基于系統函數優化的非規則天線陣列綜合孔徑輻射計亮溫反演算法

李育芳，胡秋林，李青俠，陳 雄，趙 鋒，劉 甡，豐 勵

(1.華中科技大學 電子信息與通信學院，湖北 武漢 430074； 2.多譜信息處理技術重點實驗室，湖北 武漢 430074；3.上海航天電子技術研究所，上海 201109； 4.湖北工業大學 電氣與電子工程學院，湖北 武漢 430068)

0 引言

微波輻射計是接收、處理物體輻射微波信號的專用設備[1-3],是一種新型的全被動探測手段。與主動發射微波信號的雷達相比，其僅被動接收目標發射的微波輻射信號，隱蔽性較強；同時，微波信號能穿透云層等覆蓋物[4]，受天氣影響較小，能全天時、全天候工作，區別金屬目標和周邊環境的能力強。因此，微波輻射計在目標探測領域得到了廣泛的應用。

微波輻射計主要包括實孔徑和綜合孔徑輻射計兩類。其中：實孔徑輻射計通過機械掃描得到不同角度的輻射能量，其輸出電壓值與目標場景的輻射能量呈線性關系，只需簡單定標、修正即可得到目標場景的輻射亮溫，因此，在某種意義上可認為其輸出結果就是場景亮溫；綜合孔徑輻射計的技術體制不同于實孔徑輻射計，其采用的是干涉測量的方法，系統輸出為可見度函數，可見度函數與場景亮溫分布是比較復雜的二維積分關系[5-6]，如果實際系統中的所有誤差均被校正，則綜合孔徑輻射計輸出的可見度函數與場景亮溫分布退化為二維傅里葉變換關系[7-8]。因此，綜合孔徑輻射計的天線陣列常被設計成在空間頻率域中均勻采樣的規則陣列，如T形陣、Y形陣等。這些規則天線陣列可在空間頻率域內產生均勻分布的基線，即對可見度函數均勻采樣。此時，將輸出可見度采樣值進行二維傅里葉反變換即可反演出觀測場景的亮溫圖像。

然而在實際應用中，天線陣列難以排列規則，而非規則排列的天線陣列會在空間頻率域內對可見度函數非均勻采樣。此時，對可見度采樣值直接傅里葉反變換得到的反演亮溫圖像質量較差。對于非規則天線陣列的綜合孔徑輻射計，不適合直接采用傅里葉反演算法，因此需引入插值算法[9-10]和迭代算法[11-12]，從而有效提高非規則天線陣列綜合孔徑輻射計的反演精度。但這些算法只是通過單純的數學方法來實現從非均勻可見度采樣值到亮溫圖像的反演，本身不具備明確的物理含義，也未建立反演誤差與非規則天線陣列排布之間的數學模型。

本文提出了基于系統函數優化的亮溫反演算法，從非規則天線陣列綜合孔徑輻射計的系統性能出發，優化系統函數，消除天線陣列非規則排列對反演精度的影響。經系統函數優化處理后，直接對系統輸出可見度函數進行傅里葉反變換即可獲得精度較高的反演圖像。相比于傳統的插值算法和迭代算法，本文建立了反演誤差與非規則天線陣列排布之間的數學模型，對于理解非規則天線陣列綜合孔徑輻射計的工作原理、優化設計未來非規則天線陣列具有一定的理論價值和意義。

1 非規則天線陣列綜合孔徑輻射計的系統函數

綜合孔徑輻射計利用稀疏天線陣列將陣列中的單元天線成對組成許多具有不同基線的二元干涉儀。例如，由天線i和j組成的二元干涉儀的輸出可見度函數表示為

(1)

(2)

式中：B為接收機帶寬；Gi,j為系統增益；Hi,j(f)為接收機通道的系統函數。假設綜合孔徑輻射計的系統誤差都能被校正，則理想情況下的可見度函數為

(3)

在實際應用中，綜合孔徑輻射計的天線陣列尺寸有限，其最大基線也有限，且綜合孔徑輻射計的基線在空間頻率域內為離散分布。這種物理上的限制等效于對輸出的可見度函數進行加窗和采樣處理。該物理過程用數學公式可表示為

Vmeasure(u,v)=V(u,v)S(u,v;uk,vk)·

WR(u,v)

(4)

式中：Vmeasure(u,v)為綜合孔徑輻射計輸出的可見度，即實際測量的可見度；WR(u,v)為矩形窗；(uk,vk)為空間頻率域中的第k個采樣點；S(u,v;uk,vk)為采樣函數，其表達式為

(5)

(6)

式中：IFT[·]表示傅里葉反變換。將式(4)代入式(6)，得

IFT[V(u,v)]*IFT[S(u,v;uk,vk)·WR(u,v)]=

TB*AF(ξ,η)

(7)

式中：“*”為線性卷積運算；TB為觀測場景的亮溫分布；AF(ξ,η)為綜合孔徑的陣列因子，其表達式為

AF(ξ,η)=IFT[S(u,v;uk,vk)WR(u,v)]=

(8)

從式(7)可知，綜合孔徑輻射計的反演亮溫為觀測場景亮溫與陣列因子的卷積。因此，陣列因子也稱為綜合孔徑輻射計的系統函數。

綜合孔徑輻射計系統函數的旁瓣大小直接影響了反演圖像的精度。當天線陣列規則排列時，其在空間頻率域中均勻采樣，對應的系統函數旁瓣較小，從臨近像素點引入的誤差也越小。因此，對規則天線陣列綜合孔徑輻射計直接進行傅里葉反變換，即可反演出精度較高的亮溫圖像。當天線陣列非規則排列時，其在空間頻率域中非均勻采樣，對應的系統函數旁瓣較大，從臨近像素點引入的誤差也較大[13]，需通過特定算法處理后才能獲得精度較高的亮溫圖像。一維非規則天線陣列及其系統函數如圖1所示。由圖1可見，非規則天線陣列綜合孔徑輻射計的系統函數具有較大旁瓣，其系統性能較差。

圖1 一維非規則天線陣列及其系統函數Fig.1 One-dimensional nonuniform antenna array and its system function

2 基于系統函數優化的非規則天線陣列綜合孔徑輻射計亮溫反演

非規則天線陣列綜合孔徑輻射計反演精度較低，其根本原因是系統性能較差(即系統函數的旁瓣較大)。因此，通過優化其系統函數來提升系統性能，可有效提高非規則天線陣列綜合孔徑輻射計的反演精度。

根據式(7)，非規則天線陣列綜合孔徑輻射計的反演誤差可表示為

TB(ξ,η)*[δ(ξ,η)-AF(ξ,η)]

(9)

(10)

式中：ck為第k個基線上的權重因子。由于優化后的系統函數AFo(ξ,η)需逼近理想的陣列因子，其表達式為

E{[δ(ξ,η)-AFo(ξ,η)]2|c={c0,c1,…,cK-1}}=min

(11)

將式(11)中的方向余弦(ξ,η)進行離散化處理，則式(11)可表示為

‖p-H·c‖2=min

(12)

式中：‖·‖2為歐氏范數；p為向量，即

p=[δ(ξ0,η0)δ(ξ0,η1) …δ(ξm,ηm) …δ(ξM,ηN)]T

(13)

H矩陣可表示為

(14)

其中，

(15)

c為向量，可表示為

c=[c0,c1,…,cK-1]T

(16)

根據式(11)可求解每個基線上的權重因子，即

c=H+·p

(17)

將求解的權重系數乘以對應的基線，直接進行傅里葉反變換，從而反演出觀測場景的亮溫分布，其表達式為

(18)

式中：F-1為傅里葉反變換矩陣。

然而，由式(18)反演的亮溫圖像并不穩定，因此需對H矩陣進行奇異值分解，該過程可表示為

(19)

式中：σn為按降序排列的第n個奇異值；un、vn分別為對應的左右奇異向量。因此，H矩陣的廣義逆矩陣H+可表示為

(20)

將式(17)、(20)代入式(18)中，則

(21)

從式(21)中可知，H矩陣中包含了許多非常小的奇異值，這些小奇異值會導致反演圖像不穩定。實際上，盡管通過誤差校正可將硬件系統中的大部分系統誤差校正掉，但是硬件系統中還是會存在小部分未校正掉的殘差。另外，輻射計系統中還存在難以消除的系統熱噪聲。這些誤差在反演的過程中會被H矩陣中的小奇異值放大，導致最終的反演圖像不穩定。為穩定反演結果，需對求解的H矩陣進行正則化處理。經過正則化處理后的權重系數為

(22)

式中：Ntruncated為丟棄的小奇異值數量。因此，正則化處理后的最終反演圖像可表示為

(23)

(24)

在求解每個基線上的權重系數時引入了正則化，雖然能穩定反演結果，但會導致反演圖像質量的下降。因此，引入了迭代運算，以消除正則化對反演圖像質量的影響。

根據數字信號處理的相關理論，式(23)中的線性卷積關系可表示為矩陣乘積關系，即

(25)

基于式(25)的矩陣乘積關系，具體的迭代過程如下：

1) 經過第n次迭代運算后，反演的亮溫圖像Tn可表示為

(26)

(27)

另外，Tn的初始值為

T0=0

(28)

式(26)中B矩陣可表示為

B=I-A

(29)

式中：I為單位矩陣。

2)計算第n次迭代運算的殘差Err=‖Tn+1-Tn‖2，若Err小于門檻值，即

Err2≤ΔT2

(30)

則停止迭代運算，Tn+1即為反演圖像。式(30)中，ΔT為停止迭代的門檻值，主要由系統噪聲和吉布斯振蕩決定。

在整個迭代過程中，式(26)可表示為

?

(31)

式中：(Bn+Bn-1+…+I)被稱為Neumann序列，當n趨于無窮大時，

Bn+Bn-1+…+I→(I-B)-1

(32)

將式(28)、(29)、(32)代入式(31)中，當迭代次數n較大時，反演圖像Tn最終收斂于

(33)

由上述可知，引入的迭代算法是對式(25)進行的求逆計算，而式(25)實際上是系統函數優化后反演出的亮溫圖像。因此，迭代運算在一定程度上能消除正則化對反演精度的影響，進一步提升非規則天線陣列綜合孔徑輻射計的反演精度。

3 仿真及結果分析

3.1 理想系統的仿真驗證

對理想硬件系統進行計算機仿真，驗證本文算法的正確性。為了更清晰顯示仿真結果，采用一維天線陣列。假設一隨機天線陣列有12個單元天線，均服從均勻隨機分布，最大基線長度為30λ。12個單元天線的具體排布位置為{0,5.1,5.5,8.2,11.5,13.7,15.7,17.1,22.3,24.0,27.3,30.0}·λ，如圖2所示。

圖2 一維隨機天線陣列Fig.2 One-dimensional random antenna array

圖3 觀測場景的亮溫分布Fig.3 Brightness temperature distribution of observed scene

觀測場景為展源場景，如圖3所示。由于仿真陣列中的單元天線是隨機排列的，該陣列在空間頻率域中非均勻采樣，其對應的系統函數旁瓣較大，如圖4(a)所示。對仿真陣列輸出的可見度直接進行傅里葉反變換，獲得的反演圖像如圖5(a)所示。由圖可見，直接反演引入的誤差較大。為了優化仿真陣列的系統函數，根據隨機天線陣列的具體排列方式，利用式(17)可計算出每個基線上的權重系數，優化后的系統函數如圖4(b)所示。將優化后的小旁瓣系統函數替換原先的大旁瓣系統函數，利用傅里葉反變換得到的反演圖像如圖5(b)所示。由圖可見，反演圖像質量得到明顯改善。

圖4 仿真陣列系統函數Fig.4 System function of simulated array

圖5 反演圖像Fig.5 Reconstructed images

由上述仿真可見，當綜合孔徑輻射計的天線陣列隨機排列時，天線陣列在空間頻率域內非均勻采樣，導致系統函數的旁瓣較大，且系統函數的旁瓣也不會衰減。因此，反演圖像從臨近像素點上引入的誤差也較大。本文通過優化系統函數，抑制了系統函數旁瓣。將優化后的小旁瓣系統函數替換原有的大旁瓣系統函數，提高非規則天線陣列綜合孔徑輻射計亮溫圖像的反演質量。

圖6 優化系統函數后，直接傅里葉反變換得到的反溫圖像Fig.6 Reconstructed images obtained by direct Fourier transform after system function is optimized

3.2 非理想系統的仿真驗證

考慮到實際硬件系統中存在多種系統誤差和噪聲，將本文算法應用在有噪系統中進行仿真驗證。綜合孔徑輻射計的硬件系統不再是理想系統，其接收機的中心頻率為1.4 GHz，帶寬為25 MHz，積分時間為0.1 s，接收機噪聲溫度為500 K。由于H矩陣中存在很多小奇異值，會在圖像反演過程中放大噪聲，因此，如果在優化系統函數的過程中不進行正則化處理會導致反演結果淹沒在噪聲中，如圖6(a)所示。為穩定反演結果，必須對H矩陣進行正則化處理，處理后，基線上的權重系數由式(22)計算。將權重系數乘以可見度函數，直接進行傅里葉反變換可得到反演圖像，如圖 6(b)所示。對比圖6(a)和(b)可知，在優化非規則天線陣列綜合孔徑輻射計的系統函數過程中必須進行正則化處理，才能得到穩定的反演圖像。

雖然正則化處理能穩定反演過程，但會導致反演圖像的質量下降。因此，需進行迭代運算。經過120次迭代運算后，反演的亮溫圖像如圖7所示。對比原始圖像(見圖3)可知，迭代運算處理后的反演亮溫圖像，質量得到了明顯改善。

圖7 迭代運算與正則化處理后反演圖像的對比Fig.7 Comparison of reconstructed images between iteration method and regularization method

仿真結果表明，在非理想系統中噪聲會在反演過程中被放大，因此，在系統函數的優化過程中通過正則化的處理，濾掉矩陣H矩陣中的小奇異值，能有效穩定反演結果。但是正則化的處理會導致反演圖像的質量輕微下降，在高精度的遙感應用中，反演圖像質量是非常關鍵的。因此，在本文提出的反演算法中引入了迭代算法，通過多次迭代運算達到補償反演圖像質量的目的。

3.3 反演算法對比

將本文算法與G矩陣反演算法進行了對比。仿真場景和仿真條件與前面的仿真完全一致，由于非規則天線陣列綜合孔徑輻射計的G矩陣條件數較大，因此，在反演亮溫之前也需要正則化處理。經過截斷奇異值處理后，G矩陣的反演圖像如圖8所示。由圖8可知，本文算法的反演精度與G矩陣類似。由于大型非規則天線陣列難以測量其對應的G矩陣，本文算法可作為測量該類陣列G矩陣的有效手段。

圖8 本文算法與G矩陣反演圖像的對比Fig.8 Comparison of reconstructed images between proposed method and G-matrix method

4 結束語

本文提出了基于系統函數優化的非規則天線陣列綜合孔徑輻射計亮溫反演算法，通過優化系統函數，消除單元天線非規則排列對系統函數性能的影響，提高反演圖像的質量。此外，考慮到實際硬件系統中存在的白噪聲和校正后的殘留誤差會在系統函數優化過程中被放大，影響反演圖像質量，因此在系統函數的優化過程中引入了正則化處理，穩定反演結果，但正則化處理會使反演圖像質量的下降。為了補償反演圖像質量的損失，在算法中引入了迭代算法。仿真結果表明：對于非理想系統，本文算法能有效提高非規則天線陣列綜合孔徑輻射計反演圖像的質量。將本文算法與G矩陣反演算法進行對比，結果表明本文算法的反演精度與G矩陣大致相當。因此，對于難以測量G矩陣的大型非規則天線陣列，本文算法可作為一種有效反演方法。另外，本文提出的反演算法建立了反演誤差與非規則天線陣列排布之間的數學模型，對未來基于小衛星編隊的分布式天線陣列的優化研究具有一定的指導作用。