用坐標法研究一類不定三角形問題

廣東省惠州市實驗中學 (516008)

肖志向

近幾年高考試題和模擬試題中頻繁出現(xiàn)一類解三角形問題——已知三角形的一邊及對角求三角形有關元素(邊長、周長及面積等)的最值.這類問題主要考查正(余)弦定理、三角恒等變換及基本不等式等相關知識和學生的分析思維、運算能力.

眾所周知，只知道三角形一邊及對角，這樣的三角形是不定三角形.這類解三角形最值問題都是以不定三角形為基礎，結合能力考查要求來命制的，不定三角形是根本.對此，筆者用坐標法研究了這類不定三角形并探究了相關元素的最值.

一、問題

已知AB=2m，C=θ(0<θ<π)，試確定點C的軌跡.

一)用坐標法探究不定三角形動點的軌跡，挖掘其幾何背景

圖1

圖2 圖3

綜合以上可知：平面內(nèi)與兩定點所成的角為定值的點的軌跡是過這三個點的圓(即外接圓)上定弦所對應的一段弧.這類不定三角形可看成為某一定圓(其直徑等于該邊與對角正弦的比值)內(nèi)接三角形，已知邊是圓內(nèi)一條定弦，動點為該定弦所對弧上一動點.

二)探究這類不定三角形相關元素的最值結論

二、用坐標法解這類不定三角形為題根的習題

一)直接利用這類不定三角形的最值結論，解決三角形的有關最值問題

(1)求角C；

二)用坐標法解答不定三角形為基礎的變式題，求平面圖形相關最值問題

圖4

成立當且僅當點A在圓M優(yōu)弧上且AC經(jīng)過圓心M，故對角線AC的最大值為27.

圖5

例6 已知在ΔABC中，BC=6，AB=2AC，則ΔABC面積最大時，sinA的值為 .