異面直線計數問題例說

薛振鴻

摘 要：根據異面直線的定義：不同在任何一個平面內的兩條直線叫作異面直線（skew lines）。它的特點是既不平行，也不相交。其常用判定方法有：①定義法：由定義判定兩條直線永遠不可能在同一平面內。②判定定理：經過平面外一點和平面內一點的直線和平面內不經過該點的直線是異面直線。

關鍵詞：異面直線；異面直線對；列舉法；計數原理；分類討論

一、列舉法

當空間直線數比較少，構成的異面直線對數也較少，這時我們根據異面直線的定義或異面直線判定定理，一一列計數。

例1：求證：任何一個空間四面體的六條棱所在直線中有且只有3對異面直線。

證明：如圖1：設空間四面體為P-ABC，先考慮與直線PA共面的直線，因為直線PA與直線PB、PC、AB、AC相互之間都有交點，而兩條相交直線確定一個平面，所以它們是共面的。直線PA與直線BC沒有交點（若直線PA與直線BC有交點，直線PA與直線BC共面，這與空間四面體P-ABC矛盾），顯然點P 平面ABC，點A∈平面ABC，直線BC 平面ABC，點A 直線BC，根據異面直線的判定定理，直線PA與直線BC是異面的。

二、計數原理

由于直線對數相對較多，不便于一一列舉計數，我們可以用排列組合中計數原理，從而減少列舉的過程。

例2：已知直線a，b為異面直線，直線a上有4個不同的點，直線b上有5個不同的點，求這9個點所連成的線段所在的直線中構成異面直線的對數？

解：設直線a上的4點，不妨設為A、B、C、D，直線b上的5點，不妨設為E、F、G、H、I，在直線a上的4點中任取2點有C42=6共6種選擇，假設選擇A、B；在直線b上的5點中任取2點有C52=10種選擇假設選擇E、F；這時空間4個點A、B、E、F，形成空間四面體A-BEF， 由例1知AE、BF為一對異面直線；AF、BE為一對異面直線；AB、EF即為直線a、直線b單獨考慮；所以不考慮直線a、直線b，一共有2×C42×C52=120（對）異面直線，直線a，b也是一對，一共有120+1=121（對）異面直線。

三、分類討論

當直線數比較多，直線對也相對較多，同時直線位置存在明顯個性特征時，我們將這類問題依據個性特征分成幾類解決。

例3：正方體共有8個頂點，以這8個頂點為線段的端點，求這些線段所在的直線構成異面直線的對數？

1.敘述性分類

解：如圖2，第一類：考慮體對角線所在直線。

分析：正方體共有4條體對角線分別為直線AC1、A1C、BD1、B1D，因為任意兩條體對角線是相交；所以它們兩兩是共面的。只要考慮體對角線與面對角線，體對角線與棱。

假設選擇直線AC1，①直線AC1與面對角線所在的直線BD、B1D1、B1C、A1D、A1B、D1C是異面的有6對。體對角線有4條，所以這樣的異面直線有4×6=24（對）。②直線A1C與棱所在的直線BC、A1D1、CD、A1B1、BB1、DD1是異面有6對，同樣體對角線有4條，所以這樣的異面直線有4×6=24（對）。所以與體對角線異面的共有24+24=48（對）。

2.列表分類

根據相關的條件，用表格的形式列出，一目了然。

參考文獻：

[1]代修勇.新課標全國卷（理科）高考數學試題的研究[D].哈爾濱：哈爾濱師范大學，2016.

[2]欒麗娜.高中數學立體幾何高考試題分析與教學策略研究[D].開封：河南大學，2015.