關(guān)于正測(cè)度集上無(wú)界發(fā)散的Fourier級(jí)數(shù)

羅仕樂(lè)，郭星東

（韶關(guān)學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，廣東 韶關(guān)512005）

Fourier級(jí)數(shù)［1-2］在分析學(xué)中有著重要的地位，F(xiàn)ourier變換［3-5］在物理學(xué)、數(shù)論、組合數(shù)學(xué)、信號(hào)處理、概率、統(tǒng)計(jì)、密碼學(xué)、聲學(xué)、光學(xué)等領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用［6-7］.Fourier級(jí)數(shù)展開(kāi)的主要思想是用相互正交的正弦函數(shù)和余弦函數(shù)作為基函數(shù)去表示具有周期性的一般函數(shù).對(duì)于Fourier級(jí)數(shù)中Fourier系數(shù)的表示形式，一般是在Riemann積分［8］和Lebesgue積分［1］兩種不同意義下給出的，由于積分意義的不同，會(huì)導(dǎo)致所得到Fourier展開(kāi)的相關(guān)性質(zhì)有所不同，和Riemann積分對(duì)比，Lebesgue積分定義的Fourier級(jí)數(shù)有著更好的性質(zhì)以及更廣泛的應(yīng)用.

對(duì)于Lebesgue可積函數(shù)的Fourier級(jí)數(shù)收斂判別，已經(jīng)有了很多已知的結(jié)果，比如經(jīng)典的Jordan判別法、Dini判別法、Young判別法等［4-6］.根據(jù)這些判別法，滿(mǎn)足一定條件下的函數(shù)的Fourier級(jí)數(shù)是收斂的.為了更好地探索Fourier級(jí)數(shù)的收斂行為，筆者考慮另一個(gè)極端也就是發(fā)散情形，探索正測(cè)度集上幾乎處處無(wú)界的Fourier級(jí)數(shù)存在性，豐富Fourier級(jí)數(shù)收斂性的相關(guān)研究.

在后續(xù)討論中，用L(E)表示E上的Lebesgue可積函數(shù)空間，U(x,δ)表示以x為心、δ為半徑的開(kāi)區(qū)間，表示集合E的閉包，m(E)表示集合E的Lebesgue測(cè)度，O(α)表示與α的同階無(wú)窮大，其中α→∞.

引理［1］（Riemann-Lebesgue）設(shè) f(x)∈L［a,b］，則：

定理 設(shè)E是有界閉集，且mE>0，則存在函數(shù)f∈L(E)，使得f的Fourier級(jí)數(shù)在E上幾乎處處無(wú)界并且發(fā)散.

證 為了以下Fourier級(jí)數(shù)敘述的便利，不失一般性，可設(shè)E=［0，2π］.p2,p3,…,pn是奇數(shù)，記：

定義函數(shù)：

顯然，fn(x)是E上的非負(fù)有界變差函數(shù)，并且有

這表明f(x)的Fourier級(jí)數(shù)在［0,2π］上幾乎處處無(wú)界并且發(fā)散.證畢.

本文構(gòu)造了一個(gè)正測(cè)度集上幾乎處處無(wú)界并且發(fā)散的Fourier級(jí)數(shù)，從新的角度討論了Fourier級(jí)數(shù)的收斂行為，得到的結(jié)果豐富了Lebesgue可積函數(shù)的Fourier級(jí)數(shù)收斂結(jié)果.