等價替換在和差極限和冪指極限中的應用

陳彥恒 賈松芳

【摘要】給出了無窮小和差極限的等價替換定理，在此基礎上給出了底數是無窮小和差，指數是無窮小和差的冪指函數的等階替換定理，推廣了前人的結果，并通過具體例題說明它們的應用。

【關鍵詞】和差極限 冪指極限 等價無窮小替換

【基金項目】該文由重慶市教委科研資助項目（KJ1710254），重慶三峽學院重點項目（14ZD16），重慶三峽學院數學與統計學院教改項目資助。

【中圖分類號】O17 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2018）27-0118-02

在求某些極限的過程中，利用等價無窮小替換定理，往往能夠簡化極限的計算過程，給極限求解帶來方便，因而等價無窮小是簡化極限運算的有力工具。在微積分教學過程中，教師往往只強調函數乘除極限中可以應用等價無窮小替換求極限，同時也叮囑千萬不要在函數和差極限中應用，否則將會出現錯誤。該文給出了無窮小的和差極限可以用等價無窮小替換的條件，并在此基礎上探討了等價無窮小替換在冪指函數極限中的應用，推廣了文獻[1-2]的結果。為了方便，該文僅對自變量趨于有限值情形給出相關結論，對自變量趨于無窮大的情形不再贅述但相關結論也是成立的，其它未說明的數學符號與文獻[3-4]保持一致。

1.等價無窮小替換在函數和差極限中的應用

由等價無窮小替換定理，我們知道等價無窮小替換只能做無窮小的因式替換，沒有涉及到無窮小的和差替換。很容易舉出反例說明無窮小的和差替換一般是不正確的。例如文獻[3]中的第72頁的第9（4）題，如果如下計算：

= =0

那肯定是錯誤的。實際上，

= （1-cosx）·

= · =

那么在什么條件下，無窮小的和差能進行無窮小的替換呢？我們得到下面無窮小和差的等價替換定理：

定理1 設g（x），g （x），h（x），h （x）在 （x ）上有定義，且當x→x 時，g（x）～g （x），h（x）～h （x），若 =k，則

（1）當k≠1時，有g（x）-h（x）～g （x）-h （x）（x→x ）；

（2）當k≠-1時，有g（x）+h（x）～g （x）+h （x）（x→x ）。

證明：由于g（x）+h（x）寫成g（x）-（-h（x）），所以（2）可以轉化為（1），從而只需證明（1）即可。

由無窮小量的性質易知g（x）-h（x），g （x）-h （x）都是x→x 的無窮小量。

由于k≠1，從而 = = =1，

所以當x→0時，g（x）-h（x）～g （x）-h （x）。

值得說明的是，當k為無窮大時，定理1的結論仍然成立。

例1 求極限

解 當x→0時，ln（1+x）～x，arcsinx～x，e -1～x，arctanx～x且

=2≠1， = =1≠-1，

根據定理1，定理2得

= = = 。

當然例1也可以利用洛必達法則求得極限，但計算過程會非常繁瑣，充分的體現了定理1的重要性。

2.等價無窮小替換在冪指函數極限中的應用

形如y=u（x） 的函數稱為冪指函數，其中u（x）>0。求這類函數極限的一般方法是把它轉化為復合函數e 的極限，再利用洛必達法則求其極限。在某些冪指函數極限中，也可以利用等價無窮小替換來實現求解，有多位學者研究了這個問題并得到下面的結論：

定理2[2] 設g（x），g （x），h（x），h （x）在x 的空心鄰域 （x ）上有定義且g（x）>0，g （x）>0。若當x→x 時，g（x）～g （x），h（x）～h （x），則

g（x） = g （x）

由定理1和定理2可得如下定理，即底數是無窮小和差，指數是無窮小和差的冪指函數的等階無窮小替換定理，它是定理2的一個推廣。

定理3 設f（x），f （x），g（x），g （x），h（x），h （x），r（x），r （x）在 （x ）上有定義且g（x）±h（x）>0，g （x）±h （x）>0。若x→x 時，f（x）～f （x），g（x）～g （x），h（x）～h （x），r（x）～r （x），且 =k， =l，則

（1）當k≠1，l≠1，有

（g（x）-h（x）） = g （x）-h （x）） ；

（2）當k≠-1，l≠-1，有

（g（x）+h（x）） = g （x）+h （x）） ；

（3）當k≠1，l≠-1，有

（g（x）-h（x）） = g （x）-h （x）） ；

（4）當k≠-1，l≠1，有

（g（x）+h（x）） = g （x）+h （x））

需要注意的是，當k，l為無窮大時，定理3的結論仍然成立。

例2 求極限 （arctanx+sinx） 。

解 當x→0 時，arctanx～x，sinx～x，arcsinx～x且滿足定理3的（2）的條件，所以 （arctanx+sinx） = （2x） = 2 · （x ） =1。

例3 求極限 （arcsin x+e -1）

解 當x→0時，ln（1+x ）～x ，arcsin x～x ，e -1～x ，arctan x～x 且 =2≠1， = =1≠-1

從而由定理3的（4）得 （arcsin x+e -1） = （2x ） = 2 · （x ） =1。

通過上面的討論，我們知道在一定的條件下，等價無窮小替換不僅可以在無窮小的和差極限中替換，還可以在底數是無窮小和差，指數是無窮小和差的冪指函數極限中替換，不僅拓寬了等價無窮小替換的使用范圍，同時也將會給某些極限帶來很多方便，比如簡化運算過程，減少計算量等。當然在教學中，可以有意識地讓學生來“發現”上述幾個定理，這對于拓展學生的視野，培養學生的探索精神和創新能力是有百益而無一害的。

參考文獻：

[1]崔玉珍.關于冪指函數極限計算中等價代換問題的研究.河北地質學院學報，1993（3）：304-307.

[2]陳茜，舒慧穎.淺析冪指函數的極限問題[J].衡水學院學報，2011（4）：8-10.

[3]同濟大學數學系.高等數學（上冊）（第七版）北京：高等教育出版社，2014.

[4]華東師范大學數學系.數學分析（第三版）北京：高等教育出版社，2008.

作者簡介：

陳彥恒（1980-），男，漢族，河南西平人，副教授，主要從事大學數學的教育教學工作。