小升初解題策略教學新探

何少平

摘 要：隨著中學招生方式的改變，近年來，各地小升初數學試題的靈活度提高了，導致常規的解題方法難以應對，學生紛紛跑到各種培訓班去拓展提升，這也倒逼教師著手課外習題的研究。文章作者結合六年級的數學教學，淺談解題教學的一些新做法。

關鍵詞：審題；新角度；作圖

一、審題要有新角度

審題是將題目中的每個條件解析成若干算式、方程或函數。客觀地說，對于嚴重變形、中學下放、奧數轉型而來的考題，常規的分析法、綜合法根本審不出什么所以然，得換一個角度審視問題與條件。

一是審題要通過文字表達了解到言外之意。如：甲乙丙丁合作修了一段路，甲修了其他三隊的—，乙修了其他三隊的—，丙修了其他三隊的—，丁修了69米，公路全長多少米？題中三個分數對應的“1”各不相同不能直接用，得引導學生借助線段圖，通過“甲修了其他三隊的—”的字面意思理解到“甲實際修了全長的—”這一重要的言外之意，數量關系才能明朗。又如：三個班去采樹種，其中12千克不是一班采的，14千克不是二班采的，18千克不是三班采的，三個班各采了多少千克？根據題意只能列出“一班+二班≠12”等三道不中用的不等式，因此，得引導學生透過字面“12千克不是一班采的”領會到“不是一班的就是二班加三班采的”，從而列出“二班+三班=12”這樣的有效等式。言外之意有時隱藏在字里行間，要透過本義進行引申和擴展；有時蘊藏在生活常識中，得聯系語境轉換表達方式。

二是審題要避免慣性思維走出邏輯誤區。如：甲乙丙丁四個數各不相等，如果甲增加2、乙減少2、丙擴大2倍、丁縮小到原來的—，則四個數相等，且它們的和是360，它們原來各是多少？如果從習慣角度出發就會列出360÷4=90，然后倒推得出88、92、45和180，而這顯然不符合“和是360”的題意。這正是犯了“總數除以份數就等于平均數”的習慣性邏輯錯誤。為了走出誤區，教學時可以用字母a代替數去引導學生審題：a加2與a減2抵消后是得2a，而a除以2成了—a即0.5a，而它乘以2卻得2a，四個數合起來是4.5a而不是4a！然后用算式360÷4.5=80求出a，然后再倒推得到四個數分別為78、82、40和160，這就符合題意了。

像這種因思維習慣產生邏輯錯亂的例子還有很多。如田字格中，甲乙丙的面積分別是1、2、3，丁的面積是多少？學生很容易根據慣性錯填4，而忽略了面積與寬度的倍比關系。

三是審題要有聯系發展的目光，比如，按照規律排列的一串數1、2、4、7、11、16、22……這串數字第2017個是（ ）。如果按照差變化規律去推算，學生幾乎無法理解，如果審題時能聯想到相似的一串數1、3、6、10、15……把題目中的數字分別減去1后，就容易找出任何一項的數量與它的序數存在等差數列和的關系，從而列出（1+2016）×2016÷2+1。審題是解題的第一要務，對于非常規的題目，審理題意時也要因變而變，采用另類的方法方可湊效。

二、作圖要有新招術

線段圖能讓抽象信息直觀呈現，是解決難題最重要的輔助手段。但僅僅掌握諸如畫線圖“左端要對齊、從小數畫起”之類的“大路貨”技能是不夠的，還要學習具有針對性的新式作圖策略。

一是可以把幾條線圖合并成一條以便分析，比如：甲對乙說，當我的年齡是你現在的年齡時，你才4歲。乙對甲說，當我的年齡是你現在的年齡時，你61歲了。問甲現在幾歲？如果用兩條線段表示兩者歲數，用拉斜線表示年齡差，學生看圖會眼花。如果改用在同一條時間軸上用等長表示年齡差，再用兩次轉換自然地畫出甲乙兩人從4歲到61歲存在的年齡差是61-4=57（歲），從而算出甲乙的年齡差是57÷3=19（歲），就不難算出甲的年齡是61-19=42（歲）。

二是可以把一條線圖變化出便于比較的復式線圖，如：一捆電線剪去全長的—后再接上6米，這時的電線比原來的長40%。這根電線原來有多長？先用粗線條表示整體，再在它上方用虛線標出縮短的—后的位置，又在粗線下方縮短處接著添接上增長的40%，參照粗線整體確定增加部分的結束位置，這樣，上、中、下相對照就容易找出6米所對應的分率了，像和倍、差倍問題都可以用這種方法作圖。

三是作圖可借助不同符號區分不同的標準量，如一批大米，第一天用去總數的—多16千克，第二天用去余下的—少4千克，還剩下260千克，這批大米原來有多少千克？作圖時用重點號“·”先標記好—，再用三角號“?”標記剩余的三等份，然后看著符號依次倒推，就不會混淆。像“第一次用去總數的幾分之幾又多少、第二次再用去剩下的幾分之幾又多少、還剩下多少求總數”之類的題目，用這種方法作圖簡直就是不二法門。同時，作圖可以把隱藏的條件標示出來。如：甲乙相向而行，當相遇時甲走了全長的—，當乙到終點時，甲離終點還有120米，求兩地距離。這里畫圖要推想到相遇時乙走了—，甚至要聯想到乙的速度是甲的3倍，進而想到當乙再走—到終點時甲又走了—的—即—，并在線圖上標出這些隱藏條件，就不難列出算式120÷（1-—-—）。

四是對于看上去別扭的圖形，還可以進行標準化處理。如一個直角邊分別為8厘米和6厘米的直角三角形的直角頂點與一個邊長是6厘米的正方形中心點重合（陰影不規則），求不重疊部分三角形陰影的面積。學生對這種非典型不規則圖形面積無從下手。這時，教師就要指導學生將其中一個圖形旋轉到特定位置（陰影是矩形），學生一眼看出陰影正好是邊長3厘米的正方形。許多圖形重疊問題（像等積變形）都可以在滿足題目要求的情況下將圖形作旋轉平移（如頂點的平移）等特殊處理，使不確定問題明朗化。作圖還可以使用特殊標示的方法，如：甲乙丙的書本數各不相同，如果甲給乙12本，乙給丙27本，丙給甲34本，他們每人就都有100本書了，原來他們各有多少本？如果把甲乙丙三種量呈品字形排列，用箭頭標出數量出入情況，然后進行反向倒推，要比列表法清晰得多。像求復雜化的“凹凸”類圖形的周長，如果用切割移拼的方法，就連教師都難免看得頭暈眼花，但是，如果就在原圖上用箭頭標出“螞蟻”的爬行方向，然后根據“標向法”所提示的“左右相等、上下相等”的方法列式，理解起來就不費吹灰之力。作這些圖能巧妙揭示數量關系，在解題中起到四兩撥千斤的效果。

三、假設要有新技巧

方程能簡明地表達數量關系，但設未知數是個技術活，教學要傳授設數的技術要領。

首先，設一種數量能得到幾種相關的數量是一種學生容易忽視的技巧。如：甲乙兩班共90人，甲班人數的—與乙班人數的—共有13人，兩個班各有多少人？假設甲班有X人，一定要聯想到乙班有（90-X）人；其次，直接用文字代替未知數能降低解題難度。如：一件工程，甲乙合作36天完成，乙丙合作45天完成，甲丙合作60天，甲單獨做要幾天完成？（注意：直接設獨立完成的天數會導致邏輯錯誤），假設甲乙丙的工效分別為甲、乙、丙，列成文字方程采用等式疊加對比的方法，學生就能輕易完成，甲+乙=—，乙+丙=— ——甲+丙=— ，推出（甲+乙+丙）2=—，因經過對比得出甲的工效為—-—=—，得出甲單獨完成的時間為90天。

再次，教師可以設某些數為具體的數。對于一般的文字敘述的概念填空分數題，可以將標準量設為1。如：長方形的長增加20%，寬減少20%，面積會怎樣。假設長、寬為1來推算就很方便。同樣，對百分數如溶液濃度之類的問題，可以設溶液質量為100，這也是一種方法。如：在濃度為40%的糖水中加入了30克水，濃度變為30%，再加入多少克糖濃度可以變回40%？這里假設糖水總共有100克，就可能推出糖與水各有40克和60克，糖與水的比是2：3，加了30克的水，按照比例，配上20克的糖就行了。這里設具體數，就避免了因為設總數X克造成方程復雜化的弊端。

除了設為特殊的“1”和“100”，有時還可以結合已知數量設某個量為具體數。如：一艘船順水航行每小時行50千米，逆水航行每小時行30千米，問船在這段河道航行的平均速度是多少？這時要假設這段河道長度為兩個速度的最小公倍數150才便于運算。

最后，設數甚至還要“設”非所問，才能便于列出方程。如超市里蘋果的重量是橘子的4倍，如果每天賣出70千克蘋果和30千克橘子，當橘子賣完時，蘋果還有400千克，超市原有蘋果和橘子各多少千克？這題不管設哪一種水果數量，都會使問題復雜化，只有設與兩種剩余數量都相關聯的天數為a，才能使數量關系變得明朗，即4×30a=70a+400。又如，弦圖中，大正方形的面積為49平方厘米，小正方形的面積為4平方厘米，求每個小長方形的面積。如果設小長方形面積為未知數就會陷入困局，如果設小長方形的長為x，根據重疊關系就能列出x+x-2=7，得出x=3.5以后，一切就迎刃而解，這也是解決弦圖類問題最主要的策略。再則，有些復雜的計算本身并沒有未知數，也可以假設一個字母來取代某一組數，以簡化計算。如：（1+0.23+0.34）×（0.23+0.34+0.78）-（1+0.23+0.34+0.78）×（0.23+0.34）可以設0.23+0.34=a，0.23+0.34+0.78=b列出代數式（1+a）b-（1+b）a就能通過抵消的方法簡化運算，巧妙假設能夠馭繁為簡。

參考文獻：

[1]朱華偉，錢展望.數學解題策略[M].北京：科學出版社，2009.

[2]羅增儒.數學解題學引論[M].西安：陜西師范大學出版總社，2016.

[3]郭淑清.小學數學分數應用題的解題障礙及解決對策[J].課程教育研究，2015（26）.

[4]徐偉建，余雪蓮.問題歸類在初中數學教學中的運用途徑探究[J].上海中學數學，2015（Z2）.

[5]殷偉康.基于數學問題解決的模式識別解題策略的探析與思考[J].中學數學研究，2014（10）.

[6]米 萌，侯萬勝.認知結構對數學解題的影響[J].延安職業技術學院學報，2011（1）.

[7]劉雪琴，陳偉君.重視數學概念教學 優化數學認知結構[J].吉林教育，2010（35）.

[8]耿兆楠，李書玉.淺談鼓勵教育在教學實踐中應注意的幾個問題[J].中國校外教育，2012（20）.

[9]張紅星.關于小學數學教學實踐的幾點思考[J].中國校外教育，2018（8）.

[10]陳本鳳.“1+N”引導 張揚靈性風帆[J].海峽科學，2008（12）.

[11]范足榮.淺談趣味教學法在小學數學課堂教學中的運用[J].才智，2011（1）.

[12]喻志東.趣味教學法在小學數學教學實踐中的應用[J]. 新課程學習（中旬刊）， 2013（5）.