常微分方程求解中改進遺傳算法的應用

劉艷云

（陽泉師范高等專科學校 山西·陽泉 045200）

在學術研究或工程應用中，建立數學模型解決實踐問題是極為普遍的方式。但在利用常微分方程或微分方程組時，除少數特殊類型的微分方程能夠快速解析并得到較為精準的數據類型之外，其他多數方程組在解出數據信息時存在一定的困難，所得數據結果也僅為無限接近于真實情況的近似值。由于實踐問題類型復雜多樣，且無法針對其中的復雜因素加以排查，因此在實際研究過程中，必須針對復雜函數的運算過程加以改善，將其求解近似值的難度加以弱化，進而在求解過程中達到快速搜索最優解集的效果，并將其最優解集控制在精度較高的范圍。而運用遺傳算法便是其中極為重要的求解思路，通過優化解集路徑，并對比分析其中數據模型的契合度，從而在進一步優化解集條件時，改善最優解集方案的流程，提高最終取值范圍的精確性。

一、應用改進遺傳算法解析常微分方程的優勢

（一）遺傳算法的運算機制

遺傳算法的英文全稱為：Genetic Algorithm，傳統意義的遺傳算法是模擬達爾文生物進化論中的自然選擇學說和遺傳學機理而設計的生物進化計算模型。將遺傳算法應用于常微分方程并未改變其原本的運算機制，也是以模擬自然進化流程尋找和搜尋最優解集的方案，明確常微分方程的解題路徑。遺傳算法所描述的是潛在解集存在的最優種群，而每一個種群都具有相應的基因編碼個數，適用于常微分方程在常規條件下的適應個體解集。在相對獨立的解集中，勢必存在遺傳因子的適應度問題，如果適應度較強，則說明染色體具備了優先選擇機制，能作為最優解集輸出，得到常微分方程的最優解決方案。而適應度較弱，則代表該染色體并不具備最優解集特征，需要在運算流程中予以剔除。利用遺傳算法的最優解集尋找方案，能在進化過程中摒棄并不重要的普通解集，有選擇性地開發具備遺傳特征的最優解集。因此，在種群迭代反映后，最終從優勝劣汰的演化機制中不斷接近于最優解集的特征，便可逐代演化產生近似解，且在每一代個體適應度上不斷接近遺傳因子的最佳運行狀態，并從中篩選出具有遺傳特征的常微分方程最優解。通過組合交叉、變異等過程，子代繼承了父代優良基因，而并未脫離解集種群原有的運算條件，因此其解碼過程更加契合常微分方程的求解需求，體現了優化運算流程和適應度的優勢，對于強化常微分方程的最優解集甄選具有支持作用[1]。而這樣的遺傳進化過程，也相當于將導致種群解集運算偏差的不利因素進行剝離，從而契合自然進化的種群迭代演化機制，形成更加適應全新后代種群生存條件的客觀環境。因此，末代種群中必然存在常微分方程的最優個體，該個體也是在諸多解碼程序中最終得到的最優解集，滿足了常微分方程所有求解需求，是優化解題路徑和強化常微分方程解析環境的有效方式，得到的結果也可以作為常微分方程問題的近似最優解。

（二）應用遺傳算法解析常微分方程的優勢

改進遺傳算法，是針對對常微分方程求解近似值過程中的簡化模式?；緫盟悸肥牵哼\用最小二乘原理，并綜合運用微分方程的函數模型，將求解問題轉為求解最小取值范圍的函數問題，從而利用改進后的遺傳算法優化問題類型，簡化運算步驟與時間，并提供完整的最優解集條件。

對于部分多目標、多模型、非線性的函數解題優化路徑而言，應用遺傳算法是優化解題路徑的過程，而且針對不可微和存在多峰值的函數類型，其他算法的求解過程更為繁瑣，難度也更大。由于遺傳算法本身具備更高的并行運算條件，所得數據類型的分段運算結果具有隨機性，故其自適應能力較強，可以優化全局解集的搜索概率與范圍，進而得到最優解集的可行性方案。因此，應用遺傳算法解析常微方程是優化求解路徑的有效方式之一，可以提供完整的解題思路與最佳解集方案。

將常微分方程求解的流程轉化為最優化解集方案的模式，是利用遺傳算法構造近似方程組的解析模式，所以可以在最大程度上優化方程解集的取值范圍，也是應用遺傳算法優化常微方程解題流程的有效措施。

（三）簡單的函數優化方向

設函數f（x）為x=a的臨近區域，在取值范圍內以n+1為階，可推導出位于臨近區域的任意點x的點集空間，令a與x以及之間存在函數關系：

依據此公式，能明確多項式函數的取值空間，并由此空間構造常微分方程的解集范圍，所得多項式函數的取值空間就是相對簡化的函數χ，在其自身乘積范圍γn中作為線性組合所得到的具有函數特征的數值。利用這一函數空間，能令函數形式簡化，從而在應用過程中逐步簡化，從而得到相對簡易的函數特征，這一特征也是優化計算機算法實現快速解集構建的主要方式。尤其這一函數空間已經無限接近于所有函數的近似值，因此其函數表達能力較強。但在邊界處理數據條件時，更加傾向于罰函數處理方案，以常微分方程解析流程的轉化，促使問題逐步最優并得到最佳解集的取值范圍，具體實現流程為：

首先，構建數據集合 M（x,wo,w1,…,wk）=w0+w1x+w2x2+…。類似形式的函數近似值是常微方程在求解過程中逐步優化的參數變量。對于x,wo,w1,…,wk的集合而言，其參量的優化方案也有助于提高后續運算的便捷性。

其次，在選擇多項式的函數近似值時，其常微分方程本身的解集范圍也相對明確，并從中提取最為簡單的解集方案?？梢岳枚囗検胶瘮档娜≈捣秶i定最小二乘解的取值空間，具體實現方法可以構建Ⅳ個等距節點的函數模型，函數表達式為：

最后，在邊界條件相對明確后，可由構造的罰函數模型約束其最優化解集的取值空間，將類似問題轉化為并不存在約束條件的最優化解集。因此，其罰函數可以完成基本運算模式的推導，并能強化與之前解集取值范圍的對比效果。

此外，設 E,P為針對（x,wo,w1,…,wk）的函數參量，其近似值令的解集范圍更為精準，因此所得函數解集為解集組中那個最優化方案，它支持運算條件的不斷優化與改善。在運算過程中，令V=E（M）+αP（M）為最小取值空間，其中以α代表正函數的取值范圍，同時得到 α=1，x1，x2，…，xn-1 無限趨近于[a，b]的常微函數運算條件。因此，利用遺傳算法，能有效降低常微函數方程的求解難度，并以最小值函數運算的方式優化求解流程。

二、常微分方程求解中改進遺傳算法的應用

設常微分方程應用遺傳算法的函數表達式為：Y=-1/5y+exp（-x/5）cosx，y=0，x 無限接近于[0,1]。 該函數方程可以作為遺傳算法在常微分方程求解過程中的優化方案，通過構建數據集合的方式明確近似值的取值范圍。因此，常微分方程組的多項式經過特定的解題次數，就能完成多項系數的歸集。求解初始條件y=0的常數項，相當于約束了取值空間的具體范圍?；诖?，多項系數均可以利用遺傳算法的模型逐步進化，并得到最優解決方案。可以利用遺傳算法模型編寫優化函數的文件M，同時令M文件生成平行向量，并得到初始標量的運算條件。在平行向量內的目標函數長度是由相對獨立的變量基數決定的，并依據遺傳算法在各個參量中的取值范圍鎖定函數目標，其中包括變量個數、種群大小及其優化條件，交叉概率以及種群迭代次數等一系列優化求解的運算環境。

在遺傳算法工具箱中，分別設number of variables 的取值為 1，2，3，…，7，相當于分別構建了完整的多項式近似方程的解集，運算結果在很大程度上符合了三次多項式的求解要求，更加適用于最小值的求解流程，因此由適應度的取值范圍擴大便可說明其運算規律的優化形式已經得到改善。其中，適應度值越小，它所代表的函數求解方向越接近于精確解，因此相應的解集中構造三次多項式的運算方案也會快速得到近似方程，并通過遺傳算法得到精準度更高的解集。

（一）群體規模對遺傳算法最優解集尋找效率的影響

當群體規模存在相對較小的取值范圍時，遺傳算法所具有的搜索空間極為有限，而個體解集之間由于缺乏多樣性，并不容易快速獲取最優解集。但當群體規模逐步擴大并增加到涵蓋了更多運算信息與條件后，遺傳算法的進化條件得以補充，因此可以快速搜索到更多的解集范圍。因此，在個體空間的基礎數量不斷增加與迭代累積時，獲得最優解的可能性反而更高，得到近似于最優解的取值范圍相對縮小，并無限接近于常微分方程的求解需求?；诟倪M后的遺傳算法能為常微分方程求解提供更多的解集類型，并篩選出并不適應當前數據集合的參考值[3]。因此，當種群大到一定程度時，遺傳迭代的最終結果也會不斷優化其取值空間的合理性。

（二）交叉概率角度對遺傳算法收斂性的影響

從交叉概率角度對遺傳算法的收斂性進行評估，能從微分方程的影響中發現：當交叉概率和搜索空間相對較小時，遺傳算法很難從中快速提取最優解集。但在交叉率不斷增加時，遺傳算法在尋找最優解的過程中也會不斷提高發掘幾率。如果交叉率過高，這樣的現象并不會持續，此類現象與遺傳算法過度擴增其搜索范圍與解集空間有關。如果忽略了微分方程的局部特征，或者搜索區域的穩定性與集中性，同樣也無法快速尋找到最優解集。相關研究表明，將交叉概率盡量控制在0.65至0.85的取值范圍時，才能夠達到預期的收斂效果，才能為尋找最優解集創造便利條件。

（三）進化代數對遺傳算法收斂效果的影響

從進化代數對遺傳算法收斂效果的影響中能夠發現，隨著進化代數的不斷增加，收斂效果有可能發生好轉的現象。但當進化代數不斷擴增至較高范圍時，反而會降低運算效率或頻次，令實驗現象無法充分顯現。如果運行時間不斷增加，遺傳算法中的進化代數也會不斷上升。將所有參數全部設為依據遺傳算法而得到的最優解集時，早期代數信息中個體離理想值仍然較遠，那么遺傳算法所尋求的最佳值也會被迅速發掘。因此，對于遺傳算法，后代中多種群解集越接近于最佳點時，最優解集的可利用價值越高，最佳值改進的效果也相對放緩。最終求得的代優化參數為精確解集的理論參考值，將精確解和近似解進行比較，發現求得的近似解在定義域內，且不存在與定義域外精確解的近似度，因此其最優解集的運算效果更為明顯和突出。

結語

綜上所述，在眾多工程技術問題中，糾結于常微分方程求解的數學形式并無法快速消解其中的解題難度。求解流程中應用遺傳算法，能以不斷演化和衍生出的子代信息優化父代解集中的缺陷，同時令常微分方程的求解能力更強，所得解集更加接近于實際情況，進而支持由求解問題向最優解集問題的轉化，支持求解精度的進一步提升。對常微分方程求解中改進遺傳算法的應用進行分析能夠發現，群體規模對遺傳算法最優解集尋找效率的影響，交叉概率角度對遺傳算法的收斂性影響，進化代數對遺傳算法的收斂效果影響，都是在最大程度上優化遺傳算法最優解集尋找速度的刺激方式。因此，在拓寬遺傳算法的適用范圍后，能為微分方程的求解提供全新的運算環境，從而實現微分方程求解速度的優化，進一步證明遺傳算法在求解最優化問題的有效性，并最終完成微分方程的求解，提高微分方程的求解精度。