學習處處有算法

渠慎情

教材中的流程框圖與偽代碼都是算法的外在體現形式，而算法的本質就是對一類問題的機械的、統一的求解方法.在我們的高中數學必修一與必修二教材里，處處閃耀著算法思想的光輝，

函數解題循套路

函數的學習是高中數學的重中之重.會學，妙不可言；不會學，玄之又玄.其實，學習函數也有機械的、統一的學法.

我曾這樣說過：函數的定義域、值域、單調性、奇偶性及周期性像朵朵花兒，靜靜地生長在函數這條枝蔓上，因此，要想學好函數，就要一一學好函數的定義域、值域、單調性、奇偶性及周期性.各個擊破，融會貫通，你的函數也就學好了.

下面找些與函數有關，且很有算法風格的問題與大家共同探討.

一、證函數單調性

證明或是判斷函數在某個區間上的單調性時，大家常會看到一個個很好的套路或步驟，如“一取二比三定論”：取值，作差（商），比較，下結論（或設量，作差（商），判號，比較，下結論）.雖然，學無定法，但是證明函數是否單調的機械性與統一性在這里還是體現得淋漓盡致，當然，上面的任何一個具體的套路，都能很好地解決函數的單調性問題，

可以用流程圖來表達上面的某些步驟，如圖1所示：

二、判函數奇偶性

判斷函數的奇偶性，也是有章可循的。

一般地，先求定義域，再判斷定義域是否關于數零對稱，若不對稱，則函數非奇非偶，否則繼續判斷函數f（-x）與f（x）是相等還是相反關系.

若f（-x）與f（x）是相等關系，則函數f（x）是偶函數；若f（-x）與f（x）是相反關系，則函數f（x）是奇函數；若.f（-x）與f（x）既相等又相反，則函數f （x）既是奇函數又是偶函數；若f（-x）與f（x）既不相等也不相反，則函數f（x）既不是奇函數也不是偶函數，如圖2所示：

三、定函數零點區間

在判定圖象不間斷的函數的某一零點是否在某區間內時，結合二分法，找尋零點所在區間的過程顯得十分機械化.

一般地，要先結合函數圖象，定下函數某一零點大致所在區間（a，b）（在此區間上有唯一零點），即對端點a與b求函數值f（a）與f（b），判斷f（a）.f（b）的正負.若負，則零點在該區間內；若正，則不符合我們的要求，找到符合要求的區間（a，6）后，結合區間中點二分該區間，得區間（a，a+b/2）與（a+b/2，b），然后對這兩個區間繼續求端點值，判斷端點值乘積的正負，依此類推……

除了函數到處體現著算法的思想，立體幾何、解析幾何中算法的思想也是無處不在，

“立幾”、“解幾”有算法

高中立體幾何（有時簡稱“立幾”）的問題中，證明線面平行與線面垂直是最常見的.而這里也有機械統一的解決問題的思想方法.

一、環環相扣論線面

如圖3，看看證明線面平行的一般步驟：先找線線平行，再說明一條直線在面內，一條直線在面外.如此三步，線面平行證得，

如圖4，再看看線面垂直：證線線垂直，再證線線垂直，弄清線線相交，最后說明兩線在面內.此乃證明線面垂直之五步.

四個公理、三個推論、八個定理構建起高中立體幾何證明的依據平臺，再加上一定的邏輯表達，即可證明直線與平面之間的平行和垂直關系.

立體幾何如此，解析幾何（有時簡稱“解幾”）亦如此.

二、步步嚴謹求切線

在直線與圓的位置關系中還是有些值得探討的問題，下面就來看看在直線與圓之間有何問題能機械統一地求解，

若已知點的坐標，如何求過該已知點的圓的切線方程呢？

第一步要做什么呢？設切線的斜率嗎？不是！

第一步是要判斷已知點與圓的位置關系，即點在圓外，圓內，還是圓上.這樣，如果點在圓外，則必有兩條切線；如果點在圓上，則僅有一條切線；如果點在圓內，則過點的直線必與圓相交，絕不相切.若點在圓外，且僅求得一條切線的方程，則要看看你是否少了一條斜率不存在的切線，

第二步，又要怎么做呢？設切線的斜率嗎？還不是！

看切線的斜率是否存在，結合圖形，若斜率不存在滿足與圓相切，則得一切線；若切線的斜率都存在，則可執行第三步，

第三步，設切線的斜率為k，根據直線與圓的相切的關系，由“圓心到直線的距離d等于圓的半徑r”構造關于參數k的方程，繼而解之，得k.

第四步，由已知點與所求k確定直線的方程，

簡言之，判定點與圓的位置關系，確定切線斜率存在與否，設直線斜率并求之，最后得方程.如圖5所示：

依據上面四步，可求圓的切線方程.此法可機械且統一地解決如此一類問題，算法思想便再次得以體現，當然，算法并不唯一，上面的四步自然也不是求圓切線方程的唯一方法.

三、點點明確定未知

曾無數次在課堂上向學生們夸下海口——只要給我三角形的三個頂點的坐標，你讓我求啥，我就能求啥！其實，只要掌握了解決問題的關鍵方案，你也能輕松解決問題，

學生們最喜歡問的一個問題是：已知三角形的三個頂點的坐標，如何求它的內切圓方程.

我們分析一下：

求內切圓的方程，就是求圓的方程；要求圓的方程，就要求該圓圓心坐標與半徑大小；求三角形內切圓的圓心，就是求該三角形的內心，即角平分線的交點；要求角平分線的交點，要先求角平分線的方程，而求角平分線的方程才是大家認為內切圓難求的主要原因，

如何求角平分線的方程呢？

有一種方法是這樣的：設角平分線上任意一點的坐標為（x，y），則該點到相應兩邊的距離相等，根據該條件構造關系式，簡化關系式后得到的方程就是角平分線的方程，簡言之，設點，構造方程，化簡.

如此，再求另一條角平分線的方程，繼而求兩角平分線的交點，即為三角形的內心，也就是該三角形內切圓的圓心，

如何求半徑呢？圓心到任意一邊的距離就是圓的半徑.那么，邊所在直線的方程怎么求呢？呵呵，你懂的，

上面說得看似有點復雜，畫個簡單的流程圖就容易看懂：

算法，未必是一個框圖、一個偽代碼.有時，它更是一種思想.按部就班的套路.機械統一的解決問題的方案，就是算法.無論是函數，還是立體幾何，解析幾何，探索數學未知的路還很長.借助算法的原則性，您可以不斷地總結出一些有用的經驗，再加上您思維的靈活性，以不變應萬變，也許，您在這條學習數學的路上能走得更順一些！