數形結合思想的應用

尹麗

摘 要：數與形是數學中兩個最古老、最基本的研究對象。它們在一定條件下可以相互轉化。數形結合就是把抽象的數學語言、數量關系與直觀的幾何圖形、位置關系結合起來，通過“以形助數”或“以數解形”，將抽象思維與形象思維結合起來，從而使復雜問題簡單化，抽象問題具體化，達到優化解題途徑的目的。

關鍵詞：數形結合；相互轉化；優化解題

解選擇題和填空題時，數形結合有直觀、簡單、快捷等特點。而在解答題中，考慮到推理論證的嚴密性，圖形只是輔助手段，最終要通過“數”寫出完整的解答過程。

一、在集中應用數形結合思想

七、在幾何概型中應用數形結合思想

例7：如圖7所示，甲、乙相約7：00-8：00在某地會面，假定每人在這段時間內的每個時刻到達會面地點的可能性是相同的，先到者等20分鐘后便離去，則兩人能會面的概率為多少？

解：在平面上建立平面直角坐標系，直線x=60，直線y=60，x軸，y軸圍成一個正方形區域G。設甲7時x分到達會面地點，乙7時y分到達會面地點，這個結果與平面上的點（x，y）對應，于是試驗的所有可能結果就與G中的所有點一一對應，由題意知，每一個試驗結果出現的可能性是相同的，甲、乙兩人能會面，當且僅當他們到達會面地點的時間相差不超過20分鐘，即|y-x|≤20，x-20≤y≤x+20，因此，圖中的陰影區域g就表示“甲、乙能會面”。容易求得g的面積為602-402=2000，G的面積為3600，由幾何概型的概率計算公式，“甲、乙能會面”的概率P（甲乙能會面）=g的面積/G的面積=5/9。

數形結合思想的實質是將抽象的數學語言與直觀的圖像結合起來，其關鍵是代數問題與圖形之間的相互轉化。數形結合可以使代數問題幾何化，幾何問題代數化。在運用數形結合思想分析和解決問題時，要注意以下三點：

第一，必須弄清楚一些概念和運算的幾何意義以及曲線的代數特征，對數學題目中的條件和結論既分析其幾何意義，又分析其代數意義。

第二，恰當設參，建立關系，由數思形，以形想數，做好數形轉化。

第三，正確確定參數的取值范圍。

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