整合到意義教學中，理解余數大小“不再多余”

余麗娜

[摘 要]除法是四則運算中的難點，因為其算理和豎式書寫格式與其他運算截然不同，因此，學生接受起來就比較困難，再加上余數的出現，更是增加了學生的理解難度。余數就是剩余的不夠整份的數，學生很難理解其比除數小的緣由。為了突破這個教學難點，教師嘗試將余數小于除數的規律的教學放到豎式教學之前，重點落在除法意義和豎式書寫上，將余數大小的規律融入情境，整合到意義的理解上。

[關鍵詞]余數；除數；帶余除法；意義；大小

[中圖分類號] G623.5 [文獻標識碼] A [文章編號] 1007-9068（2018）32-0016-02

“有余數的除法”安排在北師大版教材二年級下冊，例1是關于表內除法的豎式，例2是揭示帶余除法的意義，例3是總結歸納余數小于除數的定律。教學例2和例3后均安排了“做一做”，此部分內容被劃分為一課時。細細分析，這樣劃分課時尚欠妥當。因為學生在列豎式時就會碰到余數大于除數的問題，如果沒有學習例3，說理就會不充分。如果將余數規律前置，又會造成落實不到位。那么，是否可以將余數小于除數的規律的教學放到豎式教學之前？本文將對此做深入的探討。

—、余數難學的緣由

學生對帶余除法的橫式格式并不陌生，被除數、除數、商的意義都未變，可直接從整除除法算式中遷移過來，而余數是新生事物，于是教學重點落在余數的意義上。余數是一個新概念，有著特定的內涵和外延，概念的內涵是本質特性。對于三年級的小學生來說，余數的內涵可表征為平均分后剩下的零頭；外延是指概念所指代的所有元素。如，若除數為5，余數則有可能為1、2、3、4；若除數為7，余數則有可能為1、2、3、4、5、6……簡言之，余數要比除數小。

除法豎式是全新的算式樣態，易受加減豎式的負面影響。能否用演繹推理法，重新解讀帶余除法的豎式呢？

（1）除法豎式的形式為何呈現階梯式？如果沒有余數存在，除法豎式就和加減乘法一樣。除法豎式的階梯形，完全是為了處理余數的循環運算，它不但展示了商數和除數的積，又設計出空白處書寫余數，更能體現余數的地位和價值。

（2）如果先學表內的整除除法豎式，學生就只是根據乘法口訣一步到位得出商數，“商[×]除數”求積這一步的思考過程容易被架空。先學帶余除法，則可避免這種情況。

（3）余數比除數小的根本原因需要追溯到余數的意義。教材在闡述此規律時，只是單一地舉出除數都是5的例子，就馬上得出結論，例證不夠豐富，說服力不夠強，對于“除數是4、6、9時，余數可能是哪些數？”這個問題，有些學生就會拿余數和商數進行比較，誤認為余數比商小就行。

教材中三個例題所涉及的三個知識點不是孤立的，應該聯系起來。橫式和豎式都能展現帶余除法的意義，學習余數大小限制的規律應該安排在充分認知帶余除法意義之后。

從課的容量來考慮，應跳過豎式學習，直接進入帶余除法的內容。

基于以上理論，我做了教學改進：重點落在除法意義和豎式書寫上，將余數大小的規律融入情境，整合到意義的理解上。

二、整合資源，在意義中體現大小差異

習題1：光頭強在林場里砍伐了15棵樟樹，每輛卡車裝載5棵，可以裝載幾卡車？你是怎么想的？15、5和3分別屬于算式中的什么數？（復習除法算式和各要素意義）

習題2：光頭強后來又砍伐了19棵松樹，每輛卡車裝載5棵，可以裝載幾輛卡車？圈一圈，并用算式表示。（用圈畫的形式，將生活經驗調用到數學算術上）

思考：為什么不把最后4棵松樹也圈一圈？最后4棵如何反映到算式里？

學生的方法：[5×3+4=19]，[19÷5=3……4]，等等。

師（引導學生著重研究除法）：這個除法算式與以前學過的整除除法略有不同。

【評析：第一次對比：有余數和沒有余數。討論如何表示和處置剩下的4棵松樹，一是為了揭示余數的意義；二是得出如何在算式中演示。通過討論，突破原有的認知局限，突出余數的內涵：平均分剩下的不夠分一份的零頭，必然要比一整份的數目小。】

練習：19棵松樹，每車裝載3棵，可以裝載幾卡車？還剩下幾棵樹？請先圈畫再列式。

師：說說圈畫的結果。剛才最后剩下4棵不夠一份，為什么現在4棵又能分了？

【評析：這是第二次對比。通過對比剩下的棵數，引發學生的好奇心，從而得出“余數夠不夠分一份，要看具體除數是多少，也就是一份的數額”。】

師：余數是怎么產生的？

【評析：改變除數，集中討論“余下4棵”能不能再圈的問題，在對比中突出余數和除數的關系，使學生知曉余數的產生過程。】

師（出示圖1）：帶余除法也有豎式。你能結合圈畫過程說說其中每個數的意義嗎？

【評析：為了在算法中滲透算理，先讓學生自行探討豎式的意義，結合圈畫理解每個數的意義，從而達到理解余數的目的。】

三、練習鞏固，內化余數的大小定律

習題1：先圈畫，再寫出橫式和豎式。

（1）12塊巧克力，每人分5塊，可以分給幾個人？還剩幾塊？

（2）12塊巧克力，每人分4塊，可以分給幾個人？

師（重點分析第（2）題）：分配之后有剩余嗎？豎式中兩次出現數字12，兩個12意義一樣嗎？余數為什么是0？這其實就代表整除。

【評析：第（1）題是為鞏固帶余除法的運算，第（2）題則是通過帶余除法揭示整除的本質。這樣，把整除整合到帶余除法里，重點辨析豎式中2個12的含義和區別，以及余數是0的特殊情形，就能說明整除是一類特殊的帶余除法的事實。】

習題2：請你猜測圖中的小動物各代表數字幾。

師（重點解說第（2）題）：這題有多種填數方案。我把大家的方案展示如下，請指出錯誤的豎式。

師：觀察框內的兩個豎式，請你通過畫圖的方式說說為什么錯了。

【評析：把豎式轉換成圖形，并指出錯誤，既是梳理和總結知識，又是對新知的應用，為總結規律提供了豐富的實證，詮釋了余數與除數的關系。】

綜上所述，要想在有限的時間內用科學合理的課時量完成帶余除法的教學，并讓學生深刻理解余數要比除數小的原理，教師必須調整教學順序，整合教學資源，這樣才能取得事半功倍的效果。

[ 參 考 文 獻 ]

[1] 蘇菲芷.小學數學練習課自省“四步曲”——以“用有余數的除法解決問題練習課”為例[J].吉首大學學報（社會科學版），2016，37（S1）：226-228.

[2] 藺秀平.小學數學“有余數除法”的教學分析[J].中國校外教育，2015（19）：103.

（責編 童 夏）