對學生發現和提出問題的理性思考與建議

寧連華　蔡甜甜

【摘 要】縱觀義務教育及普通高中數學課程標準的若干次修訂，學生從數學角度“發現和提出問題”的能力越發受到重視。發現和提出問題是創新的基礎，常可通過類比、變式、反思等方式進行。結合學生發現和提出問題的教學實踐，就其中存在的問題提出幾點思考與建議：將發現和提出問題的主動權還給學生，引導學生提出高質量的好問題，積極創設恰當的問題情境，營造鼓勵學生質疑提問的和諧氛圍，提高教師自身提出和解決問題的能力。

【關鍵詞】發現問題；提出問題；學生；方式；思考與建議

【中圖分類號】G633.6 【文獻標志碼】A 【文章編號】1005-6009（2018）67-0021-04

【作者簡介】1.寧連華，南京師范大學（南京，210097）數學科學學院課程與教學研究所教授，博士生導師；2.蔡甜甜，南京師范大學（南京，210097）教師教育學院研究生。

20世紀80年代初，全美數學教師聯合會（NCTM）掀起一場以“問題解決”為核心的數學教育改革運動。到20世紀80年代末，隨著對“問題解決”的不斷反思，“問題提出”教學研究開始走進課堂，成為數學教育界普遍關注的研究話題。[1]近年來，隨著新課程改革向縱深推進，學生“發現和提出問題”能力的培養越發受到關注，《普通高中數學課程標準（2017年版）》在課程目標中就明確指出，“提高從數學角度發現和提出問題的能力、分析和解決問題的能力”。[2]

然而，目前在培養學生發現和提出問題的能力方面仍未取得重大突破。鑒于此，有必要在已有研究基礎上對學生發現和提出問題的內涵、方式等進行理性分析與反思，以期讓學生發現和提出問題成為教學的常態，更好地培養學生的問題意識與創新思維能力。

一、發現和提出問題的要義分析

1.發現問題和提出問題的內涵。

20世紀90年代以來，教師和研究者從“問題意識”的視角對數學教學中的“問題提出”進行了研究，關注對學生發現和提出問題能力的培養。所謂“發現問題”，是指經過多方面、多角度的數學思維，從表面看來沒有關系的一些現象中找到數量或空間方面的某些聯系，或者找到數量與空間方面的某些矛盾，并把這些聯系和矛盾提煉出來。所謂“提出問題”，是在已經發現問題的基礎上，把找到的聯系或矛盾用數學語言、數學符號集中地以“問題”的形態表述出來。[3]

發現問題與提出問題常被同時提及，但其實二者之間仍有細微的差別。數學教學中的發現問題，側重用數學的眼光觀察世界、用數學的思維思考現實世界，指在現實情境中觀察、分析，思考是否存在值得研究的有關對象數量關系和空間形式的問題，更強調“問題意識”；而提出問題則側重用數學的語言表達現實世界，指在發現問題的基礎上，用數學語言將問題清晰地表達出來，明確的問題表述是分析、解決問題的必要條件。簡言之，發現問題為提出問題奠定了基礎，提出問題是對發現問題的完善。

2.學生發現和提出問題的重要性。

創新意識的培養是現代數學教育的基本任務，學生發現和提出問題是創新的基礎。[4]高校教師常反映大學生的模仿能力強，而創新思維能力弱，這也從側面反映了中學數學教學在培養學生發現和提出問題的能力方面仍有所欠缺。不少學生經過訓練，解題能力較強，但是卻不會發現問題，也不善于提出問題。其實，數學的發展是“發現和提出問題”與“分析和解決問題”不斷交替的過程，解決問題固然重要，發現和提出問題的作用亦不可忽視。如果只有解決問題，缺少發現問題的環節，思維元就不能形成“群”狀結構。[5]

從思維的創造性價值角度看，“發現、提出問題”和“分析、解決問題”，與合情推理和演繹推理也有幾分相似。合情推理與演繹推理是推理的兩大常見形式，兩者相輔相成，共同構成了數學發現的全過程。數學教育家波利亞在《數學與猜想》中指出：“數學的創造過程是與任何其他知識的創造過程一樣的，在證明一個定理之前，你先得猜這個定理的內容……數學家的創造性工作成果是論證推理，即證明；但是這個證明是通過合情推理，通過猜想而發現的。”[6]在論證一個命題前需要由合情推理來提出猜想，正如在解決一個問題前需要先發現和提出問題。分析和解決問題的過程中常需用到演繹推理，而合情推理則是發現和提出問題的重要來源。合情推理在創新方面有演繹推理難以替代的重要作用，同樣地，讓學生發現和提出問題也是培養創造性思維和能力的重要環節。

二、發現和提出問題的常用方式

在有些學者看來，“發現和提出問題”甚至比“分析和解決問題”更為重要，愛因斯坦就曾說：“提出一個問題往往比解決一個問題更有意義。”誠然，沒有數學問題的提出就不會有數學問題的解決，也就沒有數學的發展。在數學教學中，教師可以考慮通過類比、變式、反思等方式，引導學生發現和提出問題。

1.類比。

類比是中學數學教學中常用的思想方法，也是提出猜想、進行數學研究的重要途徑。很多數學內容之間都存在著相似的屬性，可通過類比的方法來提出猜想。不同維度間可以進行類比，如立體幾何的學習可以類比平面幾何，從低維向高維進行推廣；“式”與“數”之間也可進行類比，如對分式的研究可以類比分數的學習來進行。在數學教學中，教師可以引導學生思考將要學習的數學對象與已經學過的內容之間是否存在相似性、能否進行類比，預測將從哪些方面研究新的數學對象，在此過程中往往就能發現和提出新的問題。

2.變式。

變式訓練是中學數學教學中的常見活動，也是發現和提出問題的途徑之一。解決一個問題之后，嘗試改變問題的條件或結論，對結論進行一般化的推廣，或者反過來思考命題的逆命題是否成立等，這樣的變式都將提出新的問題。美國學者布朗與沃爾特提出了基于給定的數學問題而提出問題的“what-if-not”策略，即考慮：如果不是這樣的話，那又可能是什么？也被稱為“否定假設法”。[7]這也是進行變式的一種思路。教師指導學生在已經解決的數學問題基礎上，提出變化的或拓展的數學問題，是在數學教學中落實學生發現和提出問題的一種可行方式。

3.反思。

教材所呈現的例題、習題多數都是典型問題，教師應當鼓勵學生對解題過程進行積極的反思。正所謂溫故知新，反思有時也是創新的來源。數學教師在課堂教學中，可以帶著學生進行解題反思，引導學生總結、歸納、拓展與發現，在反思中學會創新，從多角度對已解決的問題進行發散思考，這也是發現新問題的一種方式。問題解決后的回顧與反思，不僅可以提高解決問題的能力，還可為后續發現和提出問題做準備。

三、思考與建議

基于上述對發現和提出問題的內涵、重要性及常用方式的分析，結合當下數學教學中學生發現和提出問題的現狀，就教學實踐中存在的問題提出一些思考與建議。

1.將發現和提出問題的主動權還給學生。

不少數學教師都嘗試通過開展探究性活動、合作學習等方式，引導學生自主發現和提出問題。例如，數學教師常會創設情境，并以問題串的形式引導學生提出問題，以此引入本節課的學習內容。在引導學生發現和提出問題的過程中，教師適當進行啟發性提示，為學生搭建腳手架，這是值得提倡的。然而，如果教師的提問指向性太明顯，或者提示得過細，就會限制學生的思維，或許從表面上看學生也按照教師的要求“提出”了問題，但這并不是真正的學生發現和提出問題應有的形態。也有的教師雖然鼓勵學生自主地從情境中發現、提出想要研究的問題，也給了學生充分表達自己想法的空間，但卻未給予學生恰當的反饋，并沒有認真思考學生提出的問題，仍然按照教學設計中預設的問題展開教學。這種情況下，所謂的學生發現和提出問題只是流于形式，恐怕難以取得預期的教學效果。

為切實提高學生發現和提出問題的能力，培養其創新意識，數學教師應留給學生充分的時間、空間去思考，鼓勵學生提出自己感興趣、想研究的問題，并且充分利用學生提出的問題資源，引導學生積極探索，發揮學生主體性，將發現和提出問題的主動權還給學生。

2.引導學生發現和提出高質量的好問題。

希爾伯特曾說“數學問題是數學的靈魂”。問題的提出是獲取新數學知識的基礎，發現和提出問題作為創新的第一步具有重要價值，這是不爭的事實。然而在數學教學中，學生有時會提出非數學的、無價值的不太理想的問題，甚至是不構成問題的表述。試想若提出的問題本身就不恰當，在不合理題設的基礎上進行的問題解決、得到的結論，也就都失去了意義。因此，學生不僅要能發現和提出問題，更要能發現和提出高質量的好問題，問題的明確性、現實性、數學性等都是值得關注的重要指標。學生所提出的問題應有一定思維含量與研究價值，但又不能太過深奧。太容易了，沒有探究的基礎；太困難了，探究就無法進行。[8]

已有研究從不同角度探索了促進高質量問題提出的策略，如探索問題情境的機會以及解決類似問題的經驗能幫助學生提出高質量的問題，運用證明、逆向思考、特殊化、一般化和推廣等“基本數學過程”由已知問題提出新的問題等。[9]此外，教師對學生提出問題的態度與處理方式，也會影響學生提問的水平。數學教師應及時對學生問題進行分析、篩選，給予學生恰當的反饋，幫助學生理解何為高質量的好問題，逐步提高發現和提出問題的能力。

3.積極創設恰當的問題情境。

問題源于情境，歷史上諸多教育家都提倡過問題情境教學。最早可追溯到蘇格拉底的問題教學法或談話法；杜威也曾提倡過問題教學，其核心就是問題情境；布魯納提出的發現法也主張創設問題情境。創設數學情境，就是呈現給學生刺激性數學信息，引起學生學習數學的興趣，啟迪思維，激起學生的好奇心、發現欲，產生認知沖突，誘發質疑猜想，喚醒強烈的問題意識，從而使其發現和提出數學問題，解決數學問題。[10]創設恰當的情境有助于學生理解數學與生活的聯系、增強學生的數學應用意識，是促使學生發現和提出問題的重要策略。

創設問題情境，不僅要有利于學生從中發現和提出問題，也要關注情境的現實性與數學性。教師在創設與學生實際生活相關的問題情境時，必須注意情境的真實性，不能出現常識性錯誤，不可違背事實。從實際情境中提出數學問題時，常需進行恰當的簡化與假設，應當讓學生經歷這一提出問題的重要環節，而不是將已經簡化得不符合現實的情境直接展現給學生，否則反而會影響學生探究的積極性。

4.營造和諧氛圍，鼓勵學生質疑提問。

縱觀中小學數學課堂，會發現小學生常常很積極地回答教師提出的問題，并且很渴望有機會表達自己的想法。而隨著年齡增長，中學生尤其是高中生，似乎不太愿意在課堂上舉手發言，主動發現和提出問題的頻率也有所降低。學生不愿提問、提不出問題，其實與教師的教學方式和課堂氛圍有很大關系。美國心理學家羅杰斯曾指出，一個人的創造力只有在感覺到“心理安全”和“心理自由”的條件下，才能獲得最優表現和發展。所以，教師應該營造和諧安全的課堂氛圍，給予學生自由的思考空間，讓學生在融洽的師生關系中，敢于、樂于表達自己的想法，提出感興趣的問題，創造性地發揮潛能。

有些學生會認為提出問題是教師的事，教師提的、書上給的就一定是好問題，這些錯誤觀念都會阻礙學生發現和提出問題。為破除“唯書”“唯師”的思維定勢，教師在教學中應鼓勵學生思考、質疑，多給學生提問的機會。即使有時學生提出的問題可能不太理想，但學生提問的行為還是值得鼓勵的，教師應引導學生發現更有價值的問題，而不是直接回避或否定學生的問題，否則會打擊學生發現和提出問題的積極性與自信心。

5.教師自身提出和解決問題的能力也有待提高。

“要給學生一杯水，教師得有一桶水。”為了培養學生發現和提出問題的能力，教師也應注重提升自身的數學素養、問題意識與創新思維能力，這樣才能給予學生更有效的幫助。模仿是學生學習的一種重要方式，這同樣也適用于對創新思維的培養。教師可以向學生示范發現和提出問題的思維過程，讓學生在模仿中反思與創新，逐漸學會如何發現并提出問題。教師提高自身提出和解決問題的能力，也有助于更準確地判斷學生的困難所在，更科學合理地應對學生提出的問題。

從數學的角度發現和提出問題始終是數學教育的重要任務。本文對如何在數學教學中促進學生發現和提出問題進行了理性思考，希望數學教師在教學實踐中更加重視培養學生發現和提出問題的能力，進行更有效的數學教學。

【參考文獻】

[1]夏小剛.國內外數學問題提出教學研究的回顧與反思[J].數學教育學報，2005（03）.

[2]教育部.普通高中數學課程標準（2017年版）[S].北京：人民教育出版社，2017.

[3]教育部基礎教育課程教材專家工作委員會.義務教育數學課程標準（2011年版）解讀[M].北京：北京師范大學出版社，2012.

[4]教育部.義務教育數學課程標準（2011年版）[S].北京：北京師范大學出版社，2012.

[5]張利兵，涂榮豹.反思課本例習題引導學生發現問題[J].中學數學教學參考，2005（C1）.

[6]G·波利亞.數學與猜想（第一卷）——數學中的歸納和類比[M].李心燦，王日爽，李志堯，譯.北京：科學出版社，2001.

[7]溫建紅.論數學教學中學生提出問題的意義及培養策略[J].數學教育學報，2014（01）.

[8]約翰·杜威.我們如何思維[M].伍中友，譯.北京：新華出版社，2010.

[9]孫雨瀾.數學教育中的“問題提出”：一些已經解決和未解決的問題[J].中學數學月刊，2017（10）.

[10]呂傳漢，汪秉彝.再論中小學“數學情境與提出問題”的數學學習[J].數學教育學報，2002（04）.