產需不確定下基于零售商風險規避的三級供應鏈組合契約模型

朱寶琳，崔世旭，戢守峰，邱若臻

(東北大學工商管理學院，遼寧 沈陽 110167)

1 引言

現代科技的快速發展在提高效率和縮短產品周期的同時，導致不確定性和風險的增加。如鋼鐵、石油等行業受經濟和產業結構等因素的影響，市場需求呈現隨機的特性。其供應商(鐵礦石、原油)和制造商(煉鋼廠、煉油廠)受生產工藝等因素的影響，產出呈現不確定性。近年來，針對供應鏈的產出和需求不確定性的研究受到相關學者的關注。如：Chung Wu Chenghan[1]研究了產出和需求不確定下由單一傳統設備制造商(OEM)、制造商和分銷商組成的供應鏈協調問題。研究表明通過制造商與OEM的協調，使得制造商利潤增加，并能夠滿足分銷商的需求。Mehmet等[2]分析了供需不確定性對產出和成本的影響，表明供應不確定下供應鏈的成本更高，產量更少。Hu Fei[3]等研究了供需不確定下制造商和零售商之間的柔性訂貨策略，發現柔性訂貨策略下供應鏈的總利潤更高，提出改進的收益共享契約實現供應鏈協調。Keren[4]研究了基于報童模型的加法型和乘法型兩種產出不確定供應鏈協調問題，分析表明制造商可以通過設定最優產量來實現利潤最大化，分銷商通過計算其最優訂購量實現供應鏈協調。Li Jian等[5]考慮了產需不確定下單一零售商和多個供應商組成供應鏈的協調問題，探討了零售商訂貨策略和供應商定價決策的關系，通過供應鏈協調實現利潤最大化。Li Xiang等[6]研究了產需不確定的兩級供應鏈模型，通過分析需求確定和不確定兩種情況，利用懲罰契約和批發價格契約實現供應鏈協調。趙霞等[7]研究了產需不確定下制造商和零售商組成的兩級供應鏈協調問題，提出一種可協調供應鏈的收益和產出風險共享合同，實現供應鏈協調。朱寶琳等[8]研究了基于供應商、制造商隨機產出和零售商隨機需求的三級供應鏈協調問題，證明隨機產出和需求下運用風險共擔契約可以使分散期望利潤達到集中決策的水平。以上研究都是在假設供應鏈成員風險中性下進行的，未能考慮風險偏好對決策者的影響。

現實中，決策者往往表現出風險偏好的特性。針對帶有風險偏好的供應鏈的研究包括：楊磊等[9]研究了帶有兩種能力約束的零售商最優訂購策略，分析了風險規避對訂購策略的影響。Ozgun等[10]研究了制造商數量折扣下零售商風險規避的價格問題，通過納什均衡理論分析了風險規避對決策的影響。Ma Lijun等[11]研究了零售商風險規避下兩級供應鏈的討價還價問題，證明供應鏈中存在基于批發價格和訂購量的納什均衡。Huynh等[12]研究了風險規避零售商的最優價格策略，研究表明風險規避時零售商的最優采購價格更低。Chen Xu等[13]研究了零售商風險規避下兩級供應鏈的協調問題，分析了風險規避零售商最優訂購量和零售價格之間的關系，通過期權契約實現了供應鏈協調。Chung和Lu Yuting[14]研究了兩個風險規避零售商和一個制造商組成的供應鏈退貨策略問題，分析了風險規避等相關參數對制造商和零售商決策的影響。Xiao Tiaojun等[15]研究了風險規避制造商和零售商組成供應鏈的定價和產品策略問題，分析了風險規避對定價和產品決策的影響。代建生和秦開大[16]研究了零售商風險規避下集中和分散情況的供應鏈回購契約設計問題，分析零售商風險規避程度對契約設計和供應鏈收益的影響。Hu Benyong等[17]研究了兩級和三級供應鏈結構下收益共享契約對供應鏈協調的影響，比較了風險中性和風險規避下零售商的訂貨策略和利潤。

契約機制是供應鏈協調的常用方法。針對供應鏈的契約協調問題，學術界進行了大量研究[18-22]。相關研究表明單一契約不能解決多級供應鏈的協調問題，如He Yong和Zhao Xuan[23]證明了單一批發價格契約不能協調三級供應鏈，提出回購和批發價格組合契約可以實現供應鏈的協調。上述研究一般采用單一契約進行供應鏈的協調。本文針對不確定條件下零售商風險規避的三級供應鏈協調問題，分別建立了集中和分散的最優決策模型，通過設計風險共擔和GL組合契約對三級供應鏈進行協調。本文討論了風險規避對供應鏈期望效用和訂購量的影響，分析了風險規避對供應鏈期望效益的影響。探討并證明了組合契約協調問題及契約參數之間的關系。最后通過算例驗證了模型和契約協調的有效性。

2 問題描述與研究假設

2.1 問題定義與描述

本文考慮單一供應商、制造商和零售商組成的三級供應鏈，成員以自身利益最大化為目標。考慮生產中受到不確定因素的影響，假設供應商和制造商的產出不確定。如圖1所示：

圖1 零售商風險規避情況下產需不確定三級供應鏈結構圖

供應商的原材料的投入量為L，實際產出量為αL，α為非負隨機變量，分布函數是H(z)，概率密度函數是h(z)，假設h(z)分布在區間[A,B]，0

(1)

其中，π是零售商的利潤，π0是初始點。λ是風險規避系數，λ>1代表零售商為風險規避，并且λ值越大，風險規避程度越高。λ=1代表零售商為風險中性。

2.2 符號與參數說明

參數含義P零售商銷售價格wm制造商單位產品的批發價格ws供應商單位產品的批發價格Sp制造商二級市場購買價格Cp供應商二級市場購買價格D市場需求F(x)市場需求的分布函數,F(x)=1-F(x)f(x)市場需求的概率密度函數μ3市場需求的均值σ市場需求的標準差α供應商隨機產出因子(α≥0)H(z)α的分布函數h(z)α的概率密度函數μ1α的均值v制造商隨機產出因子G(y)v的分布函數g(y)v的概率密度函數μ2v的均值β制造商的收益共享比例γ制造商的損失分擔比例L供應商的原材料投入量R制造商的投入量Q零售商的訂購量Cr零售商的銷售成本Cm制造商的制造成本Cs供應商的生產成本Vr零售商剩余產品的殘值Vs供應商剩余產品的殘值g零售商的缺貨成本πT供應鏈整體利潤πs供應商的利潤πm制造商的利潤πr零售商的利潤a供應商現貨市場購買單位補償b供應商對制造商剩余產品的單位補償c制造商現貨市場購買單位補償d制造商剩余原材料單位補償Δ缺貨成本和過量成本差

3 分散供應鏈最優決策模型

3.1 風險規避零售商決策模型

零售商的利潤函數表示為：

Πr=Pmin(Q,D)+Vr(Q-D)+-g(D-Q)+-Q(wm+Cr)

(2)

第一項代表零售商的銷售收入，第二項代表殘值收入，第三項代表缺貨成本，第四項代表購買成本和銷售成本。零售商期望利潤函數為：

E(πr)=PS(Q)+Vr[Q-S(Q)]-g[μ3-S(Q)]-(Cr+Wm)Q=(P+g-Vr)S(Q)+(Vr-Wm-Cr)Q-gμ3

(3)

E(πr)=

令π1π2為零，可以得到市場需求D的臨界值：

當D≤D1或D>D2時，E(πr)<0；D10。零售商的期望利潤函數可表示為：

(4)

定理1分散情況下存在唯一的Q使零售商的期望利潤最大，且滿足：

(5)

證明 在(4)式中對Q分別求一階和二階偏導可得：

由一階偏導為零可得式(5)。由二階偏導小于零可知，存在唯一的Q使零售商的期望利潤最大。定理1得證。

定理2Δ>0時，Q隨著λ的增大而增大，零售商風險規避時的最優訂購量大于風險中性時的最優訂購量；Δ<0時，Q隨著λ的增大而減小，零售商風險規避時的最優訂購量小于風險中性時的最優訂購量。

3.2 制造商決策模型

制造商的利潤函數表示為：

Πm=WmQ+Vm(vR-Q)+-Sp(Q-vR)+-CmR-WsR

(6)

第一項表示制造商的銷售收入，第二項表示殘值收入，第三項表示從現貨市場購買產品的成本，第四項表示制造成本，第五項表示從供應商的采購成本。制造商期望利潤函數為：

E(πm)=(Wm-Sp)Q+(Sp-Vm)S(R,Q)-(Ws+Cm-Vmμ2)R

(7)

其中：

定理3在分散情況下存在唯一的R使制造商的期望利潤最大化。并且R滿足條件：

(8)

證明 對其分別求一階和二階偏導可得：

由二階偏導小于零，可知存在唯一的R使制造商的期望利潤最大。令一階導為零，可得式(8)。定理3得證。

3.3 供應商決策模型

供應商的利潤函數表示為：

Πs=WsR+Vs(αL-R)+-Cp(R-αL)+-CsL

(9)

第一項表示供應商的銷售收入，第二項表示殘值收入，第三項表示從現貨市場購買原材料的成本，第四項表示生產成本。供應商期望利潤函數為：

E(πs)=(Ws-Cp)R-(Cs-Vsμ1)L+(Cp-Vs)S(L,R)

(10)

其中：

定理4在分散情況下存在唯一的L使供應商的期望利潤最大。并且L滿足條件：

(11)

證明 對其分別求一階和二階偏導可得：

由二階偏導小于零，可知存在唯一的L使供應商的期望利潤最大。令一階偏導為零，得到式(11)。定理4得證。

4 集中供應鏈最優決策模型

集中情況下，供應鏈中各成員是一個整體，以實現供應鏈的整體利潤最大化為目標。集中情況下的供應鏈利潤函數可表示為：

∏T=pmin(Q,D)+Vr(Q-D)++Vm(vR-Q)++Vs(αL-R)+-g(D-Q)+-Sp(Q-vR)+-Cp(R-αL)+-CrQ-CmR-CsL

(12)

式(12)表示零售商的銷售收入、零售商的殘值收入、制造商的殘值收入、供應商的殘值收入、零售商的缺貨成本、制造商在現貨市場購買產品的成本、供應商在現貨市場購買原材料的成本、零售商的銷售成本、制造商的制造成本、供應商的生產成本之和。集中情況下供應鏈的期望利潤函數為：

E(πT)=PS(Q)+Vr[Q-S(Q)]+Vm[μ2R-S(R,Q)]+Vs[μ1L-S(L,R)]-g[μ3-S(Q)]-Sp[Q-S(R,Q)]-Cp[R-S(L,R)]-CrQ-CmR-CsL=(P+g-Vr)S(Q)-(Vm-Sp)S(R,Q)-(Vs-Cp)

S(L,R)+(Vr-Sp-Cr)Q+(Vmμ2-Cm-Cp)R+(Vsμ1-Cs)L-gμ3

(13)

定理5集中情況下存在唯一的Q、R、L使供應鏈的期望利潤最大。且滿足條件：

(14)

證明 分別對Q、R、L求一階和二階偏導可得海賽矩陣如下：

|H3(L,R,Q)|<0

5 零售商風險規避的供應鏈組合契約模型

針對單一契約協調三級供應鏈存在的不足，本文引入風險共擔和GL組合契約對供應鏈進行協調。風險共擔契約采用單位價格補貼的方式，使供應鏈成員互相分擔產出和需求的風險。GL(Gain/Loss)契約是改進后的收益共享契約，考慮供應鏈成員的收益和損失兩種情況，具有較好的協調特性[24-25]。本文的契約機制具體描述為：①制造商和零售商之間運用GL契約，參數為(β,γ)。β為制造商對零售商的收益共享比例，γ為制造商對零售商損失的分擔比例。零售商的收益比例為(1-β)，承擔的損失比例為(1-γ)。②供應商和制造商之間運用風險共擔契約。若制造商生產的數量vRQ，制造商因為生產過多而產生額外的成本，供應商給予每單位b的補償。③若供應商的生產數量αLR，供應商因為生產過多而產生額外的成本，制造商給予每單位d的補償。

5.1 契約協調下零售商風險規避決策模型

契約協調下零售商的收益函數為：

(15)

契約協調下零售商損失函數為：

(16)

契約協調下零售商的期望收益函數為：

E[U(πr)]=(1-β)G(x,Q)+λ(1-γ)L(x,Q)=(1-β)E(πr)+[λ(1-γ)-(1-β)]L(x,Q)

(17)

定理6契約協調下的零售商最優訂購量滿足：

( 18)

證明 在式(17)中分別對Q求一階和二階偏導可得：

對于Q來說，E[U(Πr)]是凹函數。令一階導數為零，可得式(18)。定理6得證。

5.2 契約協調下制造商決策模型

契約協調下制造商的利潤函數可表示為：

Πm=WmQ+Vm(vR-Q)+-Sp(Q-vR)++a(Q-vR)++b(vR-Q)++βG(x,Q)+γL(x,Q)-c(R-αL)+-d(αL-R)+-(Cm+Ws)R

(19)

契約協調下制造商的期望利潤函數為：

E(πm)=WmQ+Vm[μ2R-S(R,Q)]-Sp[Q-S(R,Q)]+a[Q-S(R,Q)]+b[μ2R-S(R,Q)]+βG(x,Q)+γL(x,Q)-c[R-S(L,R)]-d[μ1L-S(L,R)]-(Cm+Ws)R=(Wm-Sp+a)Q+(Vmμ2+bμ2-c-Cm-Ws)R-(Vm-Sp+a+b)S(R,Q)+(c+d)S(L,R)+βG(x,Q)+γL(x,Q)-dμ1L

(20)

分別對R求一階和二階偏導可得：

5.3 契約協調下供應商決策模型

契約協調下供應商的利潤函數可表示為：

Πs=WsR+Vs(αL-R)+-Cp(R-αL)++c(R-αL)++d(αL-R)+-a(Q-vR)+-b(vR-Q)+-CsL

(21)

契約協調下供應商的期望利潤函數為：

E(πs)=WsR+Vs[μ1L-S(L,R)]-Cp[R-S(L,R)]+c[R-S(L,R)]+d[μ1L-S(L,R)]-a[Q-S(R,Q)]-b[μ2R-S(R,Q)]-CsL=(Ws-Cp+c-bμ2)R+(Vsμ1+dμ1-Cs)L-(Vs-Cp+c+d)S(L,R)+(a+b)S(R,Q)-aQ

(22)

分別對L求一階和二階偏導可得：

(23)

(24)

定理7滿足下式的GL和風險共擔組合契約可以實現供應鏈協調：

(25)

證明 當供應鏈各成員的期望利潤函數是集中情況下供應鏈利潤函數的仿射函數時，即契約協調下各成員的決策變量系數和集中情況下的決策變量系數成比例，供應鏈能夠實現協調。可以得出以下條件：

(26)

6 數值與算例分析

假設供應商和制造商的隨機產出服從均勻分布，市場需求服從正態分布。參數值為：P=17，g=5，cs=3，cm=2，cr=2.5，vs=2.8，vr=4，vm=4，μ3=1000，σ=200，μ1=0.8，μ2=0.8，Sp=8.5，Cp=4，Wm=8，Ws=4。契約參數如表1所示：

表1 契約參數

表2 不同情況下的期望利潤

通過計算可以得出集中、分散和契約協調下的供應鏈利潤(如表2所示)，從表2中可以看出，集中情況下的供應鏈總利潤大于分散情況下的供應商、制造商和零售商的利潤之和，契約協調后的供應鏈總利潤和集中情況下的利潤基本相同。算例證明了契約協調的有效性。

圖2和圖3表示風險規避程度對零售商的訂購量和期望利潤的影響。圖2顯示Δ>0時，零售商的訂購量隨著λ的增大而增大，這是由于零售商為了減少缺貨成本增加訂購量；圖3顯示Δ<0時，零售商的訂購量隨著λ的增大而減小，這是由于零售商為了減少過量成本減少訂購量。兩種情況下零售商的期望利潤都隨著λ的增大而減小，表明零售商的期望利潤隨著風險規避程度的增加而減小，且小于風險中性時的期望利潤。

圖4顯示Δ>0時，零售商的最優訂購量隨著風險規避程度的增加而增加。圖5顯示Δ<0時，零售商的最優訂購量隨著風險規避程度的增加而減少。從圖4和圖5中可以看出：①隨著風險規避程度的增加，零售商期望利潤的下降趨勢加快。②風險規避的期望利潤小于風險中性的期望利潤，存在最優的訂購量使得零售商的利潤最大化。

圖2 Δ>0,λ 對零售商訂購量和利潤的影響

圖3 Δ<0,λ 對零售商訂購量和利潤的影響

圖4 Δ>0, Q和期望利潤之間的關系

圖5 Δ<0, Q和期望利潤之間的關系

圖6顯示其他參數不變的情況下，分散和集中情況下的供應鏈成員的訂購量隨著σ值的增大而增大，即隨著市場需求不確定性的增加而增加。圖7顯示分散和集中情況下供應鏈的總利潤隨著σ的增大而減小。

圖6 市場需求不確定對供應鏈決策的影響

圖7 市場需求不確定對期望利潤的影響

圖8顯示分散情況下供應商和制造商的生產投入量隨著μ2的增加而增加，集中情況下供應鏈各成員的訂購量也隨著μ2的增加而增加。圖9顯示分散和集中兩種情況下制造商的利潤和供應鏈的期望利潤隨著的增加而增加。

圖8 制造商生產不確定對供應鏈決策的影響

圖9 制造商生產不確定對期望利潤的影響

圖10顯示分散情況下供應商的最優投入量和集中情況下供應鏈各成員的訂購量隨著μ1的增加而增加。圖11顯示分散和集中兩種情況下供應鏈的期望利潤隨著μ1的增加而增加。

圖10 供應商生產不確定對供應鏈決策的影響

圖11 供應商生產不確定對期望利潤的影響

7 結語

本文研究了零售商風險規避下三級產需不確定供應鏈協調問題。建立了分散、集中和契約協調下的最優決策模型。運用GL和風險共擔組合契約對供應鏈進行協調，最終實現了帕累托改進。通過數值和算例分析，得出以下結論：①供應鏈的期望利潤隨著市場需求不確定性的增加而減少。②供應鏈的期望利潤隨著制造商和供應商隨機產出因子的增加而增加。③零售商的期望利潤隨著風險規避程度的增加而減少。零售商訂購量隨著風險規避的增加而變化。其中Δ>0時，零售商的最優訂購量隨著風險規避程度的增加而增加；Δ<0時，零售商的最優訂購量隨著風險規避程度的增加而減小。

本文僅研究了產需不確定下單一零售商風險規避的供應鏈的協調問題。針對供應商和制造商均帶有風險偏好的多風險多級供應鏈契約協調問題有待進一步研究。