齊次化方法解題舉例

寧夏彭陽縣第四中學(xué) (756599)

李艷玲

齊次化就是利用問題所給定的條件將一個(gè)整式的各項(xiàng)化為齊次式或?qū)⒁粋€(gè)分式的分子、分母化成相同的次數(shù).齊次化的方法在證明不等式、代數(shù)式求值及解析幾何中都有廣泛的應(yīng)用，下面舉幾例予以展示.

例1 已知f(x)=lnx-x，若f(x1)=f(x2)(x1≠x2)，證明：x1+x2>2.

例2 已知正實(shí)數(shù)x、y滿足x3+2y3=x-y，求使得x2+ky2≤1恒成立的k的取值范圍.

分析:式子x2+ky2≤1的左右兩邊不是關(guān)于x,y的齊次式，我們可以利用條件x3+2y3=x-y將不等式左右兩邊齊次化.

分析:題目涉及到的字母較多，不易入手，但從已知條件的結(jié)構(gòu)出發(fā)，我們可以考慮用齊次化的方法求解.

(1)求橢圓C的方程；

(2)設(shè)直線l不經(jīng)過P2點(diǎn)且與C相交于A、B兩點(diǎn)，若直線P2A與直線P2B的斜率之和為-1，證明直線l過定點(diǎn).(2017年全國(guó)高考理卷Ⅰ第20題)

評(píng)析:本題的第(2)問,如果采用其它方法求解，計(jì)算量大、費(fèi)時(shí)費(fèi)力、比較煩瑣，但用齊次化的方法求解步驟簡(jiǎn)短，思路清晰，解答過程干脆利落.

評(píng)析:本題的解法很多，相比之下構(gòu)造齊次化的方法尤為簡(jiǎn)單，因而在解析幾何中，涉及到已知曲線上點(diǎn)的斜率之積或斜率之和等問題時(shí)，我們可以考慮用齊次化的方法進(jìn)行簡(jiǎn)解.