“系列課”背景下起始教材的比較研究與教學建議
——以《近似數與估算》教學為例

何月豐

數學知識是螺旋上升發展的。在上升發展的過程中，知識的外在形態會發生一定的變化，但還是在原來的知識鏈上。在一條鏈上的知識，會有幾個關鍵的節點。從教學的角度看，這些節點就形成了一節節的數學課。因為這些課是由同一個起源發展而成，并在一條知識鏈上，就形成了一個“課系”，不妨稱為“系列課”。

如果這樣的理解是正確的，那么可以說明一個事實：沒有一個數學知識是一節課能教完的，即所有的數學課都是系列課。

不同課系以及一個課系中的不同課，會受到不同程度的關注。例如《長方形的面積》，這節課備受關注，是研究熱點，也就在一定程度上體現了我們對這節課是非常重視的，就把它單獨拿出來研究了。換一個角度，《長方形的面積》其實是“面積計算”這個系列的一節課而已。

基于以上對“系列課”的認識，對《近似數與估算》的教材比較研究，除了整體上的橫向、縱向等維度之外，還可從特有的“系列結構”、“系列起點”、“系列階段終點”三個方面進行。下面筆者就“系列起點”——《近似數與估算》起始教材的比較研究，與老師們做一個交流。

所謂“起始教材”，即在整個“課系”中知識第一次正式出現時的教材。為了增強對比性，使研究更有寬度和深度，我選擇了國內的人教版、浙教版以及美國的加州版三個版本教材進行比較研究。為了增強可比性，使研究更為細化，我擬定了教材立意、素材選擇、特色方法三個比較點。

一、對三個版本《近似數與估算》起始教材的獨立分析

1.對人教版《近似數與估算》起始教材的獨立分析。

人教版（2012版）教材，《近似數與估算》第一次正式作為一個知識點進行教學，是在二年級下冊第91頁，該內容隸屬于《萬以內數的認識》單元。

教材立意：該起始教材的例題是教學將9985看成10000，所以教材立意為近似數的教學。同時在教學逐步推進的過程中，明確提出了“近似數”、“準確數”這樣的術語，并給出了近似數的優點——更容易記住。

素材選擇：在素材方面，教材選用了一個常見的生活情境，電視節目中主持人報了運動員人數為9985人，看電視的爸爸將人數說成“將近10000人”。然后通過“畫外音”對話的形式，對兩種說法進行對比，給出兩種說法的特點。應該說，這樣的素材選擇，還是很有“生活氣息”的。

特色方法：人教版此處教材的編排，“數直線”的使用可理解為是其特色之處。通過數直線，可使二年級的學生直觀地看到9985與10000的“接近”，從而能更好地理解將9985看成10000的合理性。

2.對浙教版《近似數與估算》起始教材的獨立分析。

浙教版（2012版）教材，《近似數與估算》第一次正式作為一個知識點進行教學，是在二年級下冊第96頁，是一個獨立的單元。

教材立意：該教材的立意，從單元題目就可以看出來是估算。不過，仔細分析教材會發現，這里除了教學估算，還教學近似數，如估算時要把389看成400，其實就是近似數教學，把近似數作為一種估算的需要來處理，這種需要源于例題問題中的“大約”。

素材選擇：在素材方面，浙教版選用了一個學生比較熟悉的生活情境——圖書館藏書情況，并以此為背景，轉化成一個典型的加法問題，由此通過問題中的“大約”引出“估算”。以生活問題為背景，再轉化成數學問題，本身就是浙教版教材的編排特色。

特色方法：浙教版這樣的編排，把近似數與估算融合在一起教學，在此，且把這樣的編排作為它的特色之處吧。另外值得一提的是，浙教版在第一次教學《估算與近似數時》就引入了“≈”。

3.對美國加州版《近似數與估算》起始教材的獨立分析。

加州版教材，《近似數與估算》第一次正式作為一個知識點進行教學，是在一年級（加州教材不分上下冊）的第251頁（如下圖），該內容隸屬于第8單元（一年級一共14個單元）《100內數的認識》。

教材立意：該教材中標題“Estimating with Groups of Ten”的意思為“以10個為一組估計”，教材立意清晰可見——估計。從教材中我們也可以看到“以10個為一組”的估計行為——教材用不同顏色的小立方體表示，小朋友正在10個一組圈一圈進行數數。對于估計結果，教材采用選擇性的方法，給出了30和50兩個選項，讓學生操作之后思考，這一堆小立方體可以估計成30個還是50個。所以，從這個過程上去理解，加州版教材表面是在教“估計”，其實是近似數的教學。

素材選擇：在素材上，教材沒有選用生活問題，沒有給出進行估計的需要和背景，而是直接指向于行為——以10個為一組進行估算。

特色方法：加州教材的特色之處，在于給出了具有動作行為的估計方法——以10個為一組。同時，對于估計結果的確定，是選擇性的（下面的練習也是這樣的形式）。這樣的處理，對于剛剛接觸估計的一年級學生而言是有好處的。

二、對三個版本《近似數與估算》起始教材的對比分析與思考

在以上獨立分析的過程中，其實也默默進行著對三個版本教材的對比。這種對比，既有立足教材立意、素材選擇和特色方法這三個方面的，也有在這三個方面之外的。對比發現，區別還是比較顯著的。

1.對教材立意、素材選擇和特色方法對比分析后的思考。

教材版本 教材立意 素材選擇 特色方法 起始年級人教版 近似數 生活情境 數直線直觀感受接近 二下浙教版 估算（近似數） 生活情境1.近似數與估算一起教學2.引入“≈”二下加州版 估計（近似數）沒有生活情境1.10個一組進行估計2.對估計結果進行選擇一年級

（1）通過對“教材立意”的對比分析可以看出，教學一旦牽涉到估算（估計），就會涉及到近似數的教學，而近似數可以獨立教學。在這個問題上，我想也是好理解的，因為要估算（估計），就說明不需要一個準確的結果，這就自然地產生了近似數。例如浙教版教材要求兩類書的總量，只要“大約”即可，加州版教材估計小立方體的數量，是要看實際數量更接近30還是50。這樣，在計算兩類書的總量時，用到了近似數，選擇30或50也是近似數。

（2）通過對“素材選擇”的對比分析可以看出，就比較的三個版本教材而言，國內和國外是有區別的。國內的教材都選用了生活情境，而國外是沒有的。當然，國外這里只選用了一個版本的教材，不能以一概全。但就“生活情境”而言，我個人認為還是需要的。1980年美國數學教師聯合會在《行動的綱領》這份文件中，第一次提出“把估計能力作為一種重要的數學素養”，并在后續的研究中形成了一定的共識，“必須讓學生理解估計的意義，什么情況下的估計是合適的……”顯然，生活情境的介入，對學生理解估計的意義，認識到什么情況下使用估計是非常有幫助的，由此能讓學生深刻認識到“課本中的數學與現實生活中數學的聯系”。

（3）通過對“特色方法”的對比分析可以看出，在起始教學近似數或估算時，“取整”是一個共同選擇。人教版把9985看成10000，浙教版把389和308看成400和300，加州版將一堆小立方體估計成30或50。三個版本教材不約而同地用整十、整百、整千、整萬作為學生首次接觸近似數的“近似對象”，我想這是易于一二年級的學生理解和接受的。尤其是人教版和浙教版，都采用了更能體現“接近”的數據，就更加有利于學生的理解和接受了。

2.對三個版本近似數形成過程的分析與思考。

在對以上三個方面進行分析與思考的過程中，我注意到三個版本教材在作為結果的“近似數”的形成過程上有所區別，具體如下表。

教材版本 教材立意 產生過程 近似數形式人教版 近似數 數→數將準確數估成近似數 作為結果浙教版 估算（近似數）數→數→算先將準確數估成近似數，再計算作為手段加州版 估計（近似數）物→數估計未知小立方體的近似數量作為結果

在“產生過程”上，三個版本的教材各不相同。

人教版教材是先給出一個準確數（運動員人數），再根據準確數得到近似數，采用了“數→數”的形式，近似數是作為結果來呈現的。

浙教版教材，先根據準確數（數的數量）得到近似數，再運用近似數進行計算，采用了“數→數→算”的形式，近似數作為一種計算手段參與。

加州版的教材，先是呈現一堆未知數量的小立方體，“數”是未知的，然后以10個為一組進行估計，近似數是作為結果來呈現的。這里需要思考的是，具體教材如何展開，即以10個為一組進行估計時，是否把具體數量數出來（如教材中是39），如果是數出來的，那么加州版教材采用了“物→數→數”的形式；如果沒有數出來，那是采用了“物→數”的形式，顯然這樣的形式對學生的思維要求是比較高的。從標題“以10個為一組估計”理解，要充分發揮“10”的作用，因此我暫且把教材解讀為“物→數”的形式吧。

通過上述分析和對比不難發現，相對而言，人教版的編排較為“單純”，難度較低。

3.基于以上分析后的感想。

通過上述對于三個版本《近似數與估算》起始教材的比較，我最大的感覺是“這水有點混”。三個版本的起始教材，各有自己的立足點，在立意上區別明顯，進而引發的就是課系的統一性不強。例如浙教版，起始教材就涉及到估算、近似數和“≈”，而人教版、加州版沒有涉及那么多，那么這兩個版本的教材必然要在后續的教學中去涉及這些知識，這就會造成課系發展不夠統一，知識螺旋上升的趨勢會不明顯。這一點，與其他一些課的區別還是有較為明顯的地方。

三、基于《近似數與估算》起始教材分析的教學建議

作為系列課的起始教材，關鍵在于“始”，即要做好啟蒙教育工作，這樣，才能更好地讓知識生長。就《近似數與估算》而言，如何做好啟蒙教育工作呢？基于對以上三個版本教材的分析及思考，我認為以下幾點值得關注：

1.用“近似數”作為啟蒙，使學生易于理解和掌握。

估算離不開近似數，但近似數可以獨立教學。因此，在“近似數與估算”這個課系中，將近似數作為啟蒙教學較為合適（如人教版）。一方面，這樣的教與學更為“單純”，不必考慮“算”，降低了難度，易于學生理解和掌握；另一方面，這也符合學生數學學習的一般規律，先認“數”（近似數），再學“算”（估算）。

2.以生活情境為載體，使學生感受到近似數的價值。

數學向來被看作是“一門與人類思想中的精確部分相一致的學科”（愛因斯坦）。學生在一二年級的學習中，接觸的“數”和“算”，基本是“精確”的。現在要從“精確”轉向“近似”，需要有一定的“價值取向”來支撐。這種“價值取向”，體現在教學中就是要讓學生感受到產生并運用近似數的好處，顯然，生活情境是一個很好的載體。通過生活情境，使學生感受到生活中運用近似數的情況，進而感受到近似數的價值。

3.以“取整”為近似方法，并借助數直線感受接近。

求得一個數的近似數，一般采用四舍五入或取整，其本質都是“接近”。相對而言，四舍五入的思維層次更高一些。因此，作為近似數的啟蒙教學，以“取整”為近似方法，是一個好的選擇。同時，為了使學生能更好地理解“接近”這個本質，建議借助數直線使學生能直觀感知。在產生過程上，建議采用“數（準確數）→數（近似數）”的形式，在數據的選擇上，要采用更能體現“接近”的數據，如人教版的9985→10000。