網絡流與曲面擬合結合的相位解纏方法

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( 1.廣西無線寬帶通信與信號處理重點實驗室， 廣西桂林 541004； 2.桂林電子科技大學計算機與信息安全學院， 廣西桂林 541004； 3.桂林電子科技大學信息與通信學院， 廣西桂林 541004)

0 引言

相位解纏是干涉合成孔徑雷達(Interference Synthetic Aperture Radar，InSAR)干涉測量的關鍵流程[1-3]，它的準確程度直接影響到InSAR生成的數字高程模型的精確性[3]。干涉圖的相位展開方法有多種，主要分為4類：第一類是路徑跟蹤法[4-5]，第二類是最小范數法[6-7]，第三類是網絡流法[8]，第四類是其他方法。

路徑跟蹤法最常用的是枝切法。利用枝切法進行相位解纏是Goldstein等首先提出的[4]。枝切法在相干性差、殘差點較多的區域難以選擇準確的枝切線，容易形成一個個被枝切線包圍的孤立區間，即“解纏孤島”，積分路徑都無法到達從而無法解纏?！敖饫p孤島”由于沒有明顯的聯系,單獨解纏時會造成很大誤差。最小范數法最典型的就是最小二乘法，它是一種全局算法。解纏結果中不存在不能進行相位展開的區域，但由于此算法穿過而非繞過殘差點，很容易使相位誤差傳遞到整個區域。這就造成了整體上結果為連續的，但實際上沒有一點相位的值是準確的[9]。網絡流法是通過全局范圍搜索最優路徑和最短枝切線來求得最小化問題的最優解。在網絡流成熟的條件下網絡流算法可大大提高運算的效率[10]，與此同時保證一定的精度，在誤差的限制方面有著良好的效果，可以防止誤差傳遞到整個區域內，對于噪聲較為嚴重的干涉圖也可以進行解纏并取得較為精確的結果[11-13]。但是在噪聲較大的環境下網絡流法的解纏結果會將噪聲不可避免地沿著積分路徑傳遞，造成解纏結果的嚴重“尖峰毛刺”現象，使得解纏結果不理想。

結合殘差點的思想、曲面擬合法以及網絡流法提出了一種新的相位解纏算法。新算法根據相關度找出解纏結果的噪聲點，然后運用最小曲面擬合法重構值代替噪聲點的數值，最后沿著積分路徑更正有誤差傳遞的結果。逐一處理所有噪聲點，最終的解纏結果可以看作是由多個最小曲面多次貼合的結果。本文首先介紹相關理論，然后介紹新算法的具體步驟和推導，最后通過實驗驗證可行性。

1 新算法描述

網絡流算法最早見于Costantini等提出的基于網絡流的相位解纏方法[8],從根本上來講此種方法仍屬于路徑跟蹤法。這種方法是將相位解纏問題轉化為最小化問題，通過在全局范圍內搜索路徑和最短枝切線來求得最小化問題的最優解。在一個M×N大小的方格網內,設φ和φ分別表示解纏和未解纏的相位,則有

φ(i,j) =φ(i,j) + 2πn

(1)

式中，n為整數，φ(i,j)∈[-π，π]，相位解纏就是從φ(i,j)到φ(i,j)的過程。根據二維行為解纏原理，定義相鄰像素點間的差分估計[14]：

Δφ1(i,j)=φ(i+1,j)-φ(i,j)+2πn1

(2)

Δφ2(i,j)=φ(i,j+1)-φ(i,j)+2πn2

(3)

式中，n1(i,j)，n2(i,j) 為基于先驗知識選取，使Δφl(i,j)∈[-π,π)(l=1,2) 成立的整數值。由于積分路徑的不同，Δφl(i,j)∈[-π,π)(l=1,2) 并不能和相鄰點的差分保持一致，因而定義以下差分殘差：

由于k1(i,j)，k2(i,j)都是非常小的數，可以用如下的最小化問題來估計殘差：

如圖1所示，根據網絡流理論，式(5)這個最小化問題可以轉化為最小費用流來解決。最小費用流問題的輸入為各個節點的度，即各個殘差的值和每條流的費用，式中c1(i,j)，c2(i,j)可以根據像素點的相關度得出，而該問題的輸出為各條流的流量。式(5)的最小化問題可轉化為如下公式：

圖1 網絡圖

(6)

min(0,k1(i,j))

(7)

min(0,k2(i,j))

(8)

在計算出k1(i,j)和k2(i,j)之后，再計算相位梯度，最終有

(9)

由后面的實驗結果可以看出，通過網絡流方法的解纏結果和枝切法、最小二乘法相比有很大的優勢，沒有“解纏孤島”的現象，并且解纏精度要比其他兩種方法高。但是在噪聲較大的環境下網絡流法的解纏結果會將噪聲不可避免地沿著積分路徑傳遞，造成解纏結果的嚴重“尖峰毛刺”現象，造成解纏結果的失真。很明顯這些隨機出現的“毛刺”點是由于噪聲的干擾引起的?？梢栽O計方法識別出這些有誤差的點，然后根據這個點與周圍其余點的聯系重新構造出更準確的值。通過誤差點識別方法找出這些由于噪聲出現的“毛刺”點的集合，假設這些點(i,j)∈S1(i=0,1,…，n-1，j=0,1,…，m-1)，設集合S1的殘差值k1(i,j)，k2(i,j)：

i=0,1,…,n-1,j=0,1,…,m-1

(10)

i=0,1,…,n-1,j=0,1,…,m-1

(11)

誤差點的重構值是根據其與周圍點相關程度和曲面趨勢進行的重構，經過重構后的相位值在一定程度上降低了噪聲的干擾，減少了噪聲的疊加,所以可以得出

從而得出經過重構后的網絡圖的目標函數：

結合式(5)、式(12) 和式(13)可以得出

目標函數最小化是相位解纏的本質，以上的推導可以證明通過對網絡流算法解纏結果中的噪聲點進行精準識別、定位與重構后，可以有效改善“毛刺”現象，并且能夠進一步最小化目標函數，從而提高解纏結果的準確度。考慮到解纏算法的時間成本以及內存要求，對于誤差點的識別和利用曲面擬合重構數值分別設計了以下方法實現。

1.1 誤差點處理

受到枝切法中識別“殘差點”思想的啟發，按照如下方法對誤差點進行識別并處理。根據二維解纏原理連續相位的假設，首先設置π為閾值，再依次檢驗所有解纏后的像素點。在像素點周圍3×3的區域內進行檢測，如果像素點與其所有周圍的8個點的差值的絕對值都大于閾值，那么識別此像素點為誤差點。如圖2(a)所示，3×3區域的像素點中心點明顯比其周圍的8個像素點的值大很多。因為經過網絡流處理后的數據在大概率上可以代替真實相位值，那么基于連續相位的解纏假設，如果出現上述的像素點就可以認定此點由于噪聲的干擾造成了數據的嚴重失真，可以將此點識別記錄，認定為誤差點，稱之為E1誤差點。

圖2 E1,E2誤差點三維示意圖

式中，DI是像素點的相位值，而CI是根據像素點的相關度得出的權值。最終得到的D5就是利用最小曲面擬合構造的新像素點的值。

如圖3(b)所示的12個像點，其中N5和N8為3×4區域識別的誤差點，而其余的10個點均是認定的可靠數據。在這種情況下，將這個區域分割成兩個3×3的區域，如圖4所示。

圖3 E1,E2誤差點二維示意圖

圖4 E2誤差點分割示意圖

(16)

圖5 E3誤差點俯視圖

1.2 新算法步驟

根據以上描述的方法，實現的算法步驟如下：

步驟1：根據纏繞相位信息計算出像素點間相位的相關系數，利用原始相位信息以及各個像素點相關系數等信息，結合圖論中圖的概念構造網絡圖；

步驟2：對初步構造的圖，以圖論的最大流最小割定理(max flow/min cut theory)為基礎的增廣路徑算法求得最小費用路徑；

步驟3：根據求得的路徑對相位進行積分求得初步的解纏結果，并保存積分路徑；

步驟4：對初步解纏結果進行第1輪誤差點識別，識別出所有E1點，使用最小曲面擬合方法進行數據重構，并利用重構值沿著步驟3的積分路徑修正積分路徑的值；

步驟5：進行第2輪誤差點識別，識別出所有E2點，使用最小曲面擬合方法進行數據重構，并利用重構值沿著步驟3的積分路徑修正積分路徑的值；

步驟6：進行第3輪誤差點識別，識別出所有E3點，使用最小曲面擬合方法進行數據重構，并利用重構值沿著步驟3的積分路徑修正積分路徑的值；

步驟7：重復步驟6至少兩次，識別出由E4點轉而來的E3點，使用最小曲面擬合方法進行數據重構，并利用重構值沿著步驟3的積分路徑修正積分路徑的值。

2 實驗結果

為了驗證算法的有效性和正確性，分別用枝切法、等權最小二乘法、網絡流法以及改進算法進行實驗，并將結果進行對比。實驗分為仿真數據實驗和實測數據實驗。模擬數據中加入不同程度的隨機噪聲和椒鹽噪聲，構成兩組不同程度的信噪比進行仿真實驗，用以驗證不同信噪比情況下方法的正確性和精確度[15]。評定的參數用運行時間和均方根誤差(REMS)兩個參數來衡量，均方根誤差計算公式如式(17)所示。實驗環境為Matlab R2004a，計算機運算條件為Intel(R) Xeon(R) CPU E3-1241 v3+Windows 7專業版64 bit+8 G內存。

2.1 模擬數據仿真

如圖6所示，模擬數據是Matlab軟件中peaks函數產生模擬相位曲面，大小為512像素×512像素。對模擬曲面加入隨機噪聲和椒鹽噪聲實現信噪比(SNR)為6.11 dB和-0.51 dB的模擬數據。圖7(a)是信噪比為6.11 dB仿真相位的曲面圖，圖7(b)是纏繞相位的俯視圖。將數據進行纏繞后分別運用枝切法、等權最小二乘法、網絡流法和新方法進行解纏仿真。解纏結果如圖8所示，運行結果如表1所示。

圖6 模擬數據示意圖

圖7 SNR=6.11 dB纏繞相位圖

算法運行時間/s均方根誤差/rad枝切法25.891.002最小二乘法2.82361.4995網絡流法24.590.795新算法30.190.5733

圖9(a)是信噪比為-0.51 dB模擬數據的纏繞圖，圖9(b)是圖9(a)的俯視圖。將數據分別運用枝切法、最小二乘法、網絡流法和新算法進行解纏仿真。解纏結果如圖10所示，仿真運行結果匯總如表2所示。

圖8 SNR=6.11 dB模擬數據實驗結果

圖9 SNR=-0.51 dB纏繞相位圖

算法運行時間/s均方根誤差/rad枝切法42.27632.4258最小二乘法2.5721.6207網絡流法28.47341.3214新算法35.03620.5861

圖10 SNR=-0.51 dB模擬數據實驗結果

2.2 真實數據實驗

圖11 實測數據

算法運行時間/sσ枝切法127.6868—最小二乘法2.57403.1157網絡流法48.92193.0344新算法59.05882.6157

圖12 實測數據實驗結果

3 結束語

本文的方法借鑒枝切法思想，采用網絡流法和曲面擬合的方法，對網絡流算法增加了最小曲面擬合的步驟。以最小的時間代價，利用網絡流解纏算法過程中的中間參數和初步解纏結果，對噪聲引起的錯誤進行了可靠重構，并沿著解纏積分路徑更正了積分過程中誤差的傳遞。無論從模擬數據實驗還是真實數據實驗來看，新方法都大大地增加了相位解纏精度，并證明了方法的可靠性，相比其他方法具有一定的優越性。