概率四問待澄清

甘志國

數學學習能夠培養人的理性思維，在概率中，存在一些似是而非的問題，需要通過明澈的理性思維加以明辨、澄清，以下即為其中四個.

1.已經試驗過的事件不是隨機事件

讀者可以認真領會“已經試驗過的事件不是隨機事件”這句話是正確的，也可參見筆者發表于《中學數學雜志》2004年第7期的文章《已經試驗過的事件不是隨機事件》.

例1 （某教輔（2012年版）作業題）下列事件中，隨機事件的個數為

（）

（1）方程ax+b=0有一個實數根；

（2） 2009年5月15日，去美國旅游的小王感染甲型HIN1流感；

（3）在常溫下，焊錫融化；

（4）若a>b，那么ac>bc.

A.1

B.2

C.3

D.4

錯解 選C.（1）、（2）、（4）是隨機事件，（3）是不可能事件，

注 應選B.（2）不是隨機事件.因為“2009年5月1 5日”已經過去，談不上“可能發生或不發生”，也談不上“事先預測”.若把“2009年5月15日”改成“2019年5月15日”（現在是2018年），則此事件是隨機事件.

2.概率為1的事件不一定是必然事件，概率為0的事件不一定是不可能事件

有不少讀者認為，必然事件的概率為1，不可能事件的概率為0，反過來敘述也是正確的，即有：概率為1的事件一定是必然事件，概率為0的事件一定是不可能事件，實際上，它們均不對，

這在幾何概型中容易舉出反例：

反例 假設一質點T可隨機地落在線段[0，2]上，記“質點T落在線段[0，2]的中點1上”為事件A，“質點T落在線段[0，2]上”為事件B，“質點T落在線段[0，2]上但不落在端點0也不落在中點1上”為事件C.

有P（A）=0，P（B）=P（C）=1，但C不是必然事件，A也不是不可能事件.

3.當P（A∩ B） =0時，不能得出A，B互斥；當P（A∪ B）=P（A）+P（B）時，也不能得出A，B互斥

若A，B互斥，則P （A ∩ B）=0；但是，若P（A ∩1B） =O，卻不能得出A，B互斥.這是因為P（A∩B）=O即事件A，B同時發生的概率為0，但還是可以同時發生的，所以它們不互斥.

比如，選A，B為上文所舉反例中的事件A，B，則A ∩B =A，P（A ∩B）=O，而A，B可以同時發生，即不互斥.

由公式P（A∪ B）=P（A）+P（B）P （A∩ B）可知，P（A ∪ B）=P（A）+P（B）<=>P （A∩B）=0，所以“當P（A∪B）=P（A）+P（B）時，也不能得出A，B互斥”.

例2 （某教輔（2012年版）作業題）若P（A∪B）=1，則互斥事件A與B的關系是 （）

A. A，B之間沒有關系

B.A，B是對立事件

C.A，B不是對立事件

D.以上都不對

錯解 選B.因為P（A∪B）=P（A）+P（B）=1，所以P（A）=1-P（B）.由對立事件的概率的性質和公式知A，B是對立事件.

注 應選D.顯然A，B可以是對立事件；若選A，B分別為上文所舉反例中的事件A，C，則事件A，B符合題設，但A，B不是對立事件.

例3 （普通高中課程標準實驗教科書《數學3.必修A版>（2007年第3版）第142頁B組第2題）若P（A∪ B）=P（A）+P（B）=1，則事件A與B的關系是（）

A. 互斥不對立

B.對立不互斥

C.互斥且對立

D.以上答案都不對

解 選D.顯然排除選項B（因為對立一定互斥）；選項C的含義就是對立，這不一定成立，如選A，B分別為上文所舉反例中的事件A，C即知；選項A也未必成立，如選A，B分別為上文所舉反例中的事件A，B即知.

（注：與教科書配套使用的《教師教學用書》第122頁只給出了答案“D”，無任何過程.）

4.“獨立”不一定“互斥”，“互斥”也不一定“獨立”

甲壇子里有3個白球，2個黑球；乙壇子里有2個白球，2個黑球，從這兩個壇子里分別摸出1個球，在這個問題中，記“在甲壇中摸出白球”為事件A，“在乙壇中摸出白球”為事件B，顯然事件A，B相互獨立，但不互斥，

設5張票中只有1張是獎票，甲、乙兩人按先后順序輪流不放回地抽1張票，在這個問題中，記“甲抽到獎票”為事件A，“乙抽到獎票”為事件B，顯然事件A，B互斥，但不相互獨立.

設5張票中只有2張是獎票，甲、乙兩人按先后順序輪流不放回地抽1張票.在這個問題中，記“甲抽到獎票”為事件A，“乙抽到獎票”為事件B，顯然事件A，B既不互斥也不相互獨立，

讀者容易舉出兩個事件既獨立又互斥的例子：隨機事件A和不可能事件V.還可證明：若事件A，B既互斥又相互獨立，則P（A）=0或P（B）=0.

猜想 事件A，B既互斥又相互獨立<=>A是不可能事件或B是不可能事件.（顯然，只需證明=>.）