一類三角背景多變量最值問題的切入探究*

江蘇省海門中學(xué) (226100)

何振華

多變量最值問題一直是高考、模考的熱點問題之一，2014、2016、2018年江蘇高考都以三角背景的形式呈現(xiàn)，新意十足，考查學(xué)生靈活運用知識的能力，但學(xué)生往往覺得無從下手，究其原因是找不到這類問題的切入點.本文欲與大家一起探究如何從學(xué)生的基礎(chǔ)出發(fā)發(fā)現(xiàn)這類最值問題的切入點.

例1 (2016江蘇高考14題)在銳角三角形ABC中，sinA=2sinBsinC，則tanAtanBtanC的最小值是 ．

分析：由于條件是弦的形式而結(jié)論是正切的形式，解題難點在于如何將條件和結(jié)論構(gòu)建橋梁，從學(xué)生的角度自然想到統(tǒng)一函數(shù)名，弦切互化.

切入方式一：弦化切，構(gòu)建函數(shù)

由條件sinA=2sinBsinC切入，弦化切，構(gòu)建函數(shù).

切入方式二：切化弦，構(gòu)建函數(shù)

由結(jié)論tanAtanBtanC切入，切化弦，構(gòu)建函數(shù).

切入方式三：三角恒等式，模型處理

由銳角三角形聯(lián)想到恒等式tanAtanBtanC=tanA+tanB+tanC切入,構(gòu)建不等式模型.

解3：由斜三角形恒等式tanAtanBtanC=tanA+tanB+tanC,再結(jié)合tanB+tanC=2tanBtanC，

得tanAtanBtanC=tanA+2tanBtanC≥

我們在這基礎(chǔ)上更進一步，就可以發(fā)現(xiàn)其本質(zhì)：

由于tanAtanBtanC=tanA+tanB+tanC，結(jié)合tanB+tanC=2tanBtanC得tanAtanBtanC=tanA+2tanBtanC，令tanA=x,tanBtanC=y，則問題轉(zhuǎn)化為已知xy=x+2y，求xy的最小值.

哦，原來它是一個很簡單的多變量問題，只不過命題者給這個問題加了一個三角背景.

例2 (2018模擬改編)在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a,b,c，已知sinA+sinB+λsinAsinB=0，且a+b=2c，則實數(shù)λ的最大值是 ．

由于條件是既有邊又有角的形式，從學(xué)生的角度自然想到統(tǒng)一邊角，分離參數(shù)得

由于分子、分母不是齊次型，所以想到同乘sinC，用正弦定理統(tǒng)一邊角.

切入方式四：邊角互化，構(gòu)建函數(shù)

這類多變量最值問題可以利用正弦、余弦定理邊角互化，構(gòu)建函數(shù)求解.

切入方式五：幾何特征，構(gòu)建軌跡

三角形作為基本幾何圖形，具有幾何特性，因此這類多變量最值問題還可以結(jié)合幾何特性，動態(tài)探究，構(gòu)建軌跡求解.

切入方式六：化整為零，利用不等式性質(zhì)求解

這類多變量最值問題有時可以化整為零，局部探究，再結(jié)合不等式性質(zhì)求解.

切入方式七：整體探究，不等式模型處理

這類多變量最值問題可以從整體探究，構(gòu)建模型突破.

總之，由于三角背景的多變量最值問題的實質(zhì)是以三角為載體考察多變量最值問題，所以我們只需通過弦切互化、邊角互化，借助三角恒等式，幾何特征，整體和局部兩個角度探究將條件化歸，往往可以發(fā)現(xiàn)問題的切入點，從而掌握這類問題的求解策略.