對“小數乘整數”的教材編排的思考

王小平

[摘 要]教師都知道算理的重要性，但是算理是內在的心法，不易被檢測與滲透，而算法是可短期內奏效的招式，于是，教師養成了用“短平快”的不完全歸納法來代替算理的習慣，再加上教材編排的不合理，就導致了學生理解算理的能力每況愈下。

[關鍵詞]質疑；不完全歸納法；算理；教材

[中圖分類號] G623.5 [文獻標識碼] A [文章編號] 1007-9068（2018）32-0041-01

“小數乘整數”編排在蘇教版教材五年級上冊，教材設置現實情境，隱含問題，通過觀察、猜想、驗證等程序，以及不完全歸納法，推斷出“小數是幾位小數，積就取同樣多的小數位數”的結論。換句話說，教材對于小數乘整數的法則推導，是基于有限個個案進行不完全歸納而得出的。筆者認為這種做法有待商榷。

一、質疑不完全歸納法的科學性

不完全歸納推理是通過隨機抽樣并對比若干個考查對象，從中概括出研究材料的普遍特征。在小學階段，大部分數學結論都是通過不完全歸納法得出的，并沒有經過嚴密的邏輯論證，這主要是顧及學生的思維狀態、心理接受能力、智力發展水平等因素。因此，教材根據計算器的計算結果，只是讓學生觀察乘積的小數位數和因數的小數位數之間的關聯，運用的是簡單枚舉歸納法。在進行不完全歸納的過程中，教材只是研究確定了考察對象的部分元素，但是做出的結論卻是針對全體研究對象的，缺乏說服力，其科學性和權威性仍需依仗演繹推理來證實，但課本并未給出嚴謹的演繹推理公式。

二、不可忽視的算理

算法是機械化的，學生只要按照既定程序勤加練習，形成條件反射，在遇到相同或相似模型時，都可以靠經驗導出結果。這也表明，曾經的計算教學，我們并沒有養成學生邊計算邊運行算理的思考習慣。課程改革的深入對學生的算理理解能力的要求也越來越高，我們應該提高覺悟：學生需要掌握算法，但計算時更應用算理的心法來指導算法，使算理和算法協調統一，相輔相成。

“為什么乘積的小數位數和因數的小數位數相同？”如果只簡單地根據幾個算式便妄下斷語，充其量是在找規律，不是探究算理。算理的缺位，導致學生對乘法算式只會做程序上的套用，再加上受到加法中“小數點對齊”的負遷移，列豎式計算時錯誤頻發。基于以上事實和反思，筆者認為教材可以做適當改進，在算法中滲透算理。計算方法的練習要以理解算理為基礎，通過揣摩和吸收算理來鞏固和助力算法，以提高計算的正確率。

“小數乘整數”的算理是什么？華羅庚曾說：“數（shù）起源于數（shǔ），量（liàng）起源于量（liáng）。”其實每個數都是度量結果的量化記錄，是計數單位的累加。整數、小數、分數的加減法莫不如是，都是對同類計數單位的累加或者遞減。

對于小數乘整數的算理，也可以從小數的意義以及計數單位的幾何倍增角度來理解。以“0.7×3”為例，它表示求3個0.7的和，因為0.7的計數單位是0.1，它里面有7個0.1，于是0.7×3的積里面就有7×3=21（個）0.1，21個計數單位0.1累計起來就是2.1。

學生在經歷探究后，重新觀察、比較積的小數位數與兩個因數的小數位數的關系，就能概括出小數乘小數的一般方法：先把兩個因數去掉小數點視為整數，計算出整數結果后，再根據兩個因數的總小數位數確定積的小數位數。計算時要同步思考的算理：過渡的整數積其實就是新的計數單位的個數。而借助積的變化規律來解釋小數乘法中小數點的處理屬于科學歸納法的范疇，不能認作算理。

三、教材永遠值得完善

教材中素材的安排展現了知識結構，數學教學要高屋建瓴，將學習過程與知識邏輯鏈接起來。

筆者認為，“小數乘整數”和“小數乘小數”這兩個內容應該并作一個教學單元，而蘇教版教材將它們分設為兩個單元，并在中間插入其他知識，如此一來，小數乘法計算法則的完整性被破壞，學生也很難對計算法則建立系統認知，阻礙了學生計算技能的形成。為了消除不良影響，教師在教學“小數乘整數”時就應傳遞“小數乘法”算理的強烈信號，對相關計算及時歸納總結，揭示算理，以輔助學生完善認知。

綜上所述，教師要做到妥善處置教材編排順序，并在內容上相互鏈接印證，避免分散割裂，讓教學內容既循序漸進，又經絡通達。