從三階魔方談空間圖形旋轉變換矩陣

【摘要】三階魔方是最常見的魔方形式，本文是想在課堂教學過程中結合魔方這個有趣的實物，給學生建立空間的思維感，從而引出線性代數中三維空間圖形繞坐標軸的任意角度旋轉的變換矩陣這個知識點，并引導學生用MATLAB軟件實現空間圖形的任意角度的旋轉。

【關鍵詞】三階魔方 三維空間 旋轉變換矩陣 MATLAB

【Abtstract】The Rubik？蒺s Cube is the most common form of magic cube. The article wants to build a spatial sense of mind for students in class by combining the magic cube？蒺s interesting object， thus this paper introduces the transformation matrix of 3D spatial graphics around the coordinate axis in linear algebra， and uses MATLAB to achieve the rotation of spatial graphics.

【Keywords】The Rubik？蒺s Cube； three-dimensional space； rotation transformation matrix； MATLAB

【中圖分類號】G64 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2018）27-0145-02

1.引言

三階魔方就是我們最常玩的魔方，它是匈牙利布達佩斯建筑學院厄爾諾·魯比克教授在1974年發明的。他發明魔方的初衷是希望能幫助學生增強空間思維感。直到魔方在手時，他將魔方轉了幾下后，才發現怎么把混亂的顏色方塊復原？確是個有趣而且困難的問題。Rubik就決心大量生產這種玩具，魔方發明后不久就風靡世界。

本文想借助這個玩具的旋轉引出空間圖形的旋轉問題，我們將魔方放入三維空間坐標系中，賦予它數學方面的內涵。建立空間坐標系后，三階魔方的玩法實際上就是魔方的層按照X軸，Y軸和Z軸旋轉90度，180度或者270度。

1.1三階魔方繞x軸旋轉特定角度

假設魔方上的點C（x，y，z）繞x軸正方向旋轉90度轉到點H（x1，y1，z1），則矩陣變換關系是：

x1y1z1=x-zy=1 0 00 0 -10 1 0xyz

1.2三階魔方繞y軸旋轉

假設魔方上的點C（x，y，z）繞x軸正方向旋轉90度轉到點F（x1，y1，z1），則矩陣變換關系是：

x1y1z1=zy-x=0 0 10 1 0-1 0 0xyz

1.3 三階魔方繞z軸旋轉

假設魔方上的點C（x，y，z）繞z軸正方向旋轉90度轉到點D（x1，y1，z1），則矩陣變換關系是：

x1y1z1=-yxz=0 -1 01 0 00 0 1xyz

2.三維空間圖形繞坐標軸的旋轉任意角度

三階魔方只是研究的幾種特殊角度情況下的旋轉，若以坐標系的三個坐標軸x，y，z分別作為旋轉軸，則點實際上只在垂直坐標軸的平面上作二維旋轉。此時用二維旋轉公式就可以直接推出三維旋轉變換矩陣。規定在右手坐標系中，物體旋轉的正方向是右手螺旋方向，即從該軸正半軸向原點看是逆時針方向。

2.1任意點繞x軸旋轉的變換關系

y'=ycosθ-zsinθz'=ysinθ+zcosθx'=x得矩陣關系

x'y'z'=1 0 00 cosθ -sinθ0 sinθ cosθxyz

2.2 任意點繞y軸旋轉的變換關系

z'=zcosθ-xsinθx'=zsinθ+xcosθy'=y得矩陣關系

x'y'z'=cosθ 0 sinθ 0 1 0-sinθ 0 cosθxyz

2.3 任意點繞z軸旋轉的變換關系

x'=xcosθ-ysinθy'=xsinθ+ycosθz'=z得矩陣關系

x'y'z'=cosθ -sinθ 0sinθ cosθ 0 0 0 1 xyz

3.用MATLAB實現三維立方體的任意角度旋轉

x=[1 -1 -1 1 -1 -1；-1 -1 1 1 -1 -1；-1 -1 1 1 1 1；1 -1 -1 1 1 1]；

y=[1 1 -1 -1 -1 -1；1 -1 -1 1 1 1；1 -1 -1 1 1 1；1 1 -1 -1 -1 -1]；

z=[1 1 1 1 1 -1；1 1 1 1 1 -1；-1 -1 -1 -1 1 -1；-1 -1 -1 -1 1 -1]；

h1=fill3（x，y，z，'y'） %三維立方體圖形

axis equal

hold on

xdir= [1 0 0]

rotate（h1，xdir，30） %三維立方體繞x軸旋轉30度角

4.結論

本文通過三階魔方的旋轉引入線性代數的矩陣變換理論，實現了計算機圖像的平移，旋轉和復合變換，并用matlab 程序實現。

參考文獻：

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[4]杜麗美，李艷玲，侯慧玲.矩陣理論在圖形變換中的應用[J].電子測試，2016，9：63-64.

作者簡介：

劉浩 （1981年-），女，威海人，青島職業技術學院講師，研究生，研究方向為應用數學。