以無限逼近的思想解釋函數圖像的本質問題

范永華

摘 要：本文通過一系類數學的哲學性的原理解釋，運用點的連續(xù)與無限，運用數學思想實驗來對圖形進行無限分割，分割的任意多與任意小，以微觀和宏觀的角度解釋了函數圖像的本質問題。

關鍵詞：連續(xù)；無限；數學思想實驗；任意??；極限

中圖分類號：G633.6文獻標識碼：A 文章編號：1992-7711（2018）22-073-1

一、為什么一次函數的圖像會是一條直線

在蘇科版教材八年級上冊，首先我們先追尋教材的教學思路：

創(chuàng)設情境：觀察下面的圖片，你能得到哪些信息？

探究活動

1.列表，請將觀察的結果填入下表：

2.設香長為y（cm），點燃時間為x（min），你能寫出y與x的關系式嗎？

3.描點：以x軸表示點燃時間，以y軸表示香的長度，建立直角坐標系，分別描出點（0，16），點（5，12），點（10，8），點（15，4），點（20，0）。

4.觀察：描出的5個點在同一條直線上嗎？

這里就有一個問題產生了，有一些愛思考的學生會追問：“老師，這五個點表面上看是在一條直線上。但是這樣的結論未免太過于草率，因為有可能這些點或許在直線上面（不是鑲嵌在直線上）一點點，或許在直線下一點點，也就是或許存在著誤差，我們不能只是通過觀察就得到結論，所描出的5個點在同一條直線上”。

二、為什么反比例函數與二次函數的圖像要用平滑的曲線

在蘇科版教材八年級下冊，關于反比例函數的圖像，書上的語言表述為，用平滑的曲線順次連接第一象限內的各點，于是又有一些同學提出問題：第一為什么是平滑，第二為什么是曲線，反過來為什么不能用線段連接呢？

三、解答這兩個問題

解答這兩個問題的基礎是，我們都是探討函數的圖像，那么我們問題的起源還是函數的概念與內涵。下面就四個層面加以分析：

1.連續(xù)與無限

首先，我們復習一下函數的定義：在一個變化的過程中有兩個變量x與y，并且對于變量x的每一個值，變量y都有唯一的值與它對應，那么我們稱y是x的函數。期中變量x是自變量，變量y是因變量。

第二，我們尋找關鍵詞，對于變量x的每一個值。也就是說函數的自變量與因變量都有一限定的范圍，在這個范圍內，或者在不同的取值區(qū)域內，自變量x取值都是連續(xù)，因為是連續(xù)，這里就涉及到另一個概念，無限。也就是變量x的取值是無限的，連續(xù)的。

第三，既然是連續(xù)的，無限的，這里這不僅僅是教材所引導的那樣，對于一次函數、反比例函數，教材僅僅提供了幾個有限的點。

第四，無論對于一次函數，還是反比例函數的圖像，其本質都是無限個點組成。

2.任意多與任意小

第五，我們仍然還要回答，什么是無限。無限就是很多個點，多到可以任意得多，這個很多又是一個模糊的概念，就是多到你可以無限多的添加，舉了例子，劉輝的割圓術，就是中國無限思想的典型代表。

第六，我們還要梳理一個問題，即使是無限多個點，多到點的密度極大極大，但是點與點還是有距離的，那怕這個兩個點非常微小。這兩個點還是有距離的。

第七，這兩個點還是有距離，我們還是要回答：這兩個點可以插入任意多個點，對于最接近的兩個點，我們永遠可以任意去添加任意多個點，可以無限的重復這個過程。

3.直線段連接

第八，就算是無限的重復這個過程任然存在點與點的距離，那么這兩個點與點的距離，如果我們用線連接，使用線段呢，還是曲線段呢，我們就用線段連接。

4.微觀之無限逼近與宏觀的圖像

第九，從微觀的角度，我們是用線段，而非曲線段連接兩個最靠近的點。這個線段可以小，可以小到任意的小。為什么可以小到任意的小，以為我們在兩個最靠近的兩個點可以多，可以任意多的添加點。于是我們自然而然就產生了我無限逼近的思想。無限逼近到對于兩個點的距離幾乎為零。幾乎為零，還能小到負數嗎？不可以，所以這個兩個點的距離為零就是一個極限了。

第十，從宏觀的角度，對于一次函數的圖像就是一條直線，對于反比例函數與二次函數就是曲線，于是得到的圖像是平滑的曲線。

這便是用無限逼近的思想解釋關于函數圖像的本質問題。