圓錐曲線中有關弦長問題的探討

苑 揚

(河北省衡水第一中學 053000)

在解析幾何中，學習直線與圓錐曲線的位置關系中，往往會涉及弦長問題，然而這部分又是學生的弱點，如果能熟練地運用弦長公式求解，則必會讓解題變得輕松、簡潔.下面通過以下幾例來說明有關弦長問題的解法，供大家參考.

求直線與圓錐曲線相交的弦AB長的方法是：

點評也可讓學生利用“焦半徑”公式計算.

(1)求證：拋物線與直線相交；

(2)求當拋物線的頂點在直線下方時，a的取值范圍；

(3)當a在(2)的取值范圍時，求拋物線被直線截得的弦長的最小值.

點津拋物線頂點在直線下方的充要條件是：頂點的坐標滿足不等式y<2x.

求弦長的最小值，通過設交點(設而不求)確定目標函數f(a)，由a的取值范圍可得f(a)的最小值.

例3 已知拋物線方程為y2=2p(x+1)(p>0)，直線l:x+y=m過拋物線的焦點F且被拋物線截得的弦長為3，求p的值．

解設l與拋物線交于A(x1,y1),B(x2,y2),則|AB|=3.由距離公式

消去x,得y2+2py-p2=0.

Δ=(2p)2+4p2>0，

∴y1+y2=-2p,y1y2=-p2.

涉及弦長問題，常用“韋達定理法”設而不求計算弦長(即應用弦長公式)；涉及弦長的中點問題，常用“點差法”設而不求，將弦所在直線的斜率、弦的中點坐標聯系起來，相互轉化.同時還應充分挖掘題目的隱含條件，尋找量與量間的關系靈活轉化，往往就能事半功倍.