能比較麻煩，甚至難以找到解題思路，這時不妨從逆向入手，尋找解決問題的思路和方法.

實事上，很多形如f(n)>g(n)型不等式的證明問題都可利用上述方法求解.

五、變換問題角度，突破解題困境

有些數學題目，或者難以解決，或者解題過程繁雜，按照常規思路容易陷入解題困境.但若變換一下問題角度，則可能會變得容易一些.

圖3

分析：根據f(x)=h(x),得x3-6x2+9x-2=λ.令φ(x)=x3-6x2+9x-2，則φ′(x)=3x2-12x+9，由φ′(x)=0得x1=1，x2=3，所以φ(x)極大值=φ(1)=2，φ(x)極小值=φ(3)=-2，結合如圖3可知當-2<λ<2時f(x)=h(x)有三解.于是問題轉化成為當λ∈(-2,2)時，g(x)<0恒成立，求x的范圍.

以下再按常規思路不易解決，但可以變換一下問題角度，把λ視為主變量，x為參數，將問題轉化為關于λ的函數g(λ)=(log3x-1)λ+(log3x-1)2，當λ∈(-2,2)時恒有g(λ)<0.因g(λ)的圖像為一直線，于是g(±2)<0，即

六、挖掘隱含條件，優化解題方法

有些題目的條件中，隱含著便于解決問題的某些條件或方法暗示，若能從中找出來，對問題的解決會十分有利.

例6 已知x1,x2是關于x的二次方程x2+ax+b=0有兩個實根，且|x1|<2，|x2|<2,求證

2|a|<4+b.

分析：解決此題關鍵是能從|x1|≤2，|x2|≤2中挖掘出“函數f(x)=x2+ax+b的兩個零點都落在(-2,2)之間”這一條件，利用一元二次函數零點的分布來解決，其他任何解法都非常繁瑣.

七、兩頭分別入手，中間步步聯系

有些給條件的求值或證明問題，在條件和結論中都可能存在很多信息，這時可以根據已掌握的知識，將條件和結論盡情發散出去，條件可能派生出若干結論，結論也可呈現多種形式，只要兩者能夠聯系起來，問題就能得到解決.

再將結論發散開來：

從上述分析可以看到，從條件式入手推出了多個不同的結論.將結論式變形又得到了多種形式，只要從①②③等結論中找出與(1)(2)(3)…等形式匹配的式子，問題就得以解決.匹配的式子越多，題目的解法也就越多.就本例而言，可以找出的解法太多了，請同學們自己選擇適當的方法求解.

八、利用等價轉化，巧妙化歸遷移

我們經常會遇到一些求解參數范圍的題目，有的甚至含有多個參數，這類問題就要不斷地將知識進行遷移，逐步化歸成我們熟悉或易于解決的問題.

例8 已知函數f(x)=lnx-ax2-a+2，其中a∈R，若存在x0∈(0,1]，使得對任意的a∈(-2,0]不等式mea+f(x0)>0(其中e為自然對數的底數)都成立，求實數m的范圍.

從以上幾例可以看出，及時找到解題突破口，選取適當的解題方法，對于提高解題速度，優化解題過程，提高數學成績，無疑是十分有益的.因此，在平時的學習中，我們應該積極探索歸納解題規律，熟悉必要的技巧，不斷提高自己分析問題和解決問題的能力.