“動”“靜”結合，定點永存
———賞析2023 年高考數學全國乙卷理科第20 題

■江蘇省張家港中等專業學校 龔 瑜 韓文美

圓錐曲線中的直線或曲線的定點問題,是圓錐曲線考題的一個重要內容,也是每年高考數學試卷中的一個熱點與難點,常考常新,數學運算量大,邏輯推理復雜,難度往往比較高,有比較好的選拔性與區分度,備受命題者關注。

此類定點問題,以動點、動直線等“動”態變化為問題場景,從“動”中尋找“靜”的狀態,圍繞定點加以運動與變化,命題新穎,知識交匯性強,思想方法融合度高,解題思路變化多端,給同學們以更多層次的思維視角與機會,充分考查同學們的數學基礎知識與數學基本能力。

1.真題呈現

高考真題:(2023 年高考數學全國乙卷理科第20 題)已知橢圓b>0)的離心率為,點A(-2,0)在橢圓C上。

(1)求橢圓C的方程;

(2)過點(-2,3)的直線交橢圓C于P,Q兩點,直線AP,AQ與y軸的交點分別為M,N,證明:線段MN的中點為定點。

分析:這道平面解析幾何問題,設問比較常規,雖然說是在極點、極線背景下的問題,卻沒有落入套路,需要踏踏實實地進行邏輯推理與數學運算。它考查了平面解析幾何的基本思想和基本方法,對同學們的邏輯推理與數學運算等方面能力要求很高。

這道題目可以很好地區分學生,選拔性強。特別涉及平面解析幾何中的定點問題,作為高考考查的一個熱點,有很多好的技巧方法和基本性質等值得探究、推廣與拓展。

2.真題破解

所以橢圓C的方程為

(2)方法1(設線法——設而不求)

要使過點(-2,3)的直線交橢圓C于P,Q兩點,則直線PQ的斜率存在且小于0。

設直線PQ的方程為y=k(x+2)+3,k<0,設P(x1,y1),Q(x2,y2)。

則Δ=(16k2+24k)2-4(4k2+9)·(16k2+48k)=-1 728k>0。

而直線AP的方程為

所以線段MN的中點為(0,3),是定點。

解后反思:設線法是解決直線與圓錐曲線的位置關系問題中最為常用的一種方法,借助直線斜率這一參數的引入,構建相應的直線方程,直線與圓錐曲線方程的聯立,消參轉化為方程問題,再結合韋達定理確定兩交點的坐標之間的關系式,為進一步的分析與求解奠定基礎。設線法往往可以達到設而不求的效果,優化數學運算與邏輯推理過程,關鍵是正確的數學運算與關系式變形。

方法2(設點法——優化過程)

設M(0,m),N(0,n),B(-2,3)。

整理得(m+n)(m-n)=6(m-n)。

由于P,Q兩點不重合,即m≠n,所以m+n=6。

所以線段MN的中點為(0,3),是定點。

解后反思:設點法往往也是解決此類直線與圓錐曲線的位置關系問題的一種常用技巧方法,而這里引入直線在y軸上的截距,利用直線的截距式方程,處理問題時簡單快捷。設點法要抓住問題的本質,從一些關鍵點坐標的設置來合理貫穿整個解題過程,使得設點的用處更加合理巧妙,對優化解題過程往往起到至關重要的作用。

方法3(平移法——簡化運算)

要使過點(-2,3)的直線交橢圓C于P,Q兩點,則直線PQ的斜率存在且小于0。

設直線PQ的方程為y=k(x+2)+3,k<0,設P(x1,y1),Q(x2,y2)。

則Δ=(24k-36)2-4(4k2+9)×36=-1 728k>0。

所以線段MN的中點為(0,3),是定點。

解后反思:借助設線法的應用,合理進行平移法的平移處理,巧妙將x+2作為一個整體來看待,可以很好地優化解題過程,簡化數學運算,這也是處理平面解析幾何繁雜運算問題中比較常見的技巧方法與思維方式。平移法對于整體化思維要求比較高,同時要注意整體的選取,以及數學運算過程中的變形與應用。

方法4(方程法——參數同構)

題中直線AP,AQ與y軸的交點分別為M,N,可設直線AP的方程為y=k(x+2),k≠0。此時令x=0,可得M(0,2k)。

則Δ=(16k2)2-4(4k2+9)(16k2-36)=1 296>0,

由xA=-2,可得

因此,P點坐標為

又設直線PQ的方程為y=t(x+2)+3,將點P的坐標代入并化簡可得12k2-36k+36t+27=0。

設直線AQ的方程為y=m(x+2),m≠0。此時令x=0,可得N(0,2m)。

同理可得12m2-36m+36t+27=0。

那么k與m是方程12x2-36x+36t+27=0的兩個根,故k+m=3。

所以2k+2m=6,即線段MN的中點為(0,3),是定點。

解后反思:方程法的解題目標是同構對應的點M,N,利用兩者所在直線的斜率之和為定值,巧妙利用直線的設置以及類比思維,轉化為兩條直線的斜率均滿足對應的二次方程,思維巧妙,在競賽及一些相關的應用中經常用到。方程法的處理可以方便問題的進一步推廣與拓展,能起到事半功倍的良好效果。

方法5(特殊點法——先猜后證)

設P(x1,y1),Q(x2,y2),M(0,yM),N(0,yN),R(-2,3)。

選取特殊情況,當直線PQ過原點時,PQ的方程為

則線段MN的中點為定點(0,3)。

如果線段MN的中點為定點,那么只能是定點(0,3)。

下面證明:當線段MN的中點為定點(0,3)時,R,P,Q三點共線。

因此kRP=kRQ,則知R,P,Q三點共線。

所以線段MN的中點為(0,3),是定點。

解后反思:特殊點法是逆推思維中通過先猜定點再證明的解題思維來分析與解決問題。這種解題思維在一定程度上比較吻合思維過程,從思路上更加容易一點,先由特殊情況探尋定點的存在性,再加以相應的推理與證明,保證解答的嚴謹性。當然如果此類問題出現在選擇題或填空題中,往往只要確定了相應的定點后,證明就可以不去考慮。

3.推廣歸納

通過以上高考真題的解析與應用,可以將問題推廣到更為一般性的結果,加以合理地歸納與應用。

該結論的證明與推理過程,可參照以上高考真題的解析過程加以一般性證明,這里不多加以敘述。

4.學習總結

4.1平面解析幾何中定點問題的解法歸納

(1)直接法——一般推理,特殊求解。

抓住題設條件,合理引參,主要是通過設點或設線等,通過直線方程與圓錐曲線方程的聯立,構建相應的關系式,結合題設條件進行合理的邏輯推理或數學運算,合理消參并結合參數的任意性來確定對應的定點問題,從而確定定點。

(2)逆推法——特殊探路,一般證明。

抓住題設條件,先從特殊情境、特殊位置入手,探尋定點坐標,逆向思維,將定點已知化,結合其他的題設條件加以合理推理與運算。這里“特殊探路”是探尋目標所在,“一般證明”是完備證明過程,這是數學嚴謹性的根本所在,在解答題中兩者缺一不可,在選擇題或填空題中可不必去證明。

4.2“動”與“靜”結合,“幾何”與“代數”融合

圓錐曲線的定值(或定點、定直線等)與最值(或取值范圍等)問題,是高考中的基本題型與熱點問題之一,其實質充分體現了平面解析幾何中“動”與“靜”的完美統一,“幾何”與“代數”的深度融合,是知識的交匯與融合,很好地考查同學們的“四基”與數學基本能力等,也是備受命題者、與同學們關注的熱點與焦點之一,在學習中要多加重視與應用。