曲線參數方程的求值應用

于 航

(河北省樂亭第一中學 063600)

一、直線參數方程求值

例1 拋物線C：y2=4x，其焦點為F，現過點F作兩條直線l1、l2，且使得l1⊥l2，設直線l1與拋物線C相交于A、B兩點，直線l2與拋物線C相交于D、E兩點，試求|AB|+|DE|的最小值.

分析利用直線參數方程來解題，首先設出直線l1的參數方程，代入拋物線C中，利用弦長公式可得|AB|的值，利用l1⊥l2的特殊關系可以推出|DE|的值，從而可建立|AB|+|DE|關于直線參數的關系式，結合參數的取值范圍即可求解.

我們在利用直線參數方程求值時可以按照如下思路：首先根據直線的斜率和點設出參數方程，然后聯立參數方程與其它曲線的方程.對于常見的距離問題或弦長問題，則需要我們結合相應的距離公式或弦長公式，將線段問題轉化為關于直線參數的函數，結合參數的取值來求解.

二、圓的參數方程求值

分析點A位于圓O上，則其坐標必然滿足圓O的方程，求比值的最值可以結合圓的參數方程，轉化為關于參數的函數來求解.

需要我們注意的是，一般曲線圓的參數方程的參數取值為[0,2π)，在構建完關于參數的函數關系后如若難以通過參數定義域來確定問題的最值，則可以逆向思考，利用三角函數值域來反向求解，互換函數關系的變量.

三、雙曲線參數方程求值

例3 已知圓O：x2+(y-2)2=1，雙曲線C：x2-y2=1，點P和Q分別位于圓O和雙曲線C上，試求點P和Q之間距離的最小值.

分析此題利用解圓外一點到圓上的最小值的思路，即PQ的延長線經過圓心時才有距離的最值，則|PQ|min=|PO|min-r，所以可以先求出點Q到圓心O的最小值.

利用雙曲線的參數方程求相關距離的值，需要將曲線上的點參數化，這樣有利于我們后續求兩點之間距離.在對曲線參數化的同時，也就將幾何問題轉變為代數問題，這樣求解相對較為簡單.

總之，我們求解數學解析幾何的求值問題時，可以利用曲線的參數方程來轉化問題，尤其是解與線段長相關的問題，利用參數思想可以建立函數關系，從代數角度來分析.對于圓、橢圓、雙曲線問題，也可以通過三角代換來對函數降元，然后結合三角函數的性質求值.