時變偏Granger因果關系檢驗及其應用

高 偉，郭思圻，鄭佳偉

（西安財經學院 統計學院，西安 710100）

0 引言

傳統的Granger因果性檢驗方法基于時間不變模型，不能捕捉時間序列的動態行為。近年來，時變Granger因果性的研究得到了發展，Ding等（2000）[1]假設序列在短期時間段是平穩的，研究了模型擬合算法得到時變Granger因果性。Hesse等（2003）[2]基于自適應遞歸擬合帶有時變參數的VAR模型，用遞歸最小二乘算法，研究了Granger因果性的線性遞歸時變估計。Li等（2012）[3]提出的時變Granger因果性線性估計方法允許檢測瞬時因果聯系，推廣了Granger因果性的非線性參數方法，研究多維時間序列時變因果聯系。Zhao等（2013）[4]引入基于參數的建模方法描述時變線性和非線性Granger影響，追蹤其隨時間的變化，進行模型選擇和預測。Lu等（2014）[5]提出了時變Granger因果性檢驗統計量，檢驗單向、雙向和同期因果影響，用于檢測全球原油市場的時變信息流動，但僅是關于兩個序列之間的檢驗，沒有考慮到其他變量的影響。而國內關于動態因果關系研究較少，本文主要研究動態直接Granger因果性的檢驗方法，將兩個序列間的Granger因果性推廣到多維時間序列情形，檢驗給定其他序列條件下序列間的直接Granger因果關系。

1 時變偏Granger因果關系

1.1 時變偏Granger因果關系定義

定義1：設p維時間序列Xt= （X1，t，X2，t，…Xp，t）′，t=1，2，…，T?？紤]分量序列Xi，t和Xj，t，i，j∈{1 ，2，…p}之間的偏Granger因果關系，假設：

其中為 在t-1時刻 ，序 列{Xm，t}，m=1，…，j-1，j+1，…，p所包含的的信息集是給定t-1時刻的信息條件下Xi，t的條件期望；ui，t為殘差序列。

定義t時刻uj，t對ui，t,ui，t對uj，t的滯后k∈{0，1，2，…}（非負整數）階偏相關系數如下：

（1）如果 ?k，使得ρij，t（k）≠0 ，則在t時刻Xj是Xi的偏Granger原因，稱Xj和Xi之間存在單向偏Granger因果關系，記為Xj→Xi。

（2）如果 ?k，使得ρji，t（k）≠0 ，則在t時刻Xi是Xj的偏Granger原因，稱Xi和Xj之間存在單向偏Granger因果關系，記為Xi→Xj。

（3）如果 ?k，l，使得ρij，t（k）≠0 ，ρji，t（l）≠ 0,則在t時刻Xj與Xi有雙向時變偏Granger因果關系記為Xi?Xj。

由定義1的式（1）和式（2），對于考慮Xi，t和Xj，t之間的偏Granger因果關系，殘差ui，t為去掉除Xj，t外其他變量過去值的影響后，序列Xi，t的殘差；殘差uj，t為去掉除Xi，t外其他變量過去值的影響后，序列Xj，t的殘差。如果給定所有其他變量條件下，Xj，t的過去對Xi，t有影響，則這部分信息將包含在殘差ui，t中，導致殘差序列ui，t和uj，t之間存在相關關系。如果給定所有其他變量條件下，Xi，t的過去對Xj，t有影響，則這部分信息將包含在殘差uj，t中，導致殘差序列uj，t和ui，t之間存在相關關系。

1.2 時變偏Granger因果關系檢驗

考慮Xi，t和Xj，t，i，j∈{1 ， 2，…p}之間的時變偏Granger因果關系，根據定義1，需要計算t時刻隨機變量ui，t和uj，t之間的相關系數。由于時間序列數據的特殊性，在一個時刻只有一個觀測值，對于平穩時間序列，t時刻隨機變量的統計量常結合t時刻前后觀測值來進行估計，即選擇合適的時間區間[t-S+1，t]內的觀測值，計算樣本統計量。

另外一個需要考慮的問題是滯后值k∈{0，1，2，…}（非負整數）的選擇，由于觀測時間的影響，不可能得到所有滯后階數上的樣本相關系數，只能根據一部分滯后階數的結果進行判斷。一般考慮構造一段滯后值（如k=1，2，…S-1階）上的相關系數的函數作為檢驗統計量推斷Granger因果關系[6]。下面介紹具體方法和步驟。

不失一般性，假設要檢驗分量序列X1，t和X2，t之間的時變偏Granger因果關系，由定義1，首先建立VAR（q）模型，其中q為給定的最大滯后值：

分別得到X1，t和X2，t給定其他分量序列（分別為除X2，t和X1，t外）滯后影響下的標準化殘差序列u1，t和u2，t，t=1，2，…，T。

為判斷時變Granger因果性，Hong（2001）[6]提出Rolling子樣本上的Hong檢驗方法，本文將的方法應用到時變偏Granger因果性的檢驗。

對于選定的子樣大小參數S，S＜T，計算抽樣區間[t-S+1，t] 內u1，t和u2，t的滯后k階樣本互協方差：

計算u2，t對u1，t的滯后k階樣本互相關系數：

u1，t對u2，t的滯后k階樣本互相關系數：

其中C11，t（0，S），C22，t（0，S）為u1，t和u2，t的子樣本方差，r12，t（k，S），r21，t（k，S）稱為Rolling偏相關系數。

Hong（2001）[6]證明，如果序列u1，t和u2，t是相互獨立的且存在2階矩，則：

基于以 上定義的 Rolling 偏相關系數r12，t（k，S）和r21，t（k，S），構造 Rolling Hong 檢驗統計量，定義t時刻X2→X1的單向Rolling Hong檢驗，判斷單向時變偏Granger因果關系：

定義t時刻X1→X2的單向rolling Hong檢驗統計量：

定義t時刻X2?X1的雙向Rolling Hong檢驗，判斷雙向時變偏Granger因果關系：

其中K（x）是核函數，M是一個正整數,C1S（K），D1S（K），C2S（K）和D2S（K）按下面方法估計[7]：

Hong（2001）[6]證明，在合適的正則化條件下，如果序列X1，t和X2，t相互獨立，則Rolling Hong檢驗統計量服從漸近正態分布?？梢宰C明，類似的結果對于本文的偏相關統計量仍然成立，即：

根據文獻[7]，本文實證研究中核函數選擇Barttlett內核：

Hong（2001）[6]指出,Rolling樣本S的大小影響檢驗的有效性，并提出用Belle（2008）[7]的方法計算S，本文采用同樣的方法選擇S=100。

綜合上述結果，時變偏Granger因果關系的檢驗步驟如下：

步驟1:建立VAR模型，計算模型的標準化殘差；

步驟2:計算ui，t的滯后k階相關系數ri，t，i=1，2 ；

步驟3:根據確定的子樣大小參數S，核函數K（x）和參數M，計算時變偏Granger因果關系檢驗統計量和的值；

步驟4:判斷t時刻因果關系的存在性，顯著性水平α=0.01，若（S）＞ 2.33，i=1，2;（S）＞2.33，則稱t時刻對應的單向（雙向）偏Granger因果關系是顯著的。

2 實證

2.1 數據來源及預處理

本文選取2010年1月5日至2015年7月23日上證指數、深證指數、恒生指數的日收盤價數據作為原始數據，共1345組數據，數據來自于搜狐財經。

用Pt表示第t天股票市場的收盤價格，計算每日對數收益率Rt：

圖1 上證股市、深證股市和香港股市日收益率數據圖

從三個股市的日對數收益率序列圖1可以看出，上證股市、深證股市和香港股市的日收益率波動整體上不是太大，在2015年之后有一段時間的大幅度波動。

2.2 時變偏Granger因果關系檢驗

用提出的偏Granger因果關系檢驗方法對上證股市、深證股市、香港股市的日收益率進行分析。并且和Rolling Hong基于兩個序列的檢驗結果進行比較。結果見圖2。

圖2 時變Granger因果關系檢驗結果

觀察圖2中數據的結果，可以發現：

（1）上證綜指與恒生指數的Roling Hong檢驗的結果與時變偏Granger因果關系檢驗的結果相比，由圖2（a）可以發現運用時變偏Granger因果關系檢驗方法檢驗的上證綜指對恒生指數的單向因果關系比運用Rolling Hong檢驗方法所檢驗出的結果要小很多。圖2（b）和（c）表明恒生指數對上證綜指的單向因果關系、兩指數的雙向因果關系都沒有明顯的不同。結合圖2（f），上證綜指和深證成指有著顯著的雙向因果關系，所以，當在研究上證綜指與恒生指數之間的因果關系時，深證成指是一個很大的影響因素。當剔除掉深證成指的影響之后，上證綜指對恒生指數的單向因果關系不再顯著，表明兩個序列的因果關系檢驗結果收到第三個變量的影響，而時變偏Granger因果檢驗可以剔除其他變量的影響，更客觀反映兩個變量之間的直接關系。

（2）圖2（d）、（e）、（f）表明上證綜指與深證成指的Rolling Hong檢驗的結果與時變偏Granger因果關系檢驗的結果基本相同，沒有特別明顯的變化，說明滬深股市的變化受香港股市等外來因素的影響很小，和朱宏泉等（2001）[8]的研究結果一致。

（3）深證成指與恒生指數的Roling Hong檢驗的結果與時變偏Granger因果關系檢驗的結果相比和上證綜指與恒生指數的結果相似，此處略去。

3 結論

本文引入了偏相關的方法，將Lu等（2014）[5]提出的兩個序列間時變Granger因果關系的rolling Hong檢驗方法進行推廣，研究兩個時間序列給定所有其他分量序列條件下的動態Granger因果關系。應用到中國股市的結果表明，時變偏相關Granger因果關系檢驗得到的結果均比Rolling Hong檢驗研究出的結果要穩定，時變偏Granger因果關系檢驗方法相對于傳統原始的Granger因果關系檢驗，剔除了其他變量的影響，研究兩個序列之間直接的動態Granger因果關系。